Марковский спектр - Markov spectrum

В математике Марковский спектр разработан Андрей Марков представляет собой сложный набор действительных чисел, возникающих в Марковское диофантово уравнение а также в теории Диофантово приближение.

Характеристика квадратичной формы

Рассмотрим квадратичная форма данный ж(Икс,у) = топор² + bxy + Сай² и предположим, что это дискриминант фиксировано, скажем, равным −1/4. Другими словами, б² − 4ac = 1.

Можно запросить минимальное значение, достигаемое | f | когда он оценивается на ненулевых векторах сетки ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ , а если этого минимума нет, для инфимум.

Марковский спектр M - это набор, полученный повторением этого поиска с различными квадратичными формами с дискриминантом, установленным на -1/4: ${ Displaystyle M = left { left ( inf _ {(x, y) in mathbb {Z} ^ {2} smallsetminus {(0,0) }} | f (x, y) ) | right) ^ {- 1}: f (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}, b ^ {2} -4ac = 1 right }}$

Спектр Лагранжа

Начиная с Теорема Гурвица в диофантовом приближении, что любое действительное число ${ Displaystyle xi}$ имеет последовательность рациональных приближений м/п стремясь к этому с

{ displaystyle left | xi - { frac {m} {n}} right | <{ frac {1} {{ sqrt {5}} , n ^ {2}}},}

можно запросить каждое значение 1 /c с 1 /c ≥ √5 о существовании некоторых ${ Displaystyle xi}$ для которого

{ displaystyle left | xi - { frac {m} {n}} right | <{ frac {c} {n ^ {2}}}}

для такой последовательности, для которой c - наилучшее возможное (максимальное) значение. Такой 1 /c составить Спектр Лагранжа L, набор действительных чисел не менее √5 (что является наименьшим значением спектра). Формулировка с обратным выражением неудобна, но традиционное определение позволяет; глядя на набор c вместо этого позволяет определение с помощью нижний предел. Для этого рассмотрим

{ displaystyle liminf _ {n to infty} n ^ {2} left | xi - { frac {m} {n}} right |,}

где м выбирается как целая функция от п чтобы разница была минимальной. Это функция ${ Displaystyle xi}$ , а обратная величина спектру Лагранжа - это диапазон значений, которые он принимает для иррациональных чисел.

Связь с марковским спектром

Начальная часть спектра Лагранжа, а именно часть, лежащая в интервале [√5, 3), совпадает с марковским спектром. Первые несколько значений: √5, √8, √221/5, √1517/13, ...^[1] и п-й номер этой последовательности (то есть пth Число Лагранжа ) можно рассчитать из пth Число Маркова по формуле

${ displaystyle L_ {n} = { sqrt {9- {4 over {m_ {n}} ^ {2}}}}.}$

Постоянная Фреймана это имя, данное концу последнего пробела в спектре Лагранжа, а именно:

{ displaystyle F = { frac {2 , 221 , 564 , 096 + 283 , 748 { sqrt {462}}} {491 , 993 , 569}} = 4.5278295661 dots}

(последовательность A118472 в OEIS ).

Реальные числа больше, чем F также являются членами спектра Маркова.^[2] Более того, можно доказать, что L строго содержится в M.^[3]

Геометрия спектра Маркова и Лагранжа.

С одной стороны, начальная часть спектра Маркова и Лагранжа, лежащая в интервале [√5, 3) равны и представляют собой дискретное множество. С другой стороны, последняя часть этих множеств, лежащая после константы Фреймана, также равна, но является непрерывным множеством. Геометрия детали между начальной и конечной частями имеет фрактальную структуру и может рассматриваться как геометрический переход между дискретной начальной частью и непрерывной конечной частью. Об этом в точности говорит следующая теорема:^[4]

Данный ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$ , то Хаусдорфово измерение из ${ Displaystyle L cap (- infty, t)}$ равна размерности Хаусдорфа ${ Displaystyle M cap (- infty, t)}$ . Более того, если d функция, определенная как ${ displaystyle d (t): = dim _ {H} (M cap (- infty, t))}$ , где тусклый_ЧАС обозначает размерность Хаусдорфа, то d непрерывно и отображает р на [0,1].

Смотрите также

Число Маркова

использованная литература

^ Касселс (1957) стр.18
^ Константа Фреймана Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фреймана». Из MathWorld — A Wolfram Web Resource), по состоянию на 26 августа 2008 г.
^ Кьюсик, Томас; Флайв, Мэри (1989). «Сравнение спектров Маркова и Лагранжа». Спектры Маркова и Лагранжа. Математические обзоры и монографии. 30. С. 35–45. Дои:10.1090 / сур / 030/03. ISBN 9780821815311.
^ Морейра, Карлос Густаво Т. Де А. (июль 2018 г.). «Геометрические свойства спектров Маркова и Лагранжа». Анналы математики. 188 (1): 145–170. arXiv:1612.05782. Дои:10.4007 / летопись.2018.188.1.3. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007 / летопись.2018.188.1.3.

дальнейшее чтение

Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 188–189, 1996.
Кьюсик, Т. В. и Flahive, M.E. Спектры Маркова и Лагранжа. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., 1989.
Касселс, J.W.S. (1957). Введение в диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45. Издательство Кембриджского университета. Zbl 0077.04801.

внешние ссылки

"Проблема марковского спектра", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Касселс (1957) стр.18

[mathworld2-2] Константа Фреймана Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фреймана». Из MathWorld — A Wolfram Web Resource), по состоянию на 26 августа 2008 г.

[3] Кьюсик, Томас; Флайв, Мэри (1989). «Сравнение спектров Маркова и Лагранжа». Спектры Маркова и Лагранжа. Математические обзоры и монографии. 30. С. 35–45. Дои:10.1090 / сур / 030/03. ISBN 9780821815311.

[4] Морейра, Карлос Густаво Т. Де А. (июль 2018 г.). «Геометрические свойства спектров Маркова и Лагранжа». Анналы математики. 188 (1): 145–170. arXiv:1612.05782. Дои:10.4007 / летопись.2018.188.1.3. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007 / летопись.2018.188.1.3.

[1]

[2]

[3]

[4]