Гамма Гудмана и Краскалса - Goodman and Kruskals gamma

В статистика, Гамма Гудмана и Крускала это мера ранговая корреляция, т. е. сходство порядка данных при ранжировании по каждой из величин. Он измеряет силу ассоциация из перекрестная таблица данные, когда оба переменные измеряются на порядковый уровень. Никаких корректировок ни под размер стола, ни под завязки нет. Значения варьируются от -1 (100% отрицательная ассоциация или идеальная инверсия) до +1 (100% положительная ассоциация или полное совпадение). Нулевое значение указывает на отсутствие ассоциации.

Эта статистика (отличная от Лямбда Гудмана и Крускала ) назван в честь Лео Гудман и Уильям Краскал, который предложил его в серии работ с 1954 по 1972 год.^[1][2][3][4]

Определение

Оценка гаммы, грамм, зависит от двух величин:

• N_s, количество пар наблюдений, ранжированных в одинаковом порядке по обеим переменным (количество согласные пары ),
• N_d, количество пар наблюдений, ранжированных в обратном порядке по обеим переменным (количество обратных пар),

где «связи» (случаи, когда любая из двух переменных в паре равны) отбрасываются.

${\displaystyle G={\frac {N_{s}-N_{d}}{N_{s}+N_{d}}}\ .}$

Эту статистику можно рассматривать как оценщик максимального правдоподобия для теоретической величины ${\displaystyle \gamma }$, куда

${\displaystyle \gamma ={\frac {P_{s}-P_{d}}{P_{s}+P_{d}}}\ ,}$

и где п_s и п_d - это вероятности того, что случайно выбранная пара наблюдений будет размещена в том же или противоположном порядке соответственно при ранжировании по обеим переменным.

Критические значения для гамма-статистики иногда находят с помощью аппроксимации, при которой преобразованное значение т статистики относится к Распределение Стьюдента, куда^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle t\approx G{\sqrt {\frac {N_{s}+N_{d}}{n(1-G^{2})}}}\ ,}$

и где п это количество наблюдений (а не количество пар):

${\displaystyle n\neq N_{s}+N_{d}.\,}$

Q Yule's

Частным случаем гаммы Гудмана и Крускала является Q Yule's, также известный как Коэффициент ассоциации Юла,^[5] что характерно для матриц 2 × 2. Рассмотрим следующее Таблица сопряженности событий, где каждое значение является счетчиком частоты события:

	да	Нет	Итоги
Положительный	а	б	а+б
Отрицательный	c	d	c+d
Итоги	а+c	б+d	п

Q Yule определяется по:

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}\ .}$

Хотя он вычисляется тем же способом, что и гамма Гудмана и Крускала, он имеет немного более широкую интерпретацию, поскольку различие между номинальной и порядковой шкалами становится вопросом произвольной маркировки дихотомических различий. Таким образом, то, является ли Q положительным или отрицательным, зависит просто от того, какие пары аналитик считает согласованными, но в остальном они симметричны.

Q изменяется от -1 до +1. -1 отражает полную отрицательную ассоциацию, +1 отражает идеальную положительную ассоциацию, а 0 не отражает никакой ассоциации. Знак зависит от того, какие пары аналитик изначально считал согласованными, но этот выбор не влияет на величину.

Что касается отношение шансов ИЛИ, Йоль Q дан кем-то

${\displaystyle Q={\frac {{OR}-1}{{OR}+1}}\ .}$

и так Юла Q и Юла Y связаны

${\displaystyle Q={\frac {2Y}{1+Y^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle Y={\frac {1-{\sqrt {1-Q^{2}}}}{Q}}\ .}$

Смотрите также

• Коэффициент ранговой корреляции Кендалла тау
• Лямбда Гудмана и Крускала
• Yule's Y, также известный как коэффициент коллигации

Рекомендации

1. Goodman, Leo A .; Крускал, Уильям Х. (1954). «Меры ассоциации для перекрестных классификаций». Журнал Американской статистической ассоциации. 49 (268): 732–764. Дои:10.2307/2281536. JSTOR  2281536.
2. Goodman, Leo A .; Крускал, Уильям Х. (1959). «Меры ассоциации для перекрестных классификаций. II: Дальнейшее обсуждение и ссылки». Журнал Американской статистической ассоциации. 54 (285): 123–163. Дои:10.1080/01621459.1959.10501503. JSTOR  2282143.
3. Goodman, Leo A .; Крускал, Уильям Х. (1963). «Меры ассоциации для перекрестных классификаций III: приблизительная теория выборки». Журнал Американской статистической ассоциации. 58 (302): 310–364. Дои:10.1080/01621459.1963.10500850. JSTOR  2283271.
4. Goodman, Leo A .; Крускал, Уильям Х. (1972). "Меры ассоциации для перекрестных классификаций, IV: упрощение асимптотических вариаций". Журнал Американской статистической ассоциации. 67 (338): 415–421. Дои:10.1080/01621459.1972.10482401. JSTOR  2284396.
5. Юл, Г. У. (1912). «О методах измерения связи между двумя атрибутами» (PDF). Журнал Королевского статистического общества. 49 (6): 579–652. JSTOR  2340126.

дальнейшее чтение

• Шескин, Д.Дж. (2007) Справочник по параметрическим и непараметрическим статистическим процедурам. Чепмен и Холл / CRC, ISBN  9781584888147