Глоссарий теории модулей - Glossary of module theory

Теория модулей это раздел математики, в котором модули изучаются. Это глоссарий некоторых терминов по данной теме.

Смотрите также: Глоссарий теории колец, Глоссарий теории представлений.

А

алгебраически компактный

алгебраически компактный модуль (также называемый чисто инъективный модуль ) - модуль, в котором все системы уравнений могут быть решены финитными средствами. В качестве альтернативы те модули, которые оставляют чисто точную последовательность точной после применения Hom.

аннигилятор

1. В аннигилятор левого ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ это набор ${\displaystyle {\textrm {Ann}}(M):=\{r\in R|rm=0\,\forall m\in M\}}$ . Это (слева) идеальный из ${\displaystyle R}$.

2. Аннигилятор элемента. ${\displaystyle m\in M}$ это набор ${\displaystyle {\textrm {Ann}}(m):=\{r\in R|rm=0\}}$.

Артиниан

An Артинианский модуль является модулем, в котором каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

связанный премьер

1. An связанный премьер.

Адзумая

Теорема Адзумая говорит, что два разложения на модули с локальными кольцами эндоморфизмов эквивалентны.

B

сбалансированный

сбалансированный модуль

основа

Основа модуля ${\displaystyle M}$ это набор элементов в ${\displaystyle M}$ так что каждый элемент в модуле может быть выражен как конечная сумма элементов в базисе уникальным образом.

Бовиль – Ласло

Теорема Бовиля – Ласло

график

бимодуль

C

персонаж

символьный модуль

последовательный

А согласованный модуль - конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули которого конечно представленный.

полностью сводимый

Синоним "полупростой модуль ".

сочинение

Серия композиций Джордана Хёльдера

непрерывный

непрерывный модуль

циклический

Модуль называется циклический модуль если он порождается одним элементом.

D

D

А D-модуль является модулем над кольцом дифференциальных операторов.

плотный

плотный подмодуль

прямая сумма

А прямая сумма модулей является модулем, который представляет собой прямую сумму основной абелевой группы вместе с покомпонентным скалярным умножением.

двойной модуль

Двойной модуль модуля M над коммутативным кольцом р модуль ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$.

Drinfeld

А Модуль Дринфельда является модулем над кольцом функций на алгебраической кривой с коэффициентами из конечного поля.

E

Эйленберг-Мазур

Мошенничество Эйленберга-Мазура

элементарный

элементарный делитель

эндоморфизм

В кольцо эндоморфизмов.

существенный

Учитывая модуль M, существенный подмодуль N из M является подмодулем, каждый ненулевой подмодуль M пересекается нетривиально.

Функтор Ext

Функтор Ext.

расширение

Расширение скаляров использует гомоморфизм колец из р к S преобразовать р-модули для S-модули.

F

верный

А верный модуль ${\displaystyle M}$ это тот, где действие каждого ненулевого ${\displaystyle r\in R}$ на ${\displaystyle M}$ нетривиально (т.е. ${\displaystyle rx\neq 0}$ для некоторых ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle M}$). Эквивалентно, ${\displaystyle {\textrm {Ann}}(M)}$ - нулевой идеал.

конечный

Период, термин "конечный модуль "- другое название конечно порожденный модуль.

конечная длина

Модуль конечных длина - модуль, допускающий (конечный) композиционный ряд.

конечное представление

1. А конечное свободное представление модуля M это точная последовательность ${\displaystyle F_{1}\to F_{0}\to M}$ куда ${\displaystyle F_{i}}$ - конечно порожденные свободные модули.

2. А конечно представленный модуль модуль, допускающий конечное свободное представление.

конечно порожденный

Модуль ${\displaystyle M}$ является конечно порожденный если существует конечное число элементов ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ в ${\displaystyle M}$ так что каждый элемент ${\displaystyle M}$ конечная линейная комбинация этих элементов с коэффициентами из скалярного кольца ${\displaystyle R}$.

примерка

идеально подходит

пять

Пять лемм.

плоский

А ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle F}$ называется плоский модуль если тензорное произведение функтор ${\displaystyle -\otimes _{R}F}$ является точный.

В частности, каждый проективный модуль плоский.

свободный

А бесплатный модуль - это модуль, имеющий базис, или, что то же самое, модуль, изоморфный прямой сумме копий скалярного кольца ${\displaystyle R}$.

грамм

Галуа

А Модуль Галуа является модулем над групповым кольцом группы Галуа.

ЧАС

оцененный

Модуль ${\displaystyle M}$ над градуированным кольцом ${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ это градуированный модуль если ${\displaystyle M}$ можно выразить как прямую сумму ${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i}}$ и ${\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$.

гомоморфизм

На двоих осталось ${\displaystyle R}$-модули ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$, гомоморфизм групп ${\displaystyle \phi :M_{1}\to M_{2}}$ называется гомоморфизм ${\displaystyle R}$-модули если ${\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\,\forall r\in R,m\in M_{1}}$ .

Hom

Hom функтор.

я

неразложимый

An неразложимый модуль является ненулевым модулем, который нельзя записать как прямую сумму двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль неразложим (но не наоборот).

инъективный

1. А ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle Q}$ называется инъективный модуль если дать ${\displaystyle R}$-модульный гомоморфизм ${\displaystyle g:X\to Q}$, и инъективный ${\displaystyle R}$-модульный гомоморфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$, существует${\displaystyle R}$-модульный гомоморфизм ${\displaystyle h:Y\to Q}$ такой, что ${\displaystyle f\circ h=g}$ .

Модуль Q инъективен, если диаграмма коммутирует

Следующие условия эквивалентны:

• Контравариантный функтор ${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(-,I)}$ является точный.
• ${\displaystyle I}$ является инъективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность ${\displaystyle 0\to I\to L\to L'\to 0}$ разделен.

2. An конверт для инъекций - максимальное существенное расширение или минимальное вложение в инъективный модуль.

3. An инжекторный когенератор является инъективным модулем, в который каждый модуль имеет ненулевой гомоморфизм.

инвариантный

инварианты

обратимый

An обратимый модуль над коммутативным кольцом - конечный проективный модуль ранга один.

неприводимый модуль

Другое название для простой модуль.

J

Якобсон

теорема плотности

K

Капланский

Теорема Капланского о проективном модуле говорит, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Крулл – Шмидт

В Теорема Крулля – Шмидта говорит, что (1) модуль конечной длины допускает неразложимое разложение и (2) любые два его неразложимых разложения эквивалентны.

L

длина

В длина модуля - общая длина любого композиционного ряда модуля; длина бесконечна, если нет композиционного ряда. Длина над полем более известна как измерение.

локализация

Локализация модуля обращает р модули для S модули, где S это локализация из р.

M

Теорема вложения Митчелла

Теорема вложения Митчелла

Mittag-Leffler

Состояние Миттаг-Леффлера (Мл)

модуль

1. А левый модуль ${\displaystyle M}$ над звенеть ${\displaystyle R}$ является абелева группа ${\displaystyle (M,+)}$ с операцией ${\displaystyle R\times M\to M}$ (называемое скалярным умножением) удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall r,s\in R,m,n\in M}$,

1. ${\displaystyle r(m+n)=rm+rn}$
2. ${\displaystyle r(sm)=(rs)m}$
3. ${\displaystyle 1_{R}\,m=m}$

2. А правый модуль ${\displaystyle M}$ над кольцом ${\displaystyle R}$ абелева группа ${\displaystyle (M,+)}$ с операцией ${\displaystyle M\times R\to M}$ удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall r,s\in R,m,n\in M}$,

1. ${\displaystyle (m+n)r=mr+nr}$
2. ${\displaystyle (ms)r=r(sm)}$
3. ${\displaystyle m1_{R}=m}$

3. Все модули вместе со всеми гомоморфизмами модулей между ними образуют категория модулей.

N

Нётерян

А Нётерский модуль - такой модуль, что каждый подмодуль конечно порожден. Точно так же каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

нормальный

нормальные формы для матриц

п

главный

А главный неразложимый модуль - циклический неразложимый проективный модуль.

начальный

А основной подмодуль

проективный

Характеристическое свойство проективных модулей называется подъем.

А ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle P}$ называется проективный модуль если дать ${\displaystyle R}$-модульный гомоморфизм ${\displaystyle g:P\to M}$, а сюръективный ${\displaystyle R}$-модульный гомоморфизм ${\displaystyle f:N\to M}$, существует ${\displaystyle R}$-модульный гомоморфизм ${\displaystyle h:P\to N}$ такой, что ${\displaystyle f\circ h=g}$ .

Следующие условия эквивалентны:

• Ковариантный функтор ${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(P,-)}$ является точный.
• ${\displaystyle M}$ является проективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность ${\displaystyle 0\to L\to L'\to P\to 0}$ разделен.
• ${\displaystyle M}$ является прямым слагаемым свободных модулей.

В частности, каждый свободный модуль проективен.

2. Программа проективное измерение модуля - это минимальная длина (если таковая имеется) конечной проективной резольвенты модуля; размерность бесконечна, если нет конечного проективного разрешения.

3. А проективное покрытие является минимальной сюръекцией из проективного модуля.

Q

частное

Учитывая левую ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ и подмодуль ${\displaystyle N}$, то факторгруппа ${\displaystyle M/N}$ можно сделать левым ${\displaystyle R}$-модуль от ${\displaystyle r(m+N)=rm+N}$ за ${\displaystyle r\in R,\,m\in M}$. Это называется модуль частного или же факторный модуль.

р

радикальный

В радикал модуля является пересечением максимальных подмодулей. Для артиновых модулей наименьший подмодуль с полупростым фактором.

рациональный

рациональная каноническая форма

рефлексивный

А рефлексивный модуль - модуль, изоморфный через естественное отображение своему второму двойственному.

разрешающая способность

разрешающая способность

ограничение

Ограничение скаляров использует гомоморфизм колец из р к S преобразовать S-модули для р-модули.

S

Шануэль

Лемма Шануэля

змея

Лемма о змеях

цоколь

В цоколь - наибольший полупростой подмодуль.

полупростой

А полупростой модуль представляет собой прямую сумму простых модулей.

просто

А простой модуль - ненулевой модуль, единственные подмодули которого равны нулю и он сам.

стабильно бесплатно

А стабильно бесплатный модуль

структурная теорема

В структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов говорит, что конечно порожденные модули над PID - это конечные прямые суммы первичных циклических модулей.

подмодуль

Учитывая ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$, аддитивная подгруппа ${\displaystyle N}$ из ${\displaystyle M}$ является подмодулем, если ${\displaystyle RN\subset N}$.

поддерживать

В поддержка модуля над коммутативным кольцом - это множество простых идеалов, в которых локализации модуля отличны от нуля.

Т

тензор

Тензорное произведение модулей

Tor

Функтор Tor.

без кручения

А модуль без кручения.

U

униформа

А единый модуль - это модуль, в котором каждые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение.

Рекомендации

• Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям (1-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  0-521-64407-0.
• Голан, Джонатан С .; Голова, Том (1991), Модули и структура колец, Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 147, Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-8555-0, МИСТЕР  1201818
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294
• Серж Ланг (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-55540-9.
• Пассман, Дональд С. (1991), Курс теории колец, Серия «Уодсворт и Брукс / Коул по математике», Пасифик Гроув, Калифорния: Уодсворт и Брукс / Коул Продвинутые книги и программное обеспечение, ISBN  978-0-534-13776-2, МИСТЕР  1096302