Свободная абелева группа - Free abelian group

Не путать с Бесплатная группа.

В математика, а свободная абелева группа или же бесплатный Z-модуль является абелева группа с основа, или, что то же самое, бесплатный модуль над целыми числами. Абелева группа означает, что она набор с операцией сложения, которая ассоциативный, коммутативный, и обратимый. Базис - это такое подмножество, что каждый элемент группы может быть однозначно выражен как линейная комбинация базовых элементов с целое число коэффициенты. Например, целые числа со сложением образуют свободную абелеву группу с базой {1}. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства. У них есть приложения в алгебраическая топология, где они используются для определения цепные группы, И в алгебраическая геометрия, где они используются для определения делители. Целочисленные решетки также образуют примеры свободных абелевых групп, и теория решетки изучает бесплатный абелевский подгруппы вещественных векторных пространств.

Элементы свободной абелевой группы с базисом B можно описать несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы над B, которые являются выражениями вида ${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}}$ где каждый коэффициент а_я ненулевое целое число, каждый множитель б_я является отдельным базисным элементом, а сумма имеет конечное число членов. В качестве альтернативы элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как подписанные мультимножества содержащий конечное число элементов B, с кратностью элемента в мультимножестве, равным его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представить элемент свободной абелевой группы - это функция от B к целым числам с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция является точечно добавление функций.

Каждый набор B имеет свободную абелеву группу с B как его основу. Эта группа уникальна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одинаковым базисом являются изоморфный. Вместо того, чтобы строить его, описывая отдельные элементы, свободная группа с базисом B может быть построен как прямая сумма копий аддитивной группы целых чисел, по одной копии на член B. В качестве альтернативы свободная абелева группа с базисом B может быть описан презентация с элементами B как его генераторы и с коммутаторы пар членов в качестве его соотносителей. В классифицировать свободной абелевой группы - мощность базиса; каждые две базы одной и той же группы дают один и тот же ранг, и любые две свободные абелевы группы с одинаковым рангом изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как частное свободной абелевой группы "отношениями", или как коядро инъекции гомоморфизм между свободными абелевыми группами. Единственные свободные абелевы группы, которые бесплатные группы являются тривиальная группа и бесконечная циклическая группа.

Примеры и конструкции

Целые числа и решетки

Решетка в Евклидова плоскость. Добавление любых двух синих точек решетки дает еще одну точку решетки; группа, образованная этой операцией сложения, является свободной абелевой группой

В целые числа под действием операции сложения образуют свободную абелеву группу с базисом {1}. Каждое целое число п представляет собой линейную комбинацию базисных элементов с целыми коэффициентами: а именно, п = п × 1, с коэффициентомп.

Двумерный целочисленная решетка, состоящий из точек на плоскости с целым числом Декартовы координаты, образует свободную абелеву группу при векторное сложение с базисом {(0,1), (1,0)}.^[1] Обозначив эти базисные векторы ${\displaystyle \ e_{1}=(1,0)}$ и ${\displaystyle \ e_{2}=(0,1)}$, элемент (4,3) можно записать

${\displaystyle \ (4,3)=4e_{1}+3e_{2}}$ где «умножение» определяется так, что ${\displaystyle \ 4e_{1}:=e_{1}+e_{1}+e_{1}+e_{1}.}$

На этой основе нет другого способа написать (4,3). Однако с другим базисом, например {(1,0), (1,1)}, где ${\displaystyle \ f_{1}=(1,0)}$ и ${\displaystyle \ f_{2}=(1,1)}$, это можно записать как

${\displaystyle \ (4,3)=f_{1}+3f_{2}.}$

В более общем плане каждый решетка образует конечно порожденный свободная абелева группа.^[2] В d-мерная целочисленная решетка имеет естественный базис, состоящий из натуральных чисел единичные векторы, но есть и много других оснований: если M это d × d целочисленная матрица с детерминант ± 1, то строки M образуют базис, и, наоборот, каждый базис целочисленной решетки имеет этот вид.^[3] Подробнее о двумерном случае см. фундаментальная пара периодов.

Прямые суммы, прямые произведения и тривиальная группа

В прямой продукт двух свободных абелевых групп сама является свободной абелевой, с базисом несвязный союз оснований двух групп.^[4] В более общем смысле прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободным абелевым. В d-мерная целочисленная решетка, например, изоморфна прямому произведению d копии целой группы Z.

Тривиальная группа {0} также считается свободной абелевой с базисом пустой набор.^[5] Это может быть истолковано как прямой продукт нулевых копийZ.

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение (семейство наборов элементов из каждой группы с поточечным сложением) не обязательно является свободным абелевым.^[4]Например, Группа Бэра – Спекера ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$, бесчисленная группа, образованная как прямой продукт счетно много копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, был показан в 1937 г. Райнхольд Баер не быть свободным абелевцем;^[6] Эрнст Шпекер в 1950 году доказал, что всякая счетная подгруппа группы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ это свободный абелев.^[7]В прямая сумма конечного числа групп совпадает с прямым произведением, но отличается от прямого произведения на бесконечном числе слагаемых; его элементы состоят из наборов элементов из каждой группы, все, кроме конечного числа, равны единичному элементу. Как и в случае конечного числа слагаемых, прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остается свободной абелевой с базисом, образованным (образами) несвязным объединением баз слагаемых.^[4]

В тензорное произведение двух свободных абелевых групп всегда является свободной абелевой, с базисом Декартово произведение баз для двух групп в продукте.^[8]

Каждую свободную абелеву группу можно описать как прямую сумму копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, по одному экземпляру на каждого члена своей базы.^[9][10] Эта конструкция позволяет любой набор B стать основой свободной абелевой группы.^[11]

Целочисленные функции и формальные суммы

Учитывая набор B, можно определить группу ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ элементы которого являются функциями от B к целым числам, где скобка в верхнем индексе означает, что включены только функции с конечным числом ненулевых значений. ж(Икс) и грамм(Икс) - две такие функции, то ж + грамм - функция, значения которой являются суммой значений в ж и грамм: то есть, (ж + грамм)(Икс) = ж(Икс) + грамм(Икс). Этот точечно операция сложения дает ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ строение абелевой группы.^[12]

Каждый элемент Икс из данного набора B соответствует члену ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, функция е_Икс для которого е_Икс(Икс) = 1 и для которой е_Икс(у) = 0 для всех у ≠ Икс.Каждая функция ж в ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ однозначно является линейной комбинацией конечного числа базисных элементов:

${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}}$

Таким образом, эти элементы е_Икс сформировать основу для ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, и ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ - свободная абелева группа, поэтому каждое множество B можно сделать базисом свободной абелевой группы.^[12]

Свободная абелева группа с базисом B единственно с точностью до изоморфизма, а его элементы известны как формальные суммы элементовB.Они также могут интерпретироваться как подписанные мультимножества конечного числа элементов BНапример, в алгебраическая топология, цепи формальные суммы симплексы, а цепная группа - это свободная абелева группа, элементами которой являются цепи.^[13] В алгебраическая геометрия, то делители из Риманова поверхность (комбинаторное описание нулей и полюсов мероморфные функции ) образуют несчетную свободную абелеву группу, состоящую из формальных сумм точек с поверхности.^[14]

Презентация

А презентация группы представляет собой набор элементов, которые порождают группу (все элементы группы являются продуктами конечного числа образующих), вместе с «связями», продуктами образующих, которые дают единичный элемент. Свободная абелева группа с базисом B имеет представление, в котором генераторы являются элементами B, а отношениями являются коммутаторы пар элементов B. Здесь коммутатор из двух элементов Икс и у это продукт Икс⁻¹у⁻¹ху; установка этого продукта на идентификационные причины ху в равной yx, так что Икс и у ездить. В более общем смысле, если все пары образующих коммутируют, то все пары произведений образующих также коммутируют. Следовательно, группа, порожденная этим представлением, является абелевой, и относители представления образуют минимальный набор относителей, необходимый для обеспечения его абелевой принадлежности.^[15]

Когда набор образующих конечен, представление также конечно. Этот факт вместе с тем фактом, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой (ниже ) можно использовать, чтобы показать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно представима. Ведь если грамм конечно порождена множеством B, это фактор свободной абелевой группы над B свободной абелевой подгруппой, подгруппа, порожденная соотношениями представления грамм. Но поскольку эта подгруппа сама является свободной абелевой, она также конечно порождена, и ее базис (вместе с коммутаторами над B) образует конечный набор отношений для представления грамм.^[16]

Терминология

Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль над целыми числами, рассматривая скалярное умножение члена группы на целое число, определенное следующим образом:^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}0\,x&=0\\1\,x&=x\\n\,x&=x+(n-1)\,x\qquad {\text{if}}\quad n>1\\n\,x&=-((-n)\,x)\qquad {\text{if}}\quad n<0\end{aligned}}}$

А бесплатный модуль является модулем, который может быть представлен в виде прямой суммы по своему базовому кольцу, поэтому свободные абелевы группы и свободные ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модули - это эквивалентные концепции: каждая свободная абелева группа является (с операцией умножения, описанной выше) свободной ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль, и каждый бесплатный ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль происходит таким образом из свободной абелевой группы.^[18]

В отличие от векторные пространства, не все абелевы группы имеют базис, отсюда и специальное название для тех, которые имеют. Например, любой кручение ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль, и, следовательно, любая конечная абелева группа, не является свободной абелевой группой, потому что 0 может быть разложен несколькими способами на любой набор элементов, который может быть кандидатом в базис: ${\displaystyle 0=0\,b=n\,b}$ для некоторого положительного целого числа п. С другой стороны, многие важные свойства свободных абелевых групп можно обобщить на свободные модули над главная идеальная область.^[19]

Обратите внимание, что свободный абелевский группа нет а свободная группа за исключением двух случаев: свободная абелева группа с пустым базисом (ранг 0, что дает тривиальная группа ) или имея всего 1 элемент в основе (ранг 1, что дает бесконечная циклическая группа ).^[5][20] Другие абелевы группы не являются свободными группами, потому что в свободных группах ab должно отличаться от ба если а и б являются разными элементами базиса, тогда как в свободных абелевых группах они должны быть идентичны. Бесплатные группы являются бесплатные объекты в категория групп, то есть "наиболее общие" или "наименее ограниченные" группы с данным числом образующих, тогда как свободные абелевы группы являются свободными объектами в категория абелевых групп.^[21] В общей категории групп это дополнительное ограничение требует, чтобы ab = ba, а это необходимое свойство в категории абелевых групп.

Характеристики

Универсальная собственность

Свободная абелева группа ${\displaystyle F}$ с основанием ${\displaystyle B}$ имеет следующие универсальная собственность: для каждой функции ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle B}$ абелевой группе ${\displaystyle A}$, существует единственный групповой гомоморфизм из ${\displaystyle F}$ к ${\displaystyle A}$ который расширяет ${\displaystyle f}$.^[5] По общему свойству универсальных свойств это показывает, что «» абелева группа базы ${\displaystyle B}$ уникальный вплоть до изоморфизм. Следовательно, универсальное свойство можно использовать как определение свободной абелевой группы базисных ${\displaystyle B}$. Уникальность группы, определенной этим свойством, показывает, что все другие определения эквивалентны.^[11]

Классифицировать

Каждые два базиса одной и той же свободной абелевой группы имеют одинаковые мощность, поэтому мощность базиса образует инвариантный группы, известной как ее ранг.^[22][23]В частности, свободная абелева группа - это конечно порожденный тогда и только тогда, когда его ранг - конечное число п, в этом случае группа изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$.

Это понятие ранга можно обобщить от свободных абелевых групп до абелевых групп, которые не обязательно являются свободными. В ранг абелевой группы грамм определяется как ранг свободной абелевой подгруппы F из грамм для чего факторгруппа грамм/F это торсионная группа. Эквивалентно, это мощность максимальный подмножество грамм что порождает свободную подгруппу. Опять же, это групповой инвариант; это не зависит от выбора подгруппы.^[24]

Подгруппы

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Ричард Дедекинд^[25] был предшественником аналогичного Теорема Нильсена – Шрайера что каждая подгруппа свободная группа бесплатно и является обобщением того факта, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы бесконечна циклическая.Доказательство требует аксиома выбора.^[26]Доказательство использования Лемма Цорна (одно из многих эквивалентных предположений выбранной аксиоме) можно найти в Серж Ланг с Алгебра.^[27] Соломон Лефшец и Ирвинг Каплански заявили, что с помощью принцип хорошего порядка вместо леммы Цорна приводит к более интуитивному доказательству.^[10]

В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если ${\displaystyle G}$ является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы ${\displaystyle F}$, тогда ${\displaystyle G}$ бесплатно и есть основа ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ из ${\displaystyle F}$ и положительные целые числа ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ (то есть каждый делит следующий) такой, что ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ является основой ${\displaystyle G.}$ Более того, последовательность ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ зависит только от ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ а не на конкретной основе ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ это решает проблему.^[28]А конструктивное доказательство части существования теоремы обеспечивается любым алгоритмом, вычисляющим Нормальная форма Смита матрицы целых чисел.^[29] Единственность следует из того, что для любого ${\displaystyle r\leq k}$, то наибольший общий делитель несовершеннолетних ранга ${\displaystyle r}$ матрицы не изменяется во время вычисления нормальной формы Смита и является произведением ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$ в конце расчета.^[30]

Как каждый конечно порожденная абелева группа является фактором конечно порожденной свободной абелевой группы по подмодулю, основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является следствием приведенного выше результата.

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы без кручения, что означает отсутствие группового элемента (неидентичность) ${\displaystyle x}$ и ненулевое целое число ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle nx=0}$Наоборот, все конечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными абелевыми.^[5][31] То же самое касается плоскостность, поскольку абелева группа без кручения тогда и только тогда, когда она плоская.

Аддитивная группа рациональное число ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ дает пример абелевой группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой.^[32] Одна из причин, по которой ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не является свободным абелевым в том, что это делимый, что означает, что для каждого элемента ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ и каждое ненулевое целое число ${\displaystyle n}$, можно выразить ${\displaystyle x}$ как скалярное кратное ${\displaystyle ny}$ другого элемента${\displaystyle y=x/n}$. Напротив, ненулевые свободные абелевы группы никогда не делятся, потому что любой из их базисных элементов не может быть нетривиальным целым числом, кратным другим элементам.^[33]

Отношение к другим абелевым группам

Для произвольной абелевой группы ${\displaystyle A}$, всегда существует свободная абелева группа ${\displaystyle F}$ и сюръективный групповой гомоморфизм из ${\displaystyle F}$ к ${\displaystyle A}$. Один из способов построения сюръекции на данную группу ${\displaystyle A}$ это позволить ${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ - свободная абелева группа над ${\displaystyle A}$, представленные в виде формальных сумм. Тогда сюръекцию можно определить, отображая формальные суммы в ${\displaystyle F}$ на соответствующие суммы членов ${\displaystyle A}$. То есть карты сюръекций

${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$

куда ${\displaystyle a_{x}}$ - целочисленный коэффициент базисного элемента ${\displaystyle e_{x}}$ в данной формальной сумме первая сумма находится в ${\displaystyle F}$, а вторая сумма находится в ${\displaystyle A}$.^[23][34] Эта сюръекция является единственным гомоморфизмом групп, продолжающим функцию ${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$, и поэтому его конструкция может рассматриваться как пример универсального свойства.

Когда ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle A}$ как указано выше, ядро ${\displaystyle G}$ сюрприза от ${\displaystyle F}$ к ${\displaystyle A}$ также является свободным абелевым, так как является подгруппой ${\displaystyle F}$ (подгруппа элементов, отображаемых в единицу), поэтому эти группы образуют короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$

в котором ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ оба являются свободными абелевыми и ${\displaystyle A}$ изоморфен факторная группа ${\displaystyle F/G}$. Это бесплатное разрешение из ${\displaystyle A}$.^[35] Кроме того, предполагая аксиома выбора,^[36] свободные абелевы группы - это в точности проективные объекты в категория абелевых групп.^[37]

Приложения

Алгебраическая топология

Основная статья: Цепь (алгебраическая топология)

В алгебраическая топология, формальная сумма ${\displaystyle k}$-размерный симплексы называется ${\displaystyle k}$-цепь, а свободная абелева группа, имеющая набор ${\displaystyle k}$-симплексы, лежащие в основе, называются цепной группой. Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства, например, как набор ${\displaystyle k}$-симплексы в симплициальный комплекс, или набор единственное число ${\displaystyle k}$-симплексы в многообразие. Любой ${\displaystyle k}$-мерный симплекс имеет границу, которую можно представить как формальную сумму ${\displaystyle (k-1)}$-мерных симплексов, а универсальность свободных абелевых групп позволяет расширить этот граничный оператор до групповой гомоморфизм из ${\displaystyle k}$-цепи к ${\displaystyle (k-1)}$-цепи. Система цепных групп, связанных таким образом граничными операторами, образует цепной комплекс, а изучение цепных комплексов составляет основу теория гомологии.^[38]

Алгебраическая геометрия и комплексный анализ

Основная статья: Дивизор (алгебраическая геометрия)

В рациональная функция ${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$ имеет ноль четвертого порядка в 0 (черная точка в центре графика) и простые полюса у четырех комплексных чисел ${\displaystyle \pm 1}$ и ${\displaystyle \pm i}$ (белые точки на концах четырех лепестков). Он может быть представлен (до скаляр ) на делитель ${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$ куда ${\displaystyle e_{z}}$ является базовым элементом комплексного числа ${\displaystyle z}$ в свободной абелевой группе над комплексными числами.

Каждый рациональная функция над сложные числа может быть связан с мультимножеством комплексных чисел со знаком ${\displaystyle c_{i}}$, то нули и полюсы функции (точки, где ее значение равно нулю или бесконечно). Множественность ${\displaystyle m_{i}}$ точки в этом мультимножестве - это ее порядок как нуля функции или отрицание ее порядка как полюса. Тогда сама функция может быть восстановлена ​​из этих данных с точностью до скаляр фактор, как

${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$

Если эти мультимножества интерпретируются как члены свободной абелевой группы над комплексными числами, то произведение или частное двух рациональных функций соответствует сумме или разности двух членов группы. Таким образом, мультипликативная группа рациональных функций может быть разложена на мультипликативную группу комплексных чисел (связанные скалярные множители для каждой функции) и свободную абелеву группу над комплексными числами. Рациональные функции, имеющие ненулевое предельное значение на бесконечности ( мероморфные функции на Сфера Римана ) образуют подгруппу этой группы, в которой сумма кратностей равна нулю.^[39]

Эта конструкция была обобщена в алгебраическая геометрия, к понятию делитель. Существуют разные определения дивизоров, но в целом они образуют абстракцию подмногообразия коразмерности один. алгебраическое многообразие, множество точек решения системы полиномиальных уравнений. В случае, когда система уравнений имеет одну степень свободы (ее решения образуют алгебраическая кривая или же Риманова поверхность ), подмногообразие имеет коразмерность один, когда оно состоит из изолированных точек, и в этом случае дивизор снова является знаковым мультимножеством точек из многообразия.Мероморфные функции на компактной римановой поверхности имеют конечное число нулей и полюсов, и их делители снова могут быть представлены как элементы свободной абелевой группы с умножением или делением функций, соответствующими сложению или вычитанию элементов группы. Однако в этом случае существуют дополнительные ограничения на делитель помимо нулевой суммы кратностей.^[39]

Смотрите также

• Групповое кольцо, кольцо, определенное объединением мультипликативной группы и другого кольца; когда определяющее кольцо - целые числа, аддитивная группа группового кольца является свободной абелевой группой над определяющей группой.^[40]

Рекомендации

1. Джонсон, Д. Л. (2001), Симметрии, Серия Springer по математике для студентов, Springer, p. 193, ISBN  9781852332709.
2. Моллин, Ричард А. (2011), Расширенная теория чисел с приложениями, CRC Press, стр. 182, г. ISBN  9781420083293.
3. Бремнер, Мюррей Р. (2011), Приведение к базису на решетке: введение в алгоритм LLL и его приложения, CRC Press, стр. 6, ISBN  9781439807026.
4. Хангерфорд (1974), Упражнение 5, с. 75.
5. Ли, Джон М. (2010), «Свободные абелевы группы», Введение в топологические многообразия, Тексты для выпускников по математике, 202 (2-е изд.), Springer, стр. 244–248, ISBN  9781441979407.
6. Баер, Рейнхольд (1937), «Абелевы группы без элементов конечного порядка», Математический журнал герцога, 3 (1): 68–122, Дои:10.1215 / S0012-7094-37-00308-9, HDL:10338.dmlcz / 100591, МИСТЕР  1545974.
7. Спекер, Эрнст (1950), "Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen", Portugaliae Math., 9: 131–140, МИСТЕР  0039719.
8. Корнер, А. Л. С. (2008), "Группы единиц порядков в Q-алгебрах", Модели, модули и абелевы группы, Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр. 9–61, Дои:10.1515/9783110203035.9, МИСТЕР  2513226. См., В частности, доказательство леммы H.4, п. 36, который использует этот факт.
9. Мак-Лейн, Сондерс (1995), Гомология, Classics in Mathematics, Springer, p. 93, ISBN  9783540586623.
10. Каплански, Ирвинг (2001), Теория множеств и метрические пространства, Издательство AMS Chelsea Publishing Series, 298, Американское математическое общество, стр. 124–125, ISBN  9780821826942.
11. Хангерфорд, Томас В. (1974), "II.1 Свободные абелевы группы", Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 73, Springer, стр. 70–75, ISBN  9780387905181. См., В частности, теорему 1.1, стр. 72–73, и следующие за ней замечания.
12. Джоши, К. Д. (1997), Прикладные дискретные конструкции, New Age International, стр. 45–46, ISBN  9788122408263.
13. Каваньяро, Екатерина; Хейт, Уильям Т., II, ред. (2001), Словарь по классической и теоретической математике, Большой математический словарь, 3, CRC Press, стр. 15, ISBN  9781584880509.
14. Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности., Аспирантура по математике, 5, Американское математическое общество, стр. 129, ISBN  9780821802687.
15. Хангерфорд (1974), Упражнение 3, стр. 75.
16. Джонсон (2001), п. 71.
17. Сахай, Вивек; Бист, Викас (2003), Алгебра, Alpha Science Int'l Ltd., стр. 152, ISBN  9781842651575.
18. Ротман, Джозеф Дж., Продвинутая современная алгебра, Американское математическое общество, стр. 450, ISBN  9780821884201.
19. Например, подмодули свободных модулей над главными идеальными областями свободны, факт, что Хэтчер (2002) write позволяет «автоматическое обобщение» гомологического механизма на эти модули. Кроме того, теорема о том, что каждый проективный ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module is free аналогично обобщает (Вермани 2004 ). Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press, стр. 196, ISBN  9780521795401. Вермани, Л. Р. (2004), Элементарный подход к гомологической алгебре, Монографии и обзоры по чистой и прикладной математике, CRC Press, стр. 80, ISBN  9780203484081.
20. Хангерфорд (1974), Упражнение 4, стр. 75.
21. Хангерфорд (1974), п. 70.
22. Хангерфорд (1974), Теорема 1.2, с. 73.
23. Hofmann, Karl H .; Моррис, Сидней А. (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов - пособие для специалиста, Исследования Де Грюйтера по математике, 25 (2-е изд.), Вальтер де Грюйтер, стр. 640, ISBN  9783110199772.
24. Ротман, Джозеф Дж. (1988), Введение в алгебраическую топологию, Тексты для выпускников по математике, 119, Springer, стр. 61–62, ISBN  9780387966786.
25. Джонсон, Д. Л. (1980), Темы теории групповых презентаций, Серия лекций Лондонского математического общества, 42, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN  978-0-521-23108-4.
26. Бласс (1979) Пример 7.1 дает модель теории множеств и несвободную проективную абелеву группу ${\displaystyle P}$ в этой модели является подгруппой свободной абелевой группы ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ^{(A)}\right)^{n}}$, куда ${\displaystyle A}$ представляет собой набор атомов и ${\displaystyle n}$ - конечное целое число. Он пишет, что эта модель делает использование выбора важным для доказательства того, что каждая проективная группа свободна; по тем же соображениям он также показывает, что выбор важен для доказательства того, что подгруппы свободных групп свободны. Бласс, Андреас (1979), «Инъективность, проективность и аксиома выбора», Труды Американского математического общества, 255: 31–59, Дои:10.1090 / S0002-9947-1979-0542870-6, JSTOR  1998165, МИСТЕР  0542870.
27. Приложение 2 § 2, стр. 880 Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001.
28. Хангерфорд (1974), Теорема 1.6, с. 74.
29. Джонсон (2001) С. 71–72.
30. Норман, Кристофер (2012), «1.3 Уникальность нормальной формы Смита», Конечно порожденные абелевы группы и подобие матриц над полем, Серия Springer по математике для студентов, Springer, стр. 32–43, ISBN  9781447127307.
31. Хангерфорд (1974), Упражнение 9, с. 75.
32. Хангерфорд (1974), Упражнение 10, с. 75.
33. Хангерфорд (1974), Упражнение 4, стр. 198.
34. Хангерфорд (1974), Теорема 1.4, с. 74.
35. Вик, Джеймс У. (1994), Теория гомологий: введение в алгебраическую топологию, Тексты для выпускников по математике, 145, Springer, стр. 70, ISBN  9780387941264.
36. Теорема о проективности свободных абелевых групп эквивалентна избранной аксиоме; видеть Мур, Грегори Х. (2012), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние, Courier Dover Publications, стр. xii, ISBN  9780486488417.
37. Филипп А. Гриффит (1970), Теория бесконечных абелевых групп, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, стр. 18, ISBN  0-226-30870-7.
38. Эдельсбруннер, Герберт; Харер, Джон (2010), Вычислительная топология: введение, Американское математическое общество, стр. 79–81, ISBN  9780821849255.
39. Дедекинд, Ричард; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной, История математики, 39, Переведено Джон Стиллвелл, Американское математическое общество, стр. 13–15, ISBN  9780821890349.
40. Штейн, Шерман К.; Сабо, Шандор (1994), Алгебра и мозаика: гомоморфизмы на службе геометрии, Математические монографии Каруса, 25, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 198, ISBN  0-88385-028-1, МИСТЕР  1311249