Диофантово приближение - Diophantine approximation

В теория чисел, изучение Диофантово приближение имеет дело с приближением действительные числа к рациональное число. Он назван в честь Диофант Александрийский.

Первая проблема заключалась в том, чтобы узнать, насколько хорошо действительное число может быть аппроксимировано рациональными числами. Для этой задачи рациональное число а/б "хорошее" приближение действительного числа α если абсолютное значение разницы между а/б и α может не уменьшиться, если а/б заменяется другим рациональным числом с меньшим знаменателем. Эта проблема была решена в 18 веке с помощью непрерывные дроби.

Зная «наилучшие» приближения данного числа, основная проблема поля - найти точные верхняя и нижняя границы указанной выше разницы, выраженной как функция знаменатель.

Похоже, что эти оценки зависят от природы приближаемых действительных чисел: нижняя граница для приближения рационального числа другим рациональным числом больше, чем нижняя граница для алгебраические числа, что само по себе больше нижней границы для всех действительных чисел. Таким образом, действительное число, которое может быть аппроксимировано лучше, чем оценка для алгебраических чисел, безусловно, является трансцендентное число. Это позволило Liouville в 1844 году, чтобы получить первое явное трансцендентное число. Позже доказательства того, что π и е трансцендентны были получены аналогичным методом.

Таким образом, диофантовы приближения и трансцендентная теория чисел это очень близкие области, которые разделяют многие теоремы и методы. Диофантовы приближения также имеют важные приложения при изучении Диофантовы уравнения.

Наилучшие диофантовы приближения действительного числа

Основная статья: Непрерывная дробь § Наилучшие рациональные приближения

Учитывая реальное число α, есть два способа определить наилучшее диофантово приближение α. Для первого определения^[1] рациональное число п/q это наилучшее диофантово приближение из α если

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

для каждого рационального числа п'/q ' отличается от п/q такой, что 0 < q′ ≤ q.

Для второго определения^[2][3] указанное выше неравенство заменяется на

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Наилучшее приближение для второго определения также является наилучшим приближением для первого, но обратное неверно.^[4]

Теория непрерывные дроби позволяет нам вычислять наилучшие приближения действительного числа: для второго определения они являются сходящиеся его выражения в виде правильной непрерывной дроби.^[3][4][5] Для первого определения необходимо также учитывать полуконвергенты.^[1]

Например, постоянная е = 2.718281828459045235 ... имеет представление (регулярной) цепной дроби

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Его наилучшие приближения для второго определения:

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

в то время как для первого определения они

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Мера точности приближений

Очевидная мера точности диофантова приближения действительного числа α рациональным числом п/q является ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$ Однако эту величину всегда можно сделать сколь угодно малой, увеличив абсолютные значения п и q; таким образом, точность приближения обычно оценивается путем сравнения этой величины с некоторой функцией φ знаменателя q, как правило, его отрицательная сила.

Для такого сравнения может потребоваться верхняя или нижняя границы точности. Нижняя граница обычно описывается теоремой типа «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел и каждого рационального числа п/q, у нас есть ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$ ". В некоторых случаях" каждое рациональное число "может быть заменено" всеми рациональными числами, кроме конечного их числа ", что равносильно умножению φ на некоторую константу в зависимости от α.

При оценке сверху необходимо учитывать, что не все «лучшие» диофантовы приближения, обеспечиваемые подходящими дробями, могут иметь желаемую точность. Следовательно, теоремы принимают вид «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел существует бесконечно много рациональных чисел п/q такой, что ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$ ".

Плохо аппроксимируемые числа

А плохо приближаемое число является Икс для которого существует положительная постоянная c такой, что для всех рациональных п/q у нас есть

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Плохо аппроксимируемые числа - это как раз числа с ограниченные частные частные.^[6]

Точно так же число плохо аппроксимируется если и только если это Постоянная Маркова ограничено.

Нижние оценки диофантовых приближений

Аппроксимация рационального другими рациональными числами

Рациональное число ${\displaystyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ может быть очевидно и идеально аппроксимирован ${\displaystyle {\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}}$ для каждого положительного целого числа я.

Если ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,}$ у нас есть

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

потому что ${\displaystyle |aq-bp|}$ является положительным целым числом и поэтому не меньше 1. Таким образом, точность приближения плохая по сравнению с иррациональными числами (см. следующие разделы).

Можно заметить, что в предыдущем доказательстве используется вариант принцип голубятни: неотрицательное целое число, отличное от 0, не меньше 1. Это очевидно тривиальное замечание используется почти в каждом доказательстве нижних оценок диофантовых приближений, даже в самых сложных.

Таким образом, рациональное число прекрасно аппроксимируется само по себе, но плохо аппроксимируется любым другим рациональным числом.

Аппроксимация алгебраических чисел, результат Лиувилля

Основная статья: Число Лиувилля

В 1840-х гг. Джозеф Лиувиль получили первую нижнюю оценку аппроксимации алгебраические числа: Если Икс - иррациональное алгебраическое число степени п над рациональными числами, то существует постоянная c(Икс) > 0 такой, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

выполняется для всех целых чисел п и q куда q > 0.

Этот результат позволил ему привести первый проверенный пример трансцендентного числа, Постоянная Лиувилля

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

что не удовлетворяет теореме Лиувилля, в какой бы степени п выбран.

Эта связь между диофантовыми приближениями и трансцендентной теорией чисел продолжается и по сей день. Многие методы доказательства используются в этих двух областях.

Аппроксимация алгебраических чисел, теорема Туэ – Зигеля – Рота.

Основная статья: Теорема Туэ – Зигеля – Рота.

Более чем за столетие было предпринято множество попыток улучшить теорему Лиувилля: каждое улучшение оценки позволяет нам доказать, что больше чисел трансцендентны. Основные улучшения связаны с Аксель Туэ  (1909 ), Сигель  (1921 ), Фриман Дайсон  (1947 ), и Клаус Рот  (1955 ), что в конечном итоге приводит к теореме Туэ – Зигеля – Рота: если Икс - иррациональное алгебраическое число и ε (маленькое) положительное действительное число, то существует положительная постоянная c(Икс, ε) такой, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

выполняется для каждого целого числа п и q такой, что q > 0.

В некотором смысле этот результат является оптимальным, поскольку теорема была бы неверной с ε= 0. Это непосредственное следствие оценок сверху, описанных ниже.

Совместные приближения алгебраических чисел

Основная статья: Теорема о подпространстве

Впоследствии Вольфганг М. Шмидт обобщил это на случай одновременных приближений, доказав, что: если Икс₁, ..., Икс_п алгебраические числа такие, что 1, Икс₁, ..., Икс_п находятся линейно независимый над рациональными числами и ε - любое заданное положительное действительное число, то есть только конечное число рациональных п- пары (п₁/q, ..., п_п/q) такой, что

${\displaystyle |x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Опять же, этот результат оптимален в том смысле, что нельзя удалить ε от экспоненты.

Эффективные границы

Все предыдущие нижние границы не являются эффективный, в том смысле, что доказательства не дают возможности вычислить константу, подразумеваемую в утверждениях. Это означает, что нельзя использовать результаты или их доказательства для получения оценок размера решений связанных диофантовых уравнений. Однако эти методы и результаты часто можно использовать для оценки количества решений таких уравнений.

Тем не менее, уточнение Теорема Бейкера Фельдмана дает эффективную границу: если Икс является алгебраическим числом степени п над рациональными числами, то существуют эффективно вычислимые константы c(Икс)> 0 и 0 <d(Икс) < п такой, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

выполняется для всех целых рациональных чисел.

Однако, как и для любой эффективной версии теоремы Бейкера, константы d и 1 /c настолько велики, что этот эффективный результат не может быть использован на практике.

Верхние оценки диофантовых приближений

Общая верхняя граница

Основная статья: Теорема Гурвица (теория чисел)

Первым важным результатом об оценках сверху диофантовых приближений является Аппроксимационная теорема Дирихле, откуда следует, что для любого иррационального числа α, дробей бесконечно много ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$ такой, что

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Это сразу означает, что подавить ε в формулировке теоремы Туэ-Зигеля-Рота.

С годами эта теорема была улучшена до следующей теоремы Эмиль Борель (1903).^[7] Для каждого иррационального числа α, дробей бесконечно много ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$ такой, что

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Следовательно, ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$ является верхней границей диофантовых приближений любого иррационального числа. Константа в этом результате не может быть улучшена без исключения некоторых иррациональных чисел (см. ниже).

Эквивалентные действительные числа

Определение: Два действительных числа ${\displaystyle x,y}$ называются эквивалент^[8][9] если есть целые числа ${\displaystyle a,b,c,d\;}$ с ${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$ такой, что:

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Таким образом, эквивалентность определяется целым числом Преобразование Мёбиуса на реальные числа, или членом Модульная группа ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$, множество обратимых матриц 2 × 2 над целыми числами. Каждое рациональное число эквивалентно 0; таким образом, рациональные числа являются класс эквивалентности для этого отношения.

Эквивалентность может быть прочитана на представлении регулярной непрерывной дроби, как показано следующей теоремой Серре:

Теорема: Два иррациональных числа Икс и у эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют два положительных целых числа час и k так что обычный непрерывная дробь представления Икс и у

${\displaystyle x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,}$

${\displaystyle y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,}$

проверять

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

для каждого неотрицательного целого числа я.^[10]

Таким образом, за исключением конечной начальной последовательности, эквивалентные числа имеют такое же представление непрерывной дроби.

Эквивалентные числа аппроксимируются в одинаковой степени в том смысле, что они имеют одинаковое значение. Постоянная Маркова.

Спектр Лагранжа

Основная статья: Марковский спектр

Как сказано выше, константа в теореме Бореля не может быть улучшена, как показано Адольф Гурвиц в 1891 г.^[11]Позволять ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ быть Золотое сечение.Тогда для любой реальной постоянной c с ${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$ есть только конечное число рациональных чисел п/q такой, что

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Следовательно, улучшение может быть достигнуто только в том случае, если числа, эквивалентные ${\displaystyle \phi }$ исключены. Точнее:^[12][13]Для каждого иррационального числа ${\displaystyle \alpha }$, что не эквивалентно ${\displaystyle \phi }$, дробей бесконечно много ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$ такой, что

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Последовательными исключениями - далее нужно исключить числа, эквивалентные ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ - для все большего числа классов эквивалентности нижняя граница может быть дополнительно расширена. Значения, которые могут быть получены таким образом, следующие: Числа Лагранжа, которые являются частью Спектр Лагранжа. Они сходятся к числу 3 и относятся к Числа Маркова.^[14][15]

Теорема Хинчина и расширения

Позволять ${\displaystyle \psi }$ - невозрастающая функция от целых положительных чисел к положительным действительным числам. Настоящее число Икс (не обязательно алгебраический) называется ${\displaystyle \psi }$-приближенный если существует бесконечно много рациональных чисел п/q такой, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Александр Хинчин в 1926 году доказал, что если сериал ${\displaystyle \sum _{q}\psi (q)}$ расходится, то почти каждое действительное число (в смысле Мера Лебега ) является ${\displaystyle \psi }$-апроксимируема, и если ряд сходится, то почти каждое действительное число не является ${\displaystyle \psi }$-приблизительно.

Даффин и Шеффер (1941) доказали более общую теорему, из которой следует результат Хинчина, и выдвинули гипотезу, известную теперь под их названием Гипотеза Даффина – Шеффера. Бересневич и Велани (2006) доказал, что Мера Хаусдорфа аналог гипотезы Даффина – Шеффера эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. В июле 2019 г. Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявил доказательство гипотезы.^[16][17]

Хаусдорфова размерность исключительных множеств

Важный пример функции ${\displaystyle \psi }$ к которой применима теорема Хинчина, является функция ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$, куда c > 1 - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд сходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждая точка не является ${\displaystyle \psi _{c}}$-приблизительно. Таким образом, множество чисел, которые ${\displaystyle \psi _{c}}$-аппроксимируемый образует подмножество вещественной прямой нулевой меры Лебега. Теорема Ярника-Безиковича, в силу В. Ярник и А. С. Безикович, заявляет, что Хаусдорфово измерение этого множества равно ${\displaystyle 1/c}$.^[18] В частности, набор чисел, которые ${\displaystyle \psi _{c}}$-приблизительно для некоторых ${\displaystyle c>1}$ (известный как набор очень хорошо аппроксимируемые числа) имеет размерность Хаусдорфа один, а множество чисел ${\displaystyle \psi _{c}}$-приблизительно для всех ${\displaystyle c>1}$ (известный как набор Числа Лиувилля ) имеет нулевую хаусдорфовую размерность.

Другой важный пример - функция ${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1}}$, куда ${\displaystyle \epsilon >0}$ это действительное число. Для этой функции соответствующий ряд расходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждое число ${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$-приблизительно. Это то же самое, что сказать, что каждое такое число хорошо аппроксимируется, где число называется хорошо аппроксимируемым, если оно не плохо аппроксимируется. Таким образом, подходящий аналог теоремы Ярника-Безиковича должен касаться размерности Хаусдорфа множества плохо аппроксимируемых чисел. И действительно, В. Ярник доказал, что размерность Хаусдорфа этого множества равна единице. Этот результат был улучшен В. М. Шмидт, который показал, что множество плохо аппроксимируемых чисел несжимаемый, что означает, что если ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ это последовательность билипшицев карты, затем набор чисел Икс для которого ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$ все плохо аппроксимируются, имеет хаусдорфову размерность один. Шмидт также обобщил теорему Ярника на более высокие измерения, что является значительным достижением, поскольку аргумент Ярника по существу одномерный, в зависимости от аппарата непрерывных дробей.

Равномерное распределение

Еще одна тема, которая получила серьезное развитие, - это теория равномерное распределение мод 1. Возьмите последовательность а₁, а₂, ... действительных чисел и считайте их дробные части. То есть более абстрактно посмотрите на последовательность в R / Z, который представляет собой круг. Для любого интервала я на круге мы смотрим на пропорции лежащих в нем элементов последовательности, с точностью до некоторого целого числа Nи сравните его с долей окружности, занимаемой я. Равномерное распределение означает, что в пределе при N растет, доля совпадений на интервале стремится к «ожидаемому» значению. Герман Вейль оказался основной результат показывая, что это эквивалентно оценкам экспоненциальных сумм, сформированных из последовательности. Это показало, что результаты диофантова приближения были тесно связаны с общей проблемой сокращения в экспоненциальных суммах, которая встречается повсюду. аналитическая теория чисел в пределах условий ошибки.

С равномерным распределением связана тема неравномерность распределения, который имеет комбинаторный природа.

Нерешенные проблемы

В диофантовом приближении все еще остаются нерешенные просто задачи, например Гипотеза Литтлвуда и Гипотеза одинокого бегуна Также неизвестно, есть ли алгебраические числа с неограниченными коэффициентами в их разложении в цепную дробь.

Последние достижения

В своем пленарном выступлении на Международный математический конгресс в Киото (1990), Григорий Маргулис изложил обширную программу, основанную на эргодическая теория что позволяет доказывать теоретико-числовые результаты, используя динамические и эргодические свойства действий подгрупп группы полупростые группы Ли. Работы Д. Клейнбока, Г. Маргулиса и их сотрудников продемонстрировали силу этого нового подхода к классическим проблемам в диофантовом приближении. Среди его заметных успехов - доказательство многолетней давности Гипотеза Оппенгейма Маргулиса, с более поздними расширениями Дани и Маргулиса и Эскина – Маргулиса – Мозеса, а также доказательство гипотез Бейкера и Спринджука в диофантовых приближениях на многообразиях Клейнбоком и Маргулисом. Различные обобщения приведенных выше результатов Александр Хинчин в метрическом диофантовом приближении.

Смотрите также

• Теорема Давенпорта – Шмидта
• Гипотеза Даффина – Шеффера
• Набор Хайльбронн
• Последовательность с низким расхождением

Примечания

1. Хинчин 1997 г., п. 21 год
2. Кассель 1957, п. 2
3. Lang 1995, п. 9
4. Хинчин 1997 г., п. 24
5. Кассель 1957, стр. 5–8
6. Бюжо 2012, п. 245
7. Перрон 1913, Глава 2, Теорема 15
8. Гурвиц 1891, п. 284
9. Харди и Райт 1979, Глава 10.11
10. Видеть Перрон 1929, Гл. 2, теорема 23, с. 63
11. Харди и Райт 1979, п. 164
12. Кассель 1957, п. 11
13. Гурвиц 1891
14. Кассель 1957, п. 18
15. Видеть Мишель Вальдшмидт: Введение в диофантовы методы иррациональности и трансцендентности С. 24–26.
16. Koukoulopoulos, D .; Мейнард, Дж. (2019). «О гипотезе Даффина – Шеффера». arXiv:1907.04593.
17. Сломан, Лейла (2019). «Новое доказательство решает 80-летнюю проблему иррациональных чисел». Scientific American.
18. Берник и др. 2013, п. 24

Рекомендации

• Бересневич Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип массового переноса и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики. 164 (3): 971–992. arXiv:математика / 0412141. Дои:10.4007 / анналы.2006.164.971. Zbl  1148.11033.
• Берник, В .; Бересневич, В .; Götze, F .; Куксо, О. (2013). «Распределение алгебраических чисел и метрическая теория диофантова приближения». В Эйхельсбахере, Питере; Эльснер, Гвидо; Кестерс, Хольгер; Лёв, Матиас; Меркль, Франц; Роллс, Силке (ред.). Предельные теоремы в теории вероятностей, статистики и чисел: в честь Фридриха Гетце. Springer Proceedings по математике и статистике. 42. Гейдельберг: Springer. С. 23–48. Дои:10.1007/978-3-642-36068-8_2. МИСТЕР  3079136.
• Бюжо, Ян (2012). Распределение по модулю один и диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике. 193. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-11169-0. Zbl  1260.11001.
• Касселс, Дж. У. С. (1957). Введение в диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45. Издательство Кембриджского университета.
• Duffin, R.J .; Шеффер, А. С. (1941). «Проблема Хинчина в метрическом диофантовом приближении». Математический журнал герцога. 8 (2): 243–255. Дои:10.1215 / s0012-7094-41-00818-9. ISSN  0012-7094. Zbl  0025.11002.
• Дайсон, Фриман Дж. (1947). «Приближение алгебраических чисел рациональными числами». Acta Mathematica. 79: 225–240. Дои:10.1007 / BF02404697. ISSN  0001-5962. МИСТЕР  0023854. Zbl  0030.02101.
• Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853170-8. МИСТЕР  0568909.
• Гурвиц, А. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche" [О приближенном представлении иррациональных чисел рациональными дробями]. Mathematische Annalen (на немецком). 39 (2): 279–284. Дои:10.1007 / BF01206656. МИСТЕР  1510702.
• Хинчин, А.Я. (1997) [1964]. Непрерывные дроби. Дувр. ISBN  0-486-69630-8.
• Kleinbock, D. Y .; Маргулис, Г.А. (1998). «Потоки на однородных пространствах и диофантовы приближения на многообразиях». Анна. Математика. 148 (1): 339–360. arXiv:математика / 9810036. Дои:10.2307/120997. JSTOR  120997. МИСТЕР  1652916. Zbl  0922.11061.
• Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовы приближения (Новая расширенная ред.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-94456-7. Zbl  0826.11030.
• Маргулис, Г.А. (2002). «Диофантовы приближения, решетки и потоки на однородных пространствах». В Вюстхольц, Гисберт (ред.). Панорама по теории чисел или вид из сада Бейкера. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 280–310. ISBN  0-521-80799-9. МИСТЕР  1975458.
• Перрон, Оскар (1913). Die Lehre von den Kettenbrüchen [Теория непрерывных дробей] (на немецком). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Перрон, Оскар (1929). Die Lehre von den Kettenbrüchen [Теория непрерывных дробей] (на немецком языке) (2-е изд.). Челси.
• Рот, Клаус Фридрих (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика. 2: 1–20, 168. Дои:10.1112 / S0025579300000644. ISSN  0025-5793. МИСТЕР  0072182. Zbl  0064.28501.
• Шмидт, Вольфганг М. (1980). Диофантово приближение. Конспект лекций по математике. 785 (Изд. 1996 г.). Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09762-7. Zbl  0421.10019.
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.
• Сигель, Карл Людвиг (1921). "Аппроксимация алгебры Зален". Mathematische Zeitschrift. 10 (3): 173–213. Дои:10.1007 / BF01211608. ISSN  0025-5874.
• Спринджук, Владимир Г. (1979). Метрическая теория диофантовых приближений. Серия Scripta по математике. Пер. с русского и под ред. Ричард А. Сильверман. С предисловием Дональда Дж. Ньюмана. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-470-26706-2. МИСТЕР  0548467. Zbl  0482.10047.
• Ту, А. (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1909 (135): 284–305. Дои:10.1515 / crll.1909.135.284. ISSN  0075-4102.

внешняя ссылка

• Диофантово приближение: исторический обзор. Из Введение в диофантовы методы конечно Мишель Вальдшмидт.
• «Диофантовы приближения», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]