Теорема Крулля – Шмидта - Krull–Schmidt theorem

В математика, то Теорема Крулля – Шмидта заявляет, что группа подвергается определенным конечность условия на цепи из подгруппы, можно однозначно записать в виде конечного прямой продукт неразложимых подгрупп.

Определения

Мы говорим, что группа грамм удовлетворяет условие возрастающей цепи (ACC) на подгруппах, если каждое последовательность подгрупп грамм:

{displaystyle 1 = G_ {0} leq G_ {1} leq G_ {2} leq cdots,}

в конечном итоге постоянна, т.е. существует N такой, что грамм_N = грамм_N+1 = грамм_N+2 знак равно Мы говорим что грамм удовлетворяет ACC на нормальных подгруппах, если каждая такая последовательность нормальных подгрупп группы грамм со временем становится постоянным.

Аналогичным образом можно определить состояние нисходящей цепочки на (нормальных) подгруппах, просмотрев все убывающие последовательности (нормальных) подгрупп:

{displaystyle G = G_ {0} geq G_ {1} geq G_ {2} geq cdots.,}

Ясно, что все конечные группы удовлетворяют как ACC, так и DCC на подгруппах. В бесконечная циклическая группа ${displaystyle mathbf {Z}}$ удовлетворяет ACC, но не DCC, так как (2)> (2)² > (2)³ > ... бесконечная убывающая последовательность подгрупп. С другой стороны, ${displaystyle p ^ {infty}}$ -кручение части ${displaystyle mathbf {Q} / mathbf {Z}}$ (в квазициклический п-группа ) удовлетворяет DCC, но не ACC.

Мы говорим группа грамм является неразложимый если он не может быть записан как прямое произведение нетривиальных подгрупп грамм = ЧАС × K.

Заявление

Если ${displaystyle G}$ группа, которая удовлетворяет либо ACC, либо DCC в нормальных подгруппах, то существует единственный способ записи ${displaystyle G}$ как прямой продукт ${displaystyle G_ {1} imes G_ {2} imes cdots imes G_ {k},}$ конечного числа неразложимых подгрупп группы ${displaystyle G}$ . Здесь единственность означает, что прямые разложения на неразложимые подгруппы обладают свойством обмена. То есть: предположим ${displaystyle G = H_ {1} imes H_ {2} imes cdots imes H_ {l},}$ это еще одно выражение ${displaystyle G}$ как произведение неразложимых подгрупп. потом ${displaystyle k = l}$ и происходит переиндексация ${displaystyle H_ {i}}$ сытно

${displaystyle G_ {i}}$ и ${displaystyle H_ {i}}$ изоморфны для каждого ${displaystyle i}$ ;
${displaystyle G = G_ {1} imes cdots imes G_ {r} imes H_ {r + 1} imes cdots imes H_ {l},}$ для каждого ${displaystyle r}$ .

Доказательство

Доказать существование относительно просто: пусть $S$ - множество всех нормальных подгрупп, которые нельзя записать как произведение неразложимых подгрупп. Более того, любая неразложимая подгруппа является (тривиально) одночленным прямым произведением самой себя, следовательно, разложимой. Если Крулль-Шмидт терпит неудачу, то $S$ содержит $грамм$ ; так что мы можем итеративно построить нисходящую серию прямых факторов; это противоречит DCC. Затем можно перевернуть конструкцию, чтобы показать, что все прямые факторы $грамм$ появляются таким образом.^[1]

С другой стороны, доказательство единственности довольно длинное и требует ряда технических лемм. Для полного изложения см. ^[2].

Замечание

Теорема не утверждать существование нетривиальный разложение, но просто то, что любые такие два разложения (если они существуют) одинаковы.

Теорема Крулля – Шмидта для модулей.

Если ${displaystyle Eeq 0}$ это модуль который удовлетворяет ACC и DCC на подмодулях (т. е. оба Нётерян и Артиниан или - что то же самое - конечного длина ), тогда ${displaystyle E}$ это прямая сумма из неразложимые модули. С точностью до перестановки неразложимые компоненты такой прямой суммы определяются однозначно с точностью до изоморфизма.^[3]

В общем, теорема неверна, если только предположить, что модуль нётеров или артинов.^[4]

История

Современная теорема Крулля – Шмидта была впервые доказана Джозеф Уэддерберн (Анна. математики (1909)), для конечных групп, хотя он упоминает некоторую заслугу благодаря более раннему исследованию Г.А. Миллер где рассматривались прямые произведения абелевых групп. Теорема Веддерберна сформулирована как свойство обмена между прямыми разложениями максимальной длины. Однако в доказательстве Веддерберна автоморфизмы не используются.

Тезис Роберт Ремак (1911) получил тот же результат единственности, что и Веддерберн, но также доказал (в современной терминологии), что группа центральных автоморфизмов действует транзитивно на множестве прямых разложений максимальной длины конечной группы. Из этой более сильной теоремы Ремак также доказал различные следствия, в том числе то, что группы с тривиальным центром и совершенные группы имеют единственное Разложение Ремака.

Отто Шмидт (Sur les produits направляет, S. M. F. Bull. 41 год (1913), 161–164), упростили основные теоремы Ремака до трехстраничного предшественника доказательства сегодняшнего учебника. Его метод улучшает использование Ремаком идемпотентов для создания соответствующих центральных автоморфизмов. И Ремак, и Шмидт опубликовали последующие доказательства и следствия своих теорем.

Вольфганг Круль (Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, M. Z. 23 (1925) 161–196), вернулся в Г.А. Миллер оригинальная проблема прямых произведений абелевых групп путем расширения на абелевы группы операторов с условиями возрастающей и убывающей цепочки. Чаще всего это выражается на языке модулей. Его доказательство показывает, что идемпотенты, использованные в доказательствах Ремака и Шмидта, могут быть ограничены до гомоморфизмов модулей; остальные детали доказательства в основном не изменились.

О. Оре унифицированные доказательства из различных категорий включают конечные группы, абелевы группы операторов, кольца и алгебры путем доказательства теоремы об обмене Веддерберна, справедливой для модулярных решеток с условиями убывающей и возрастающей цепочки. Это доказательство не использует идемпотентов и не опровергает транзитивность теорем Ремака.

Куроша Теория групп и Цассенхауза Теория групп включают доказательства Шмидта и Оре под именем Ремак-Шмидт, но признают Веддерберн и Оре. В более поздних текстах используется заголовок Крулл-Шмидт (Hungerford алгебры) и Крулля – Шмидта–Адзумая (Кертис – Райнер). Имя Крулля – Шмидта теперь широко используется вместо любой теоремы, касающейся единственности прямых произведений максимального размера. Некоторые авторы предпочитают называть прямые разложения разложения Ремака максимального размера, чтобы отметить его вклад.

Смотрите также

Категория Крулля – Шмидта

дальнейшее чтение

А. Факкини: Теория модулей. Кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей. Успехи математики, 167. Birkhäuser Verlag, Базель, 1998. ISBN 3-7643-5908-0
СМ. Рингель: Крулль – Ремак – Шмидт неверен для артиновых модулей над локальными кольцами. Algebr. Представлять. Теория 4 (2001), нет. 1, 77–86.

внешняя ссылка

Страница в PlanetMath

[Hungerford2012-1] Томас У. Хангерфорд (6 декабря 2012 г.). Алгебра. Springer Science & Business Media. п. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8.

[2] Хангерфорд 2012, стр.86-8.

[3] Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра. 2 (2-е изд.). Дувр. п. 115. ISBN 978-0-486-47187-7.

[4] Факкини, Альберто; Гербера, Долорс; Леви, Лоуренс С .; Вамос, Питер (1 декабря 1995 г.). «Крулль-Шмидт не справляется с артинианскими модулями». Труды Американского математического общества. 123 (12): 3587–3587. Дои:10.1090 / S0002-9939-1995-1277109-4.

[1]

[2]

[3]

[4]