Масса в общей теории относительности - Mass in general relativity

Концепция чего-либо масса в общая теория относительности (GR) сложнее, чем концепция масса в специальной теории относительности. Фактически, общая теория относительности не предлагает единого определения термина масса, но предлагает несколько различных определений, применимых в разных обстоятельствах. При некоторых обстоятельствах масса системы в общей теории относительности может даже не быть определена.

Обзор массы в специальной теории относительности

В специальная теория относительности, то инвариантная масса или же масса покоя (в дальнейшем просто "масса") из изолированная система можно определить в терминах энергия и импульс системы релятивистское уравнение энергии-импульса:

{ displaystyle m = { frac { sqrt {E ^ {2} - left (pc right) ^ {2}}} {c ^ {2}}},}

куда E - полная энергия системы, п - полный импульс системы и c это скорость света. Вкратце, в основных единицах, где ${ displaystyle c = 1}$ , масса системы в специальной теории относительности - это норма ее энергии-импульса четыре вектора.

Определение массы в общей теории относительности: концепции и препятствия

Однако обобщение этого определения на общую теорию относительности проблематично; на самом деле, оказывается, невозможно найти общее определение полной массы (или энергии) системы. Основная причина этого в том, что «энергия гравитационного поля» не является частью тензора энергии-импульса; вместо этого то, что можно было бы идентифицировать как вклад гравитационного поля в общую энергию, является частью тензора Эйнштейна на другой стороне уравнения Эйнштейна (и, как таковое, следствием нелинейности этих уравнений). Хотя в определенных ситуациях можно переписать уравнения так, чтобы часть «гравитационной энергии» теперь стояла рядом с другими исходными членами в виде псевдотензор напряжения-энергии-импульса, это разделение верно не для всех наблюдателей, и нет общего определения для его получения.^[1]

Как же тогда определить понятие как общую массу системы, которую легко определить в классической механике? Оказывается, по крайней мере, для пространств-времени, которые асимптотически плоский (грубо говоря, которые представляют собой некую изолированную гравитирующую систему в пустом и лишенном гравитации бесконечном пространстве), ADM Разделение 3 + 1 приводит к решению: как в обычном Гамильтонов формализм, направление времени, используемое в этом разделении, имеет связанную энергию, которую можно интегрировать, чтобы получить глобальную величину, известную как Масса ADM (или, что то же самое, ADM energy).^[2] В качестве альтернативы есть возможность определить массу для стационарное пространство-время другими словами, тот, который имеет временную Векторное поле убийства (которое, как поле, генерирующее время, канонически сопряжено с энергией); результат так называемый Комарская масса^[3]^[4] Хотя он определяется совершенно по-другому, можно показать, что он эквивалентен массе ADM для стационарного пространства-времени.^[5] Определение интеграла Комара также может быть обобщено на нестационарные поля, для которых существует по крайней мере асимптотика симметрия перевода времени; накладывая определенное калибровочное условие, можно определить Бонди энергия в нулевой бесконечности. В некотором смысле ADM Energy измеряет всю энергию, содержащуюся в пространстве-времени, в то время как энергия Бонди исключает те части, которые уносятся гравитационными волнами в бесконечность.^[4] Большие усилия были затрачены на доказательство теорем о положительности для только что определенных масс, не в последнюю очередь потому, что положительность или, по крайней мере, наличие нижнего предела имеет отношение к более фундаментальному вопросу ограниченности снизу: если бы не было нижнего предела для энергии, то никакая изолированная система не будет абсолютно стабильной; всегда будет возможность распада до состояния с еще меньшей полной энергией. Существует несколько видов доказательств того, что и масса ADM, и масса Бонди действительно положительны; в частности, это означает, что Пространство Минковского (для которого оба равны нулю) действительно стабильна.^[6] Хотя основное внимание здесь уделяется энергии, существуют аналогичные определения глобального импульса; учитывая поле угловых векторов Киллинга и следуя технике Комара, можно также определить глобальный угловой момент.^[7]

Недостатком всех упомянутых до сих пор определений является то, что они определены только на (нулевой или пространственной) бесконечности; с 1970-х годов физики и математики работали над более амбициозными усилиями по определению подходящих квазилокальный величины, такие как масса изолированной системы, определенной с использованием только величин, определенных в пределах конечной области пространства, содержащей эту систему. Однако, хотя существует множество предложенных определений, таких как Энергия Хокинга, то Энергия Героха или же Пенроуза квазилокальная энергия-импульс на основе твистор методы, эта область все еще находится в движении. В конце концов, есть надежда использовать подходящую определенную квазилокальную массу, чтобы дать более точную формулировку гипотеза обруча, доказать так называемое Неравенство Пенроуза для черных дыр (соотнесение массы черной дыры с площадью горизонта) и найти квазилокальную версию законов механики черной дыры.^[8]

Типы массы в общей теории относительности

Масса Комара в стационарном пространстве-времени

Нетехническое определение стационарное пространство-время это пространство-время, в котором ни один из метрических коэффициентов ${ displaystyle g _ { mu nu} ,}$ являются функциями времени. В Метрика Шварцшильда из черная дыра и Метрика Керра из вращающаяся черная дыра являются общими примерами стационарного пространства-времени.

По определению стационарное пространство-время демонстрирует симметрия перевода времени. Технически это называется временным Вектор убийства. Поскольку система обладает симметрией сдвига во времени, теорема Нётер гарантирует, что в ней сохраняется энергия. Поскольку стационарная система также имеет четко определенную систему покоя, в которой ее импульс можно считать равным нулю, определение энергии системы также определяет ее массу. В общей теории относительности эта масса называется массой Комара системы. Масса Комара может быть определена только для стационарных систем.

Масса Комара также может быть определена интегралом потока. Это похоже на то, как Закон Гаусса определяет заряд, заключенный на поверхности, как нормальную электрическую силу, умноженную на площадь. Однако интеграл потока, используемый для определения массы Комара, немного отличается от того, который используется для определения электрического поля - нормальная сила - это не фактическая сила, а «сила на бесконечности». Увидеть основная статья для более подробной информации.

Из этих двух определений описание массы Комара с точки зрения симметрии сдвига во времени дает самое глубокое понимание.

Массы ADM и Бонди в асимптотически плоском пространстве-времени

Если система, содержащая гравитационные источники, окружена бесконечной областью вакуума, геометрия пространства-времени будет стремиться приблизиться к плоской Геометрия Минковского специальной теории относительности на бесконечности. Такое пространство-время известно как «асимптотически плоское» пространство-время.

Для систем, в которых пространство-время асимптотически плоский, то ADM и можно определить энергию Бонди, импульс и массу. В терминах теоремы Нётер энергия, импульс и масса ADM определяются асимптотическими симметриями при пространственная бесконечность, а энергия Бонди, импульс и масса определяются асимптотическими симметриями при нулевая бесконечность. Обратите внимание, что масса вычисляется как длина энергии-импульса. четыре вектора, которую можно представить как энергию и импульс системы «на бесконечности».

Ньютоновский предел для почти плоского пространства-времени

В ньютоновском пределе для квазистатических систем в почти плоском пространстве-времени можно аппроксимировать полную энергию системы, сложив негравитационные компоненты энергии системы, а затем вычтя Ньютоновский гравитационная энергия связи.

Переводя вышеприведенное утверждение на язык общей теории относительности, мы говорим, что система в почти плоском пространстве-времени имеет полную негравитационную энергию E и импульс P, определяемые как:

{ displaystyle E = int _ {v} T_ {00} dV qquad P ^ {i} = int _ {V} T_ {0i} dV}

Когда компоненты вектора импульса системы равны нулю, т.е.P^я = 0, приблизительная масса системы равна (E + E_{привязка}) / c², E_{привязка} отрицательное число, представляющее ньютоновскую гравитационную энергию самосвязи.

Следовательно, когда кто-то предполагает, что система является квазистатической, он предполагает, что нет значительной энергии, присутствующей в форме "гравитационных волн". Когда кто-то предполагает, что система находится в "почти плоском" пространстве-времени, он предполагает, что метрические коэффициенты по существу равны Минковский в пределах допустимой экспериментальной ошибки.

История

В 1918 г. Дэвид Гильберт писал о трудности приписывания энергии «полю» и «несостоятельности теоремы об энергии» в переписке с Кляйн. В этом письме Гильберт высказал предположение, что этот отказ является характерной чертой общей теории, и что вместо «теорем о правильной энергии» были «теоремы о несобственной энергии».

Это предположение вскоре было доказано одним из ближайших сотрудников Гильберта, Эмми Нётер. Теорема Нётер применяется к любой системе, которую можно описать принцип действия. Теорема Нётер связывает сохраняющиеся энергии с симметриями сдвига во времени. Когда симметрия сдвига во времени является конечным параметром непрерывная группа, такой как Группа Пуанкаре Теорема Нётер определяет скалярную сохраняемую энергию для рассматриваемой системы. Однако, когда симметрия представляет собой непрерывную группу с бесконечными параметрами, существование сохраняющейся энергии не гарантируется. Аналогичным образом теорема Нётер связывает сохраняющиеся импульсы с пространственными переносами, когда группа симметрии переводов конечномерно. Поскольку общая теория относительности диффеоморфизм В теории инвариантов она имеет бесконечную непрерывную группу симметрий, а не группу симметрий с конечными параметрами, и, следовательно, имеет неправильную групповую структуру, чтобы гарантировать сохраняющуюся энергию. Теорема Нётер оказала огромное влияние на то, что вдохновила и объединила различные идеи массы, энергии системы и импульса системы в общей теории относительности.

В качестве примера применения теоремы Нётер можно привести пример стационарного пространства-времени и связанной с ними массы Комара (Komar 1959). В то время как обычному пространству-времени не хватает симметрии переноса времени с конечными параметрами, стационарное пространство-время обладает такой симметрией, известной как Вектор убийства. Теорема Нётер доказывает, что такое стационарное пространство-время должно иметь связанную сохраненную энергию. Эта сохраненная энергия определяет сохраняемую массу, массу Комара.

Масса ADM была введена (Arnowitt et al., 1960) из исходной формулировки общей теории относительности. Позднее он был переформулирован различными авторами в терминах группы асимптотических симметрий на пространственной бесконечности, группы SPI. (Held, 1980). Эта переформулировка во многом прояснила теорию, в том числе объяснила, почему импульс ADM и энергия ADM преобразуются как 4-вектор (Held, 1980). Обратите внимание, что группа SPI на самом деле бесконечномерна. Существование сохраняющихся величин обусловлено тем, что группа SPI «супер-трансляций» имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» трансляций, которая, согласно теореме Нётер, генерирует сохраняющуюся 4-параметрическую энергию-импульс. Нормой этой 4-параметрической энергии-импульса является масса ADM.

Масса Бонди была введена (Бонди, 1962) в статье, в которой изучалась потеря массы физических систем из-за гравитационного излучения. Масса Бонди также связана с группой асимптотических симметрий, т.е. БМС группа в нулевой бесконечности. Подобно группе SPI в пространственной бесконечности, группа BMS в нулевой бесконечности является бесконечномерной и также имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу "чистых" переводов.

Другой подход к проблеме энергии в общей теории относительности - использование псевдотензоры такой как Псевдотензор Ландау-Лифшица (Ландау, Лифшиц, 1962). Псевдотензоры не являются калибровочно-инвариантными - из-за этого они дают согласованные не зависящие от калибровки ответы для полной энергии только при соблюдении дополнительных ограничений (таких как асимптотическая плоскостность). Калибровочная зависимость псевдотензоров также предотвращает любое калибровочно-независимое определение локальной плотности энергии, поскольку каждый другой выбор калибровки приводит к разной локальной плотности энергии.

Вопросы, ответы и простые примеры массы в общей теории относительности

В специальной теории относительности инвариантная масса отдельной частицы всегда лоренц-инвариантна. Можно ли то же самое сказать о массе системы частиц в общей теории относительности?

Удивительно, но ответ отрицательный. Система должна быть изолирована или иметь нулевой объем, чтобы ее масса была лоренц-инвариантной. В то время как плотность энергии импульса, тензор энергии-импульса всегда лоренц-ковариантен, чего нельзя сказать о полной энергии-импульсе. (Накамура, 2005). Нековариантность четырехвектора энергии-импульса влечет неинвариантность его длины, инвариантной массы.

На более простом языке это означает, что следует проявлять большую осторожность, говоря о массе неизолированной системы. Неизолированная система постоянно обменивается энергией-импульсом со своим окружением. Даже когда чистая скорость обмена энергией-импульсом с окружающей средой равна нулю, различия в определении одновременности приводят к тому, что общее количество энергии-импульса, содержащееся в системе в данный момент времени, зависит от определения одновременности, которое есть принят наблюдателем. Это приводит к тому, что инвариантная масса неизолированной системы зависит от выбора координат даже в специальной теории относительности. Только изолированная система имеет массу, не зависящую от координат.

Может ли объект двигаться так быстро, что превращается в черную дыру?

Нет. Объект, который не является черной дырой в своем остальном кадре, не будет черной дырой в любом другом кадре. Одна из характеристик черной дыры состоит в том, что у черной дыры есть горизонт событий, из которого не может выйти свет. Если свет может уходить от объекта в бесконечность в кадре покоя объекта, он также может уходить в бесконечность в кадре, в котором объект движется. Путь, по которому пойдет свет, будет аберрированный движением объекта, но свет все равно уйдет в бесконечность.^[9]

Если два объекта имеют одинаковую массу, и мы нагреваем один из них от внешнего источника, набирает ли нагретый объект массу? Если мы поместим оба объекта на достаточно чувствительные весы, будет ли нагретый объект весить больше, чем ненагретый? Будет ли у нагретого объекта более сильное гравитационное поле, чем у ненагретого объекта?

Ответ на все вышеперечисленные вопросы - да. Горячий объект имеет больше энергии, поэтому он весит больше и имеет большую массу, чем холодный объект. У него также будет более высокое гравитационное поле, чтобы соответствовать его большей массе, согласно принципу эквивалентности. (Карлип 1999)

Представьте, что у нас есть прочный сосуд высокого давления, в котором находится идеальный газ. Мы нагреваем газ с помощью внешнего источника энергии, добавляя системе некоторое количество энергии E. Увеличивается ли масса нашей системы на E / c²? Увеличивается ли масса газа на E / c²?

Вопрос несколько двусмысленный, как указано. Если интерпретировать вопрос как вопрос о массе Комара, то ответы на вопросы будут соответственно да и нет. Поскольку сосуд высокого давления создает статическое пространство-время, Комарская масса существует, и его можно найти, рассматривая идеальный газ как идеальная жидкость. Используя формулу для массы Комара небольшой системы в пространстве-времени, близком к минковскому, можно найти, что масса системы в геометрические единицы равно E + ∫ 3 п dV, где E - полная энергия системы, а P - давление.

Интеграл ∫ п Однако dV во всем объеме системы равна нулю. Вклад положительного давления в жидкости в точности компенсируется вкладом отрицательного давления (напряжения) в оболочке. Это сокращение не случайно, это следствие релятивистской теоремы вириала (Carlip 1999).

Однако, если мы ограничим нашу область интегрирования самой жидкостью, интеграл не будет равен нулю, и давление будет увеличивать массу. Поскольку интеграл давления положителен, мы находим, что масса жидкости Комара увеличивается более чем на E / c.².

Значение слагаемых давления в формуле Комара лучше всего можно понять с помощью мысленного эксперимента. Если мы предположим сферический сосуд высокого давления, сам сосуд высокого давления не будет вносить вклад в ускорение свободного падения, измеряемое акселерометром внутри оболочки. Формула массы Комара говорит нам, что поверхностное ускорение, которое мы измеряем внутри сосуда высокого давления, у внешнего края горячего газа, будет равно

{ Displaystyle G влево (E + 3PV вправо) / г ^ {2} с ^ {2}}

где E - полная энергия (включая энергию покоя) горячего газа.

G - гравитационная постоянная Ньютона

P - давление горячего газа

V - объем сосуда высокого давления.

Это поверхностное ускорение будет выше, чем ожидалось, из-за условий давления. В полностью релятивистском газе (это включает в себя «световой ящик» как частный случай) вклад члена давления 3 PV будет равен члену энергии E, а ускорение на поверхности будет удвоено по сравнению с величиной для нерелятивистского газа.

Можно также спросить об ответах на этот вопрос, если предположить, что спрашивают о массе, как она определена в специальной теории относительности, а не о массе Комара. Если предположить, что пространство-время близко к Минковскому, особая релятивистская масса существует. В этом случае ответ на первый вопрос по-прежнему утвердительный, но на второй вопрос нельзя ответить, не добавив дополнительных данных. Поскольку система, состоящая только из газа, не является изолированной системой, ее масса не инвариантна и, таким образом, зависит от выбора системы наблюдения. Для ответа на второй вопрос необходимо указать конкретный выбор системы наблюдения (такой как остальная часть системы). Если выбрана система покоя объекта и предполагается особая релятивистская масса, а не масса Комара, ответ на второй вопрос будет утвердительным. Эта проблема иллюстрирует некоторые трудности, с которыми приходится сталкиваться, говоря о массе неизолированных систем.

Единственная разница между «горячей» и «холодной» системами в нашем последнем вопросе связана с движением частиц в газе внутри сосуда высокого давления. Не означает ли это, что движущаяся частица обладает «большей гравитацией», чем неподвижная частица?

Это замечание, вероятно, по существу верно, но его трудно дать количественно.

К сожалению, неясно, как измерить «гравитационное поле» отдельного релятивистски движущегося объекта. Ясно, что гравитацию можно рассматривать как силу, если у вас есть стационарная метрика, но метрика, связанная с движущейся массой, не является стационарной.

Хотя проблемы с определениями и измерениями ограничивают нашу способность количественно оценить гравитационное поле движущейся массы, можно измерить и количественно оценить влияние движения на приливные гравитационные силы. При этом обнаруживается, что приливная гравитация движущейся массы несферически симметрична - в некоторых направлениях она сильнее, чем в других. Можно также сказать, что в среднем по всем направлениям приливная гравитация увеличивается при движении объекта.

Некоторые авторы использовали общую скорость, сообщаемую «пролётным», а не приливными силами, чтобы получить косвенную оценку увеличения гравитационной «эффективной массы» релятивистски движущихся объектов (Olson & Guarino 1985).

Хотя, к сожалению, нет единого окончательного способа интерпретировать искривление пространства-времени, вызванное движущейся массой, как ньютоновскую силу, можно определенно сказать, что движение молекул в горячем объекте увеличивает массу этого объекта.

Обратите внимание, что в общей теории относительности гравитация вызывается не массой, а тензором энергии-импульса. Таким образом, утверждение, что движущаяся частица имеет «большую гравитацию», не означает, что частица имеет «большую массу». Это только означает, что движущаяся частица имеет «больше энергии».

Предположим, что сосуд высокого давления в нашем предыдущем вопросе выходит из строя, а система взрывается - изменится ли его масса?

Масса системы не меняется, потому что судно (или его части после взрыва) образуют изолированную систему. Этот вопрос действительно иллюстрирует одно из ограничений формулы Комара - масса Комара определяется только для стационарных систем. Если применить формулу Комара к этой нестатической нестационарной системе, получится неверный результат, заключающийся в изменении массы системы. Давление и плотность газа остаются постоянными в течение короткого времени после разрушения, в то время как напряжение в сосуде высокого давления исчезает сразу же, когда сосуд высокого давления выходит из строя. Однако в этом случае нельзя правильно применить формулу Комара - нужно применить другую формулу, например Масса ADM формула, формула предела Ньютона или специальная релятивистская формула.

Какова масса Вселенной? Какова масса наблюдаемой Вселенной? Есть ли масса у замкнутой вселенной?

Ни на один из вышеперечисленных вопросов нет ответов. Мы знаем плотность Вселенной (по крайней мере, в нашей локальной области), но мы можем только строить предположения о размерах Вселенной, что не позволяет нам дать окончательный ответ относительно массы Вселенной. На второй вопрос тоже ответить не можем. Поскольку наблюдаемая Вселенная не является асимптотически плоской и не стационарной, и поскольку она может не быть изолированной системой, ни одно из наших определений массы в общей теории относительности не применимо, и нет способа вычислить массу наблюдаемой Вселенной. Ответ на третий вопрос также отрицательный: следующая цитата из (Миснер и др., Стр. 457) объясняет, почему:

«Согласно общей теории относительности, не существует такой вещи, как энергия (или угловой момент, или заряд) замкнутой Вселенной, и это по простой причине. Чтобы что-то взвесить, нужна платформа, на которой можно стоять и проводить взвешивание. ..

«Чтобы определить электрический заряд тела, его окружают большой сферой, оценивают электрическое поле, нормальное к поверхности в каждой точке этой сферы, интегрируют по сфере и применяют теорему Гаусса. Но в любой замкнутой модели Вселенная с топологией 3-сферы, гауссовская 2-сфера, которая достаточно широко расширяется из одной точки, обнаруживает, что коллапсирует в небытие в точке противоположности. Также рушится в небытие попытка получить полезную информацию о "заряде" Вселенная ": заряд тривиально равен нулю".

Смотрите также

Примечания

^ Ср. Миснер, Торн и Уиллер, 1973, §20.4
^ Арновитт, Дезер и Миснер 1962.
^ Ср. Комар 1959
^ ^а ^б Педагогическое введение см. Уолд 1984, сек. 11.2.
^ Это показано в Аштекар и Магнон-Аштекар 1979.
^ См. Различные ссылки на стр. 295 из Уолд 1984.
^ Например. Таунсенд 1997, гл. 5.
^ См. Обзорную статью Сабадош 2004.
^ Если вы пойдете слишком быстро, станете ли вы черной дырой?

внешняя ссылка

"Сохраняется ли энергия в общей теории относительности?

[1] Ср. Миснер, Торн и Уиллер, 1973, §20.4

[2] Арновитт, Дезер и Миснер 1962.

[3] Ср. Комар 1959

[Wald.11.2-4] а ^б Педагогическое введение см. Уолд 1984, сек. 11.2.

[5] Это показано в Аштекар и Магнон-Аштекар 1979.

[6] См. Различные ссылки на стр. 295 из Уолд 1984.

[7] Например. Таунсенд 1997, гл. 5.

[8] См. Обзорную статью Сабадош 2004.

[9] Если вы пойдете слишком быстро, станете ли вы черной дырой?

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]