Герхард Хёйскен - Gerhard Huisken

Герхард Хёйскен
Хьюскен, Герхард.jpg
Герхард Хёйскен в 2017 году
Родившийся (1958-05-20) 20 мая 1958 г. (62 года)
Гамбург, Германия
НациональностьНемецкий
Альма-матерГейдельбергский университет
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияТюбингенский университет
ДокторантКлаус Герхардт
ДокторантыБен Эндрюс
Саймон Брендл

Герхард Хёйскен (родился 20 мая 1958 г.) - немец математик чьи исследования касаются дифференциальная геометрия и уравнения в частных производных. Он известен фундаментальным вкладом в теорию средняя кривизна потока, включая Формула монотонности Хюискена, который назван в его честь. Вместе с Томом Ильманеном он доказал версию Риманово неравенство Пенроуза, который является частным случаем более общей гипотезы Пенроуза из общая теория относительности.

Жизнь

После окончания средней школы в 1977 году Хёйскен начал учиться в математика в Гейдельбергский университет. В 1982 году, через год после получения диплома, он защитил докторскую диссертацию в Гейдельбергском университете под руководством Клауса Герхардта. Темой его диссертации были нелинейные уравнения в частных производных (Reguläre Kapillarflächen в негативе Gravitationsfeldern).

С 1983 по 1984 год Хьюскен был исследователем в Центре математического анализа Австралийский национальный университет (ANU) в Канберре. Там он обратился к дифференциальная геометрия, в частности проблемы потоки средней кривизны и приложения в общая теория относительности. В 1985 году он вернулся в Гейдельбергский университет, получив диплом. абилитация в 1986 году. Через некоторое время в качестве приглашенного профессора в Калифорнийский университет в Сан-Диего, он вернулся в АНУ с 1986 по 1992 год, сначала в качестве лектора, затем в качестве читателя. В 1991 году он был приглашенным профессором в Стэндфордский Университет. С 1992 по 2002 год Хьюскен был профессором Тюбингенский университет, занимавший должность декана математического факультета с 1996 по 1998 год. С 1999 по 2000 год он был приглашенным профессором в Университет Принстона.

В 2002 году Хьюскен стал директором Институт Макса Планка гравитационной физики (Институт Альберта Эйнштейна) в Потсдам и одновременно почетным профессором Свободный университет Берлина. В апреле 2013 года занял пост директора Математический научно-исследовательский институт Обервольфаха, вместе с профессором Тюбингенского университета. Он остается внешним научным членом Института гравитационной физики Макса Планка.

Среди аспирантов Хьюскена: Бен Эндрюс и Саймон Брендл, среди более чем двадцати пяти других.

Работа

Работа Хьюскена связана с уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия, и их приложения в физика. Многочисленные явления в математическая физика и геометрия связаны с поверхностями и подмногообразия. Доминирующей темой работы Хёйскена было изучение деформации таких поверхностей в ситуациях, когда правила деформации определяются геометрией самих этих поверхностей. Такие процессы регулируются уравнениями в частных производных.

Вклад Huisken в средняя кривизна потока особенно важны. Благодаря его работе, поток средней кривизны гиперповерхностей в различных выпуклый настройки во многом разобрались. Его открытие Формула монотонности Хюискена, справедливый для потоков общей средней кривизны, является особенно важным инструментом.

В математическом исследовании общая теория относительности, Huisken и Том Ильманен (ETH Цюрих ) смогли доказать значительный частный случай Риманово неравенство Пенроуза. Их метод доказательства также внес решающий вклад в обратная средняя кривизна потока. Хьюберт Брей позже с помощью альтернативных методов доказал более общую версию своего результата. Общая версия гипотезы о черные дыры или же видимые горизонты в Лоренцева геометрия, по-прежнему открытая проблема (по состоянию на 2020 год).

Средняя кривизна потока

Хьюскен широко известен своей фундаментальной работой над средняя кривизна потока из гиперповерхности. В 1984 году адаптировал Ричард Гамильтон работает над Риччи поток к настройке потока средней кривизны, доказывая, что нормализация потока, которая сохраняет площадь поверхности, деформирует любую гладкую замкнутую выпуклый гиперповерхность Евклидово пространство в круглую сферу.[1][H84] Основное различие между его работой и работой Гамильтона состоит в том, что, в отличие от работы Гамильтона, соответствующее уравнение в доказательстве «оценки зажима» не поддается анализу. принцип максимума. Вместо этого Хьюскен использовал итерационные интегральные методы, следуя более ранней работе аналитиков. Эннио Де Джорджи и Гвидо Стампаккья. В 1987 году Хьюскен адаптировал свои методы для рассмотрения альтернативного потока, управляемого «средней кривизной», для замкнутых гиперповерхностей в евклидовом пространстве, в котором объем, окруженный поверхностью, остается постоянным; результат прямо аналогичен.[H87] Подобно результату Гамильтона, результаты Хьюскена можно рассматривать как доказательство того, что любая гладкая замкнутая выпуклая гиперповерхность евклидова пространства диффеоморфный к сфере и является границей области, диффеоморфной шару. Однако оба этих результата можно доказать более элементарными средствами, используя Карта Гаусса.

В 1986 году Хьюскен расширил вычисления в своем доказательстве на рассмотрение гиперповерхностей в целом. Римановы многообразия.[H86] Его результат говорит, что если гиперповерхность достаточно выпуклая относительно геометрии риманова многообразия, то поток средней кривизны сожмет ее в точку, и что нормализация площади поверхности в геодезические нормальные координаты придаст плавную деформацию сфере в евклидовом пространстве (как представлено координатами). Это показывает, что такие гиперповерхности диффеоморфны сфере и что они являются границей области на римановом многообразии, диффеоморфной шару. В этой общности нет простого доказательства с использованием отображения Гаусса.

После работы Ёсиказу Гига и Роберт Кон который широко использовал Энергия Дирихле взвешенный экспонентами, Хьюскен доказал в 1990 году интегральную идентичность, известную как Формула монотонности Хюискена, который показывает, что при обтекании средней кривизной интеграл от "обратного" евклидова тепловое ядро над развивающейся гиперповерхностью всегда не возрастает.[2][3][H90] Позже он расширил свою формулу, чтобы учесть общую коразмерность и общие положительные решения "обратного" уравнение теплопроводности; монотонность в этой общности существенно использует Ричард Гамильтон матричная оценка Ли-Яу.[H93][4] Расширение римановой ситуации было также дано Гамильтоном.[5] Позже идеи Хьюскена и Гамильтона были адаптированы Григорий Перельман к постановке "обратного" уравнения теплопроводности для объемные формы вдоль Риччи поток.[6]

Хьюскен и Клаус Эккер неоднократно использовали результат монотонности, чтобы показать, что для определенного класса некомпактных графических гиперповерхностей в евклидовом пространстве поток средней кривизны существует в течение всего положительного времени и деформирует любую поверхность в классе до саморасширяющееся решение потока средней кривизны.[EH89] Такое решение движется только путем постоянного пересчета одной гиперповерхности. Используя принцип максимума методов, они также смогли получить чисто локальные оценки производной, примерно аналогичные тем, которые ранее были получены Ван-Сюн Ши для потока Риччи.[7][EH91]

Учитывая сингулярность потока средней кривизны за конечное время, есть несколько способов выполнить микроскопический пересчет для анализа локальной геометрии в областях, близких к точкам большой кривизны. кривизна. Основываясь на своей формуле монотонности, Хёйскен показал, что многие из этих регионов, особенно те, которые известны как особенности типа I, точно моделируются самоусаживающиеся решения потока средней кривизны.[H90]

В настоящее время имеется достаточно полное понимание процесса изменения масштаба в условиях потоков средней кривизны, которые включают только гиперповерхности, средняя кривизна строго положительный. После предварительной работы Huisken, Тобиас Колдинг и Уильям Миникоцци показали, что (с некоторыми техническими условиями) единственными самоусаживающимися решениями потока средней кривизны, которые имеют неотрицательную среднюю кривизну, являются круглые цилиндры, что дает полную локальную картину особенностей типа I в "средневыпуклых" условиях.[H90][H93][8] В случае других особых областей, известных как особенности типа IIРичард Гамильтон разработал методы изменения масштаба в настройке потока Риччи, которые можно перенести на поток средней кривизны.[9] Модифицировав интегральные методы, разработанные им в 1984 году, Хьюскен и Карло Синестрари провели тщательно продуманный индуктивный аргумент в отношении элементарных симметричные многочлены из вторая основная форма чтобы показать, что любая модель сингулярности, возникающая в результате таких пересчетов, должна быть потоком средней кривизны, который движется путем перемещения единственной выпуклой гиперповерхности в некотором направлении.[HSS99a][HS99b] Этот переход от средней выпуклости к полной выпуклости сравним с гораздо более простой оценкой Гамильтона-Айви для потока Риччи, согласно которой любая модель сингулярности потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии должна иметь неотрицательную секционная кривизна.

Обратный поток средней кривизны

В 1970-е годы физики Роберт Герох, Понг-Су Чанг и Роберт Уолд развитые идеи, связывающие асимптотическое поведение обратная средняя кривизна потока справедливости гипотезы Пенроуза, которая связывает энергия асимптотически плоского пространства-времени к размеру черные дыры это содержит.[10][11] Это можно рассматривать как увеличение резкости или количественную оценку теорема положительной энергии, что дает более слабое утверждение о неотрицательности энергии.

В 1990-х Юн Ган Чен, Ёсиказу Гига, и Шуньити Гото, и независимо Лоуренс Эванс и Джоэл Спрук, разработал теорию слабые решения для потока средней кривизны с учетом наборы уровней решений определенного эллиптическое уравнение в частных производных.[12][13] Том Ильманен продвинулся в понимании теории таких эллиптических уравнений, прибегая к приближениям эллиптическими уравнениями более стандартного характера.[14] Хьюскен и Ильманен смогли адаптировать эти методы к потоку обратной средней кривизны, тем самым сделав методологию Героха, Янга и Вальда математически точной. Их результат касается некомпактных трехмерных римановых многообразий с краем неотрицательных скалярная кривизна чья граница минимальный, связывающий близкую к бесконечности геометрию с площадью поверхности наибольшего компонента границы.[HI01] Хьюберт Брей, используя теорема о положительной массе вместо потока с обратной средней кривизной, удалось улучшить неравенство Хьюскена и Ильманена, включив в него общую площадь поверхности границы.[15]

Почести и награды

Хьюскен является членом Гейдельбергская академия наук и гуманитарных наук, то Берлинско-Бранденбургская академия наук и гуманитарных наук, то Академия наук Леопольдина, а Американское математическое общество.[16]

Основные публикации

H84.Герхард Хёйскен. Растекание по средней кривизне выпуклых поверхностей на сферы. J. Differential Geom. 20 (1984), нет. 1, 237–266. DOI: 10.4310 / jdg / 1214438998
H86.Герхард Хёйскен. Сжимающие выпуклые гиперповерхности в римановых многообразиях их средней кривизной. Изобретать. Математика. 84 (1986), нет. 3, 463–480. DOI: 10.1007 / BF01388742
H87.Герхард Хёйскен. Объем, сохраняющий среднюю кривизну потока. J. Reine Angew. Математика. 382 (1987), 35–48. DOI: 10.1515 / crll.1987.382.35
EH89.Клаус Эккер и Герхард Хёйскен. Среднее изменение кривизны целых графиков. Анна. математики. (2) 130 (1989), нет. 3, 453–471. DOI: 10.2307 / 1971452
H90.Герхард Хёйскен. Асимптотика особенностей течения средней кривизны. J. Differential Geom. 31 (1990), нет. 1, 285–299. DOI: 10.4310 / jdg / 1214444099
EH91.Клаус Эккер и Герхард Хёйскен. Внутренние оценки гиперповерхностей, движущихся по средней кривизне. Изобретать. Математика. 105 (1991), нет. 3, 547–569. DOI: 10.1007 / BF01232278
H93.Герхард Хёйскен. Локальное и глобальное поведение гиперповерхностей, движущихся по средней кривизне. Proc. Симпози. Чистая математика., 54, часть 1 (1993), стр. 175–191. Дифференциальная геометрия: уравнения с частными производными на многообразиях (Труды Летнего научно-исследовательского института дифференциальной геометрии AMS, проходившие в Калифорнийском университете, Лос-Анджелес, Калифорния, 8–28 июля 1990 г.). Амер. Математика. Soc., Providence, RI. Под редакцией Роберта Грина и С.Т. Яу. DOI: 10.1090 / pspum / 054.1
HS99a.Герхард Хёйскен и Карло Синестрари. Особенности течения средней кривизны для средне выпуклых поверхностей. Расчет. Вар. Уравнения в частных производных 8 (1999), вып. 1, 1–14. DOI: 10.1007 / s005260050113
HS99b.Герхард Хёйскен и Карло Синестрари. Оценки выпуклости потока средней кривизны и особенности средне выпуклых поверхностей. Acta Math. 183 (1999), нет. 1, 45–70. DOI: 10.1007 / BF02392946
HI01.Герхард Хёйскен и Том Ильманен. Обратный поток средней кривизны и риманово неравенство Пенроуза. J. Differential Geom. 59 (2001), нет. 3, 353–437. DOI: 10.4310 / jdg / 1090349447

Рекомендации

  1. ^ Ричард С. Гамильтон. Трехмерные многообразия положительной кривизны Риччи. J. Дифференциальная геометрия. 17 (1982), вып. 2, 255–306.
  2. ^ Йошиказу Гига и Роберт В. Кон. Асимптотически самоподобное разрушение полулинейных уравнений теплопроводности. Comm. Pure Appl. Математика. 38 (1985), нет. 3, 297–319.
  3. ^ Йошиказу Гига и Роберт В. Кон. Характеристика разрушения с использованием переменных подобия. Indiana Univ. Математика. J. 36 (1987), нет. 1, 1–40.
  4. ^ Ричард С. Гамильтон. Матричная оценка Харнака для уравнения теплопроводности. Comm. Анальный. Геом. 1 (1993), нет. 1, 113–126.
  5. ^ Ричард С. Гамильтон. Формулы монотонности параболических потоков на многообразиях. Comm. Анальный. Геом. 1 (1993), нет. 1, 127–137.
  6. ^ Гриша Перельман. Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения. arXiv:математика / 0211159
  7. ^ Ван-Сюн Ши. Деформируем метрику на полных римановых многообразиях. J. Differential Geom. 30 (1989), нет. 1, 223–301.
  8. ^ Тобиас Х. Колдинг и Уильям П. Миникоцци, II. Типичный поток средней кривизны I: общие особенности. Анна. математики. (2) 175 (2012), вып. 2, 755–833.
  9. ^ Ричард С. Гамильтон. Формирование особенностей в потоке Риччи. Обзоры по дифференциальной геометрии. II (Кембридж, Массачусетс, 1993), 7–136. Int. Press, Кембридж, Массачусетс, 1995.
  10. ^ Роберт Героч. Извлечение энергии. Анна. New York Acad. Sci. 224 (1973), 108–117.
  11. ^ Понг Су Джанг и Роберт М. Уолд. Гипотеза положительной энергии и гипотеза космического цензора. J. Математическая физика. 18 (1977), нет. 1, 41–44.
  12. ^ Юн Ган Чен, Ёсиказу Гига и Шунити Гото. Единственность и существование вязкостных решений обобщенных уравнений течения средней кривизны. J. Differential Geom. 33 (1991), нет. 3, 749–786.
  13. ^ L.C. Эванс и Дж. Спрук. Движение нивелиров устанавливается по средней кривизне. I. J. Дифференциальная геометрия. 33 (1991), нет. 3, 635–681.
  14. ^ Том Ильманен. Эллиптическая регуляризация и частичная регулярность движения по средней кривизне. Mem. Амер. Математика. Soc. 108 (1994), нет. 520, х + 90 с.
  15. ^ Хуберт Л. Брей. Доказательство риманова неравенства Пенроуза с помощью теоремы о положительной массе. J. Differential Geom. 59 (2001), нет. 2, 177–267.
  16. ^ Список членов Американского математического общества, получено 7 июля 2013.
  17. ^ Хьюскен, Герхард (1998). «Эволюция гиперповерхностей по их кривизне в римановых многообразиях». Док. Математика. (Билефельд) Extra Vol. ICM Berlin, 1998, т. II. С. 349–360.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Герхард Хёйскен (математик) в Wikimedia Commons