Компактная открытая топология - Compact-open topology

В математика, то компактно-открытая топология это топология определены на набор из непрерывные карты между двумя топологические пространства. Компактно-открытая топология - одна из часто используемых топологий на функциональные пространства, и применяется в теория гомотопии и функциональный анализ. Он был представлен Ральф Фокс в 1945 г.^[1]

Если codomain из функции рассматриваемый имеет единообразная структура или метрическая структура то компактно-открытая топология - это «топология равномерное схождение на компактные наборы. "То есть последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии именно тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве домен.^[2]

Определение

Позволять Икс и Y быть двумя топологические пространства, и разреши C(Икс, Y) обозначим множество всех непрерывные карты между Икс и Y. Учитывая компактное подмножество K из Икс и открытое подмножество U из Y, позволять V(K, U) обозначим множество всех функций  ж  ∈ C(Икс, Y) такой, что  ж (K) ⊆ U. Тогда собрание всех таких V(K, U) это подоснование для компактно-открытой топологии на C(Икс, Y). (Эта коллекция не всегда образует основание для топологии на C(Икс, Y).)

При работе в категория из компактно порожденные пространства, это определение обычно модифицируют, ограничивая его суббазой, сформированной из тех K это образ компактный Пространство Хаусдорфа. Конечно, если Икс компактно порождена и хаусдорфова, это определение совпадает с предыдущим. Однако модифицированное определение имеет решающее значение, если кто-то хочет удобную категорию компактно порожденный слабый Хаусдорф места, чтобы быть Декартово закрыто, среди других полезных свойств.^[3][4][5] Путаница между этим определением и приведенным выше вызвана разным использованием слова компактный.

Характеристики

• Если * одноточечное пространство, то можно определить C(*, Y) с Y, и при этом отождествлении компактно-открытая топология согласуется с топологией на Y. В более общем смысле, если Икс это дискретное пространство, тогда C(Икс, Y) можно отождествить с декартово произведение из |Икс| копии Y и компактно-открытая топология согласуется с топология продукта.
• Если Y является Т₀, Т₁, Хаусдорф, обычный, или же Тихонов, то компактно-открытая топология имеет соответствующее аксиома разделения.
• Если Икс Хаусдорф и S это подоснование за Y, то сборник {V(K, U) : U ∈ S, K compact} это подоснование для компактно-открытой топологии на C(Икс, Y).^[6]
• Если Y это метрическое пространство (или, в более общем смысле, однородное пространство ), то компактно-открытая топология равна топология компактной сходимости. Другими словами, если Y метрическое пространство, то последовательность { ж_п } сходится к  ж  в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества K из Икс, { ж_п } равномерно сходится к  ж  на K. Если Икс компактный и Y является равномерным пространством, то компактно-открытая топология равна топологии равномерное схождение.
• Если Икс, Y и Z топологические пространства, с Y локально компактный Хаусдорф (или даже просто локально компактный пререгулярный ), то составная карта C(Y, Z) × C(Икс, Y) → C(Икс, Z), данный ( ж , грамм) ↦  ж ∘ грамм, непрерывна (здесь все функциональные пространства заданы компактно-открытой топологией и C(Y, Z) × C(Икс, Y) дается топология продукта ).
• Если Y является локально компактным хаусдорфовым (или предрегулярным) пространством, то оценочное отображение е : C(Y, Z) × Y → Z, определяется е( ж , Икс) =  ж (Икс), непрерывно. Это можно рассматривать как частный случай вышеизложенного, когда Икс - одноточечное пространство.
• Если Икс компактный, и Y метрическое пространство с метрика d, то компактно-открытая топология на C(Икс, Y) является метризуемый, а его метрика дается выражением е( ж , грамм) = Как дела {d( ж (Икс), грамм(Икс)) : Икс в Икс}, за  ж , грамм в C(Икс, Y).

Приложения

Компактная открытая топология может использоваться для топологизации следующих множеств:^[7]

• ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}}$, то пространство петли из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle x_{0}}$,
• ${\displaystyle E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}{\text{ and }}f(1)=x_{1}\}}$,
• ${\displaystyle E(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}\}}$.

Кроме того, есть гомотопическая эквивалентность между пространствами ${\displaystyle C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)}$.^[7] Эти топологические пространства, ${\displaystyle C(X,Y)}$ полезны в теории гомотопий, поскольку их можно использовать для формирования топологического пространства и модели для гомотопического типа набор гомотопических классов отображений

${\displaystyle \pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y|f{\text{ is a homotopy class}}\}.}$

Это потому что ${\displaystyle \pi (X,Y)}$ это набор компонентов пути в ${\displaystyle C(X,Y)}$, то есть есть изоморфизм наборов

${\displaystyle \pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/\sim }$

куда ${\displaystyle \sim }$ - гомотопическая эквивалентность.

Дифференцируемые функции Фреше

Позволять Икс и Y быть двумя Банаховы пространства определяется по тому же поле, и разреши C ^м(U, Y) обозначим множество всех м-постоянно Дифференцируемый по Фреше функции из открытого подмножества U ⊆ Икс к Y. Компактно-открытая топология - это начальная топология вызванный полунормы

${\displaystyle p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\ :\ x\in K,0\leq j\leq m\right\}}$

куда D⁰ ж (Икс) =  ж (Икс), для каждого компактного подмножества K ⊆ U.

Рекомендации

1. [1]
2. Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Springer-Verlag. п. 230.
3. «Классифицирующие пространства и бесконечные симметричные произведения»: 273–298. JSTOR  1995173.
4. «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF).
5. «Компактно генерируемые пространства» (PDF).
6. Джексон, Джеймс Р. "Пространства отображений на топологических произведениях с приложениями к теории гомотопий" (PDF): 327–333. JSTOR  2032279.
7. Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий. Гомотопическая топология (2-е изд.). С. 20–23.

• Дугунджи, Дж. (1966). Топология. Аллин и Бекон. КАК В  B000KWE22K.
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, В. Харламов, Н.Ю. Нецветаев (2007) Учебник по задачам элементарной топологии.
• «Компактно-открытая топология». PlanetMath.
• Топология и группоиды Раздел 5.9 Рональд Браун, 2006