Формула монотонности Гюискенса - Huiskens monotonicity formula

В дифференциальная геометрия, Формула монотонности Хюискена заявляет, что если $п$ -мерная поверхность в $(п + 1)$ -размерный Евклидово пространство подвергается средняя кривизна потока, то его свертка с соответствующим масштабом и обратным временем тепловое ядро не увеличивается.^[1]^[2] Результат назван в честь Герхард Хёйскен, опубликовавший его в 1990 году.^[3]

В частности, $(п + 1)$ -мерное обращенное во времени тепловое ядро, сходящееся к точке $Икс 0$ вовремя $т 0$ может быть задано формулой^[1]

{ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {(4 pi (t_ {0} -t)) ^ {n / 2}}} exp left (- { frac {| x -x_ {0} | ^ {2}} {4 (t_ {0} -t)}} right).}

Тогда формула монотонности Хюискена дает явное выражение для производная из

{ Displaystyle int и (х, т) д му,}

куда $μ$ элемент площади развивающейся поверхности во времени $т$ . Выражение включает отрицание другого интеграла, подынтегральная функция которого неотрицательна, поэтому производная неположительна.

Обычно $Икс 0$ и $т 0$ выбраны в качестве времени и положения особенности развивающейся поверхности, и формула монотонности может использоваться для анализа поведения поверхности по мере того, как она эволюционирует к этой особенности. В частности, единственные поверхности, для которых свертка с тепловым ядром остается постоянной, а не уменьшается, - это те, которые остаются самоподобными по мере развития, и формула монотонности может использоваться для классификации этих поверхностей.

Григорий Перельман выведены аналогичные формулы для Риччи поток.^[4]^[5]

Рекомендации

^ ^а ^б Мантегацца, Карло (2011), "3.1 Формула монотонности для потока средней кривизны", Конспект лекций о потоке средней кривизны, Успехи в математике, 290, Базель: Birkhäuser / Springer, стр. 49–52, CiteSeerX 10.1.1.205.9269, Дои:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, МИСТЕР 2815949.
^ Беллеттини, Джованни (2013), «4 формула монотонности Хьюскена», Конспект лекций по течению средней кривизны, барьерам и сингулярным возмущениям, Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Новая серия) [Конспект лекций. Scuola Normale Superiore di Pisa (Новая серия)], 12, Пиза: Edizioni della Normale, стр. 59–68, Дои:10.1007/978-88-7642-429-8, ISBN 978-88-7642-428-1, МИСТЕР 3155251.
^ Хёйскен, Герхард (1990), «Асимптотика особенностей течения средней кривизны», Журнал дифференциальной геометрии, 31 (1): 285–299, Дои:10.4310 / jdg / 1214444099, МИСТЕР 1030675.
^ Перельман, Григорий (2002), Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения, arXiv:математика / 0211159, Bibcode:2002математика ..... 11159P.
^ Цао, Хуай-Донг; Гамильтон, Ричард С.; Ильманен, Том (2004), Гауссовы плотности и устойчивость некоторых солитонов Риччи, arXiv:математика / 0404165, Bibcode:2004математика ...... 4165C, Есть также две формулы монотонности сжимающегося или локализирующего типа ... Любую из них можно рассматривать как аналог формулы монотонности Хьюскена для потока средней кривизны..

[m-1] а ^б Мантегацца, Карло (2011), "3.1 Формула монотонности для потока средней кривизны", Конспект лекций о потоке средней кривизны, Успехи в математике, 290, Базель: Birkhäuser / Springer, стр. 49–52, CiteSeerX 10.1.1.205.9269, Дои:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, МИСТЕР 2815949.

[2] Беллеттини, Джованни (2013), «4 формула монотонности Хьюскена», Конспект лекций по течению средней кривизны, барьерам и сингулярным возмущениям, Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Новая серия) [Конспект лекций. Scuola Normale Superiore di Pisa (Новая серия)], 12, Пиза: Edizioni della Normale, стр. 59–68, Дои:10.1007/978-88-7642-429-8, ISBN 978-88-7642-428-1, МИСТЕР 3155251.

[3] Хёйскен, Герхард (1990), «Асимптотика особенностей течения средней кривизны», Журнал дифференциальной геометрии, 31 (1): 285–299, Дои:10.4310 / jdg / 1214444099, МИСТЕР 1030675.

[4] Перельман, Григорий (2002), Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения, arXiv:математика / 0211159, Bibcode:2002математика ..... 11159P.

[5] Цао, Хуай-Донг; Гамильтон, Ричард С.; Ильманен, Том (2004), Гауссовы плотности и устойчивость некоторых солитонов Риччи, arXiv:математика / 0404165, Bibcode:2004математика ...... 4165C, Есть также две формулы монотонности сжимающегося или локализирующего типа ... Любую из них можно рассматривать как аналог формулы монотонности Хьюскена для потока средней кривизны..

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]