Вектор Герца - Hertz vector

Векторы Герца, или Векторные потенциалы Герца, являются альтернативной формулировкой электромагнитных потенциалов. Чаще всего они вводятся в учебники по теории электромагнитного поля в качестве практических задач, которые предстоит решить студентам.^[1] Есть несколько случаев, когда они имеют практическое применение, в том числе антенны.^[2] и волноводы.^[3] Хотя они иногда используются в таких практических задачах, они по-прежнему редко упоминаются в большинстве курсов теории электромагнитного поля, а когда они есть, они часто не практикуются таким образом, чтобы продемонстрировать, когда они могут быть полезны или предоставить более простой метод решения проблемы, чем более распространенные методы.^{[нужна цитата ]}

Обзор

Векторы Герца могут быть полезны при решении для электрических и магнитных полей в определенных сценариях, поскольку они обеспечивают альтернативный способ определения скалярного потенциала ${\displaystyle \phi }$ и векторный потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} }$ которые используются для поиска полей, как это обычно делается.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

(1)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

(2)

Рассматривая отдельно случаи электрической и магнитной поляризации для простоты, каждый может быть определен в терминах скалярного и векторного потенциалов, что затем позволяет найти электрическое и магнитное поля. Для случаев только электрической поляризации используются следующие соотношения.

$${\displaystyle \phi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}}$$

(3)

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mu \epsilon {\frac {\partial \mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t}}}$$

(4)

А для случаев исключительно магнитной поляризации они определяются как:

$${\displaystyle \phi =0}$$

(5)

$${\displaystyle \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}}$$

(6)

Для их применения необходимо определить поляризации, чтобы можно было получить форму векторов Герца. Рассмотрение случая простой электрической поляризации дает возможность найти эту форму с помощью волнового уравнения. Предполагая, что пространство однородное и непроводящее, а распределения заряда и тока задаются выражением ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t),\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$, определим вектор ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)}$ такой, что ${\displaystyle \rho =-\nabla \cdot \mathbf {P} }$ и ${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$. Используя их для решения ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ векторов аналогично тому, как вспомогательные поля ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {H} }$ можно найти, однако здесь векторы Герца трактуют электрическую и магнитную поляризации как источники. Векторные потенциалы Герца от этих источников, ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}}$ для электрического потенциала Герца, и ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{m}}$ для магнитного потенциала Герца можно получить, используя волновое уравнение для каждого.

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon }}}$$

(7)

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {\Pi } _{m}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{m}}{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {M} }$$

(8)

Это просто делается с помощью оператора Даламбера. ${\displaystyle \Box =\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)}$ к обоим векторам, имея в виду, что ${\displaystyle c^{2}=\left(\mu \epsilon \right)^{-1}}$, и результат не равен нулю из-за присутствующей поляризации. Это обеспечивает прямой путь между легко определяемыми свойствами, такими как плотность тока. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ к полям через векторы Герца и их связи со скалярным и векторным потенциалами. Эти волновые уравнения дают следующие решения для векторов Герца:

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\int \limits _{V}{\frac {\left[\mathbf {P} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} }$$

(9)

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{m}={\frac {\mu }{4\pi }}\int \limits _{V}{\frac {\left[\mathbf {M} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} }$$

(10)

Где ${\displaystyle \left[\mathbf {P} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}$ и ${\displaystyle \left[\mathbf {M} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}$ следует оценивать в запаздывающее время ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |/v}$.^[1] Затем электрическое и магнитное поля можно найти с помощью векторов Герца. Для простоты наблюдения взаимосвязи между поляризацией, векторами Герца и полями одновременно будет рассматриваться только один источник поляризации (электрический или магнитный). В отсутствие какой-либо магнитной поляризации ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}}$ вектор используется для поиска полей следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}}$$

(11)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \epsilon {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {\Pi } _{e}\right)}$$

(12)

Точно так же, в случае наличия только магнитной поляризации, поля определяются с помощью ранее указанных соотношений со скалярным и векторным потенциалами.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}\right)}$$

(13)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}}$$

(14)

В случае наличия как электрической, так и магнитной поляризации поля становятся равными

$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi } _{e}-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } _{m}}{\partial t}}}$$

(15)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t}}}$$

(16)

Примеры

Осциллирующий диполь

Рассмотрим одномерный равномерно колеблющийся ток. Ток выравнивается по z- ось на некоторой длине проводящего материала л с частотой колебаний ${\displaystyle \omega }$. Определим вектор поляризации

$${\displaystyle \mathbf {P} =(-Il/\omega )\cos \left[\omega t\right]_{t'}\mathbf {\hat {z}} }$$

(17)

Где т оценивается в запаздывающее время ${\displaystyle t'=t-|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/v}$. Подставляя это в электрическое векторное уравнение Герца, зная, что длина л мала и поляризация одномерна, ее можно аппроксимировать в сферических координатах следующим образом

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {\left(-Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(18)

Продолжение прямого перехода к расхождению быстро становится беспорядочным из-за ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}$ знаменатель. Это легко решить, используя Полиномы Лежандра для расширения ${\displaystyle 1/r}$ потенциал:

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\left(\cos \gamma \right)}$$

(19)

Важно отметить, что в приведенном выше уравнении ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ - векторы, а ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle r'}$ - длины этих векторов. ${\displaystyle \gamma }$ угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {x} '}$. Теперь вектор Герца записывается следующим образом.

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {\left(-Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi \epsilon }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\left(cos\gamma \right)\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(20)

Принимая расхождение

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {\left(Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}\cos \left(\theta \right)}{4\pi \epsilon }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}\left(l+1\right)}{r^{l+2}}}P_{l}\left(\cos \gamma \right)}$$

(21)

Тогда градиент результата

$${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)={\frac {\left(-Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi \epsilon }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}\left(l+1\right)P_{l}\left(\cos \gamma \right)}{r^{l+3}}}\left[\left(l+2\right)\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} +\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(22)

Наконец, нахождение второй части по времени

$${\displaystyle \mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}={\frac {\mu Il\omega \cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\left(cos\gamma \right)\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(23)

Позволяет найти электрическое поле

$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}={\frac {Il\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}P_{l}\left(\cos \left(\gamma \right)\right)}{r^{l+1}}}\left[\left({\frac {-\left(l+1\right)\left(l+2\right)}{r^{2}\epsilon \omega }}-\mu \omega \right)\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} +\left({\frac {-\left(l+1\right)}{r^{2}\epsilon \omega }}+\mu \omega \right)\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(24)

Моделирование

Используя соответствующие преобразования в декартовы координаты, это поле можно моделировать в трехмерной сетке. Просмотр плоскости X-Y в начале координат показывает двухлепестковое поле в одной плоскости, которое мы ожидаем от диполя, и оно колеблется во времени. На изображении ниже показана форма этого поля и то, как полярность меняется во времени из-за косинусного члена, однако в настоящее время оно не показывает изменение амплитуды из-за изменяющейся во времени силы тока. Тем не менее, только его форма показывает эффективность использования электрического вектора Герца в этом сценарии. Этот подход значительно проще, чем определение электрического поля в терминах зарядов внутри бесконечно тонкой проволоки, особенно если они меняются со временем. Это лишь один из нескольких примеров, когда использование векторов Герца выгодно по сравнению с более распространенными методами.

Электрическое поле из-за диполя, индуцированного колеблющимся током вдоль перпендикуляра ${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {z}} \right)}$ ось. Поле изменяется во времени, поскольку полярность переключается из-за косинуса, вызывая переключение темного цвета на половине периода колебаний.

Текущая петля

Рассмотрим небольшую петлю по площади ${\displaystyle A}$ несущий переменный во времени ток ${\displaystyle I\sin \left(\omega t\right)}$. При протекании тока будет присутствовать магнитное поле, перпендикулярное направлению потока в результате правила правой руки. Из-за того, что это поле создается в петле, ожидается, что поле будет похоже на поле электрического диполя. Это можно быстро доказать с помощью векторов Герца. Во-первых, магнитная поляризация определяется ее отношением к магнитному моменту. ${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {m} }{dV}}}$. Магнитный момент токовой петли определяется как ${\displaystyle \mathbf {m} =IA\mathbf {\hat {n}} }$, поэтому, если петля лежит в плоскости x-y и имеет ранее определенный изменяющийся во времени ток, магнитный момент равен ${\displaystyle \mathbf {m} =IA\sin \left(\omega t\right)\mathbf {\hat {z}} }$. Вставив это в ${\displaystyle \mathbf {M} }$, а затем в уравнение (10) магнитный вектор Герца находится в простой форме.

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{m}={\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathbf {\hat {z}} }$$

(25)

Как и в примере с электрическим диполем, полиномы Лежандра можно использовать для упрощения производных, необходимых для получения ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Тогда электрическое поле находится через

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\left(\cos \gamma \right)\right)\mathbf {\hat {z}} }$$

(26)

Из-за зависимости от ${\displaystyle r}$, значительно проще выразить вектор Герца в сферических координатах путем преобразования из единственной ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ вектор компонента к ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {\hat {\theta }} }$ составные части.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\left(\cos \gamma \right)\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]\right)}$$

(27)

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {-\mu AI\omega \cos \left(\omega t\right)}{4\pi }}\cos \left(\theta \right)\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+2}}}P_{l}\left(\cos \gamma \right)\left(1-l\right)\mathbf {\hat {\phi }} }$$

(28)

Моделирование

Это поле было смоделировано с помощью Python путем преобразования сферического компонента в компоненты x и y. Результат ожидаемый. Из-за изменения тока возникает зависящее от времени магнитное поле, которое индуцирует электрическое поле. Из-за формы поле выглядит как диполь.

Электрическое поле вокруг токовой петли. Он показывает форму диполя, и разницу полярностей можно увидеть над и под петлей, поскольку направление тока изменяется со временем.

Смотрите также

• Дипольная антенна

Рекомендации

1. E.A. Эссекс, "Векторные потенциалы Герца теории электромагнетизма", Американский журнал физики 45, 1099 (1977); DOI: 10.1119 / 1.10955
2. Дж. Галейс, Антенны в неоднородных средах, Прегамон, Оксфорд, 1969.
3. Х. Р. Л. Ламонт, Волноводы, (Metheun, Лондон, 1963).