Теорема пекаря - Bakers theorem

В трансцендентная теория чисел, математическая дисциплина, Теорема Бейкера дает нижнюю оценку модуля линейных комбинаций логарифмы из алгебраические числа. Результат, доказанный Алан Бейкер  (1966, 1967a, 1967b ), объединил многие более ранние результаты трансцендентной теории чисел и решил проблему, поставленную Александр Гельфонд почти пятнадцатью годами ранее.^[1]Бейкер использовал это, чтобы доказать трансцендентность многих чисел, получить эффективные оценки решений некоторых диофантовых уравнений и решить проблема номера класса найти все воображаемое квадратичные поля с номер класса 1.

История

Для упрощения обозначений пусть ${\displaystyle \mathbb {L} }$ быть набором логарифмов по основанию е ненулевого алгебраические числа, то есть

${\displaystyle \mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C} :\ e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\},}$

куда ${\displaystyle \mathbb {C} }$ обозначает набор сложные числа и ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ обозначает алгебраические числа (алгебраическое пополнение рациональное число ${\displaystyle \mathbb {Q} }$). Используя эти обозначения, становится намного проще сформулировать некоторые результаты трансцендентной теории чисел. Например, Теорема Эрмита – Линдемана. становится утверждением, что любой ненулевой элемент ${\displaystyle \mathbb {L} }$ трансцендентно.

В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо доказал Теорема Гельфонда – Шнайдера. Этот результат обычно формулируется как: если а является алгебраическим и не равно 0 или 1, и если б алгебраичен и иррационален, то а^б трансцендентно. Обратите внимание, что это включает в себя все определения а^б, который в большинстве случаев составляет бесконечно много чисел. Однако в равной степени здесь говорится, что если ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$ линейно независимы над рациональными числами, то они линейно независимы над алгебраическими числами. Так что если ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$ и λ₂ не равно нулю, то фактор λ₁/ λ₂ является либо рациональным числом, либо трансцендентным. Это не может быть алгебраическое иррациональное число вроде √2.

Хотя доказательство этого результата о «рациональной линейной независимости влечет алгебраическую линейную независимость» для двух элементов ${\displaystyle \mathbb {L} }$ было достаточно для его результата и результата Шнайдера, Гельфонд считал важным распространить этот результат на произвольно многие элементы ${\displaystyle \mathbb {L} .}$ Действительно, из Гельфонд (1960 г., п. 177):

… Можно предположить… что наиболее актуальной проблемой теории трансцендентных чисел является исследование мер трансцендентности конечных множеств логарифмов алгебраических чисел.

Эта проблема была решена четырнадцатью годами позже Аланом Бейкером и с тех пор нашла множество приложений не только в теории трансцендентности, но и в алгебраическая теория чисел и изучение Диофантовы уравнения также. Бейкер получил Медаль Филдса в 1970 г. как за эту работу, так и за ее приложения к диофантовым уравнениям.

Заявление

С введенными выше обозначениями теорема Бейкера является неоднородным обобщением теоремы Гельфонда – Шнайдера. В частности, в нем говорится:

Теорема Бейкера. Если ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {L} }$ линейно независимы над рациональными числами, то для любых алгебраических чисел ${\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{n},}$ не все ноль, у нас есть

${\displaystyle |\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}|>H^{-C}}$

куда ЧАС это максимум из высоты из ${\displaystyle \beta _{i}}$ и C является эффективно вычислимый количество в зависимости от п, ${\displaystyle \lambda _{i}}$ и максимум d степеней ${\displaystyle \beta _{i}.}$ (Если β₀ отлична от нуля, то предположение, что ${\displaystyle \lambda _{i}}$ линейно независимы, можно отбросить.) В частности, это число отличное от нуля, поэтому 1 и ${\displaystyle \lambda _{i}}$ линейно независимы над алгебраическими числами.

Так же, как теорема Гельфонда – Шнайдера эквивалентна утверждению о трансцендентности чисел вида а^б, поэтому из теоремы Бейкера также следует трансцендентность чисел вида

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

где б_я все алгебраические, иррациональные и 1, б₁, ..., б_п линейно независимы над рациональными числами, а а_я все алгебраические, а не 0 или 1.

Бейкер (1977) также дал несколько версий с явными константами. Например, если ${\displaystyle \exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}}$ имеет высоту не более ${\displaystyle A_{j}\geq 4}$ и все числа ${\displaystyle \beta _{j}}$ иметь рост не больше ${\displaystyle B\geq 4}$ тогда линейная форма

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

либо 0, либо удовлетворяет

${\displaystyle \log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

куда

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

и поле, создаваемое ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle \beta _{i}}$ над рациональностью имеет степень не выше d. В частном случае, когда β₀ = 0 и все ${\displaystyle \beta _{j}}$ - целые рациональные числа, крайний правый член log Ω можно удалить.

Явный результат Бейкера и Wüstholz для линейной формы Λ с целыми коэффициентами дает оценку снизу вида

${\displaystyle \log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),}$

куда

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

и d степень числовое поле генерируется ${\displaystyle \alpha _{i}.}$

Метод Бейкера

Доказательство Бейкера его теоремы является продолжением аргументов, приведенных Гельфонд (1960 г., глава III, раздел 4). Основные идеи доказательства иллюстрируются доказательством следующего качественного варианта теоремы Бейкер (1966) описанный Серр (1971):

Если числа ${\displaystyle 2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}}$ линейно независимы над рациональными числами, для ненулевых алгебраических чисел ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ то они линейно независимы над алгебраическими числами.

Точная количественная версия теории Бейкера может быть доказана заменой условий, что вещи равны нулю, условиями, что вещи достаточно малы на протяжении всего доказательства.

Основная идея доказательства Бейкера состоит в построении вспомогательная функция ${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$ нескольких переменных, которая обращается в нуль до высокого порядка во многих точках вида ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$ затем многократно покажите, что она обращается в нуль до более низкого порядка еще в большем количестве точек этой формы. Наконец, тот факт, что он обращается в нуль (порядка 1) в достаточном количестве точек этой формы, подразумевает использование Детерминанты Вандермонда что между числами существует мультипликативная связь а_я.

Построение функции ${\displaystyle \Phi }$

Предположим, что существует соотношение

${\displaystyle \beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

для алгебраических чисел α₁, ..., α_п, β₁, ..., β_п−1. Функция Φ имеет вид

${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

Целочисленные коэффициенты п выбраны так, чтобы не все они равнялись нулю, а Φ и ее производные порядка не выше некоторой константы M исчезнуть в ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$ для целых чисел ${\displaystyle l}$ с ${\displaystyle 0\leq l\leq h}$ для некоторой постоянной час. Это возможно потому, что эти условия представляют собой однородные линейные уравнения относительно коэффициентов п, которые имеют ненулевое решение при условии количества неизвестных переменных п больше, чем количество уравнений. Линейная связь между логарифмами α необходима, чтобы сократить количество линейных уравнений, которые должны быть выполнены. Более того, используя Лемма Зигеля, размеры коэффициентов п можно выбрать не слишком большой. Константы L, час, и M должны быть тщательно подогнаны к тому, что следующая часть доказательства работает, и имеют некоторые ограничения, которые примерно:

• L должен быть несколько меньше, чем M чтобы приведенный ниже аргумент о лишних нулях работал.

• Небольшая мощность час должен быть больше чем L чтобы сделать последний шаг проверки.

• L^п должно быть больше, чем примерно M^п-1час для того, чтобы можно было решить для коэффициентов п.

Ограничения могут быть удовлетворены, если взять час быть достаточно большим, M быть фиксированной силой час, и L быть немного меньшей степенью час. Бейкер взял M составляет около час² и L составляет около час^2−1/2п.

Линейная связь между логарифмами α используется для уменьшения L немного; грубо говоря, без него условие L^п должно быть больше, чем примерно M^п-1час станет L^п должно быть больше, чем примерно M^пчас, что несовместимо с условием, что L несколько меньше, чем M.

Нули ${\displaystyle \Phi (l,\ldots ,l)}$

Следующий шаг - показать, что Φ обращается в нуль в несколько меньшем порядке во многих других точках вида ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$ для целых чисел л. Эта идея была ключевым нововведением Бейкера: предыдущая работа над этой проблемой заключалась в попытке увеличить количество производных, которые исчезают, при сохранении фиксированного количества точек, что, похоже, не работает в случае многих переменных. Это делается путем объединения двух идей; Сначала показано, что производные в этих точках довольно малы, используя тот факт, что многие производные от Φ обращаются в нуль во многих близких точках. Затем можно показать, что производные функции Φ в этой точке задаются целыми алгебраическими числами, умноженными на известные константы. Если алгебраическое целое число имеет все сопряженные с известной константой, то оно не может быть слишком маленьким, если оно не равно нулю, потому что произведение всех сопряженных ненулевого алгебраического целого числа не менее 1 по модулю. Комбинирование этих двух идей означает, что Φ обращается в нуль до немного меньшего порядка во многих других точках. ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l.}$ Эта часть аргументации требует, чтобы Φ не увеличивалось слишком быстро; рост Φ зависит от размера L, поэтому требуется ограничение на размер L, что примерно равно L должен быть несколько меньше, чем M. Точнее, Бейкер показал, что поскольку Φ обращается в нуль по порядку M в час последовательные целые числа, он также обращается в нуль, M/ 2 в час^1+1/8п последовательные целые числа 1, 2, 3, .... Повторение этого аргумента J раз показывает, что Φ обращается в нуль порядка M/2^J в час^1+J/8п баллов при условии, что час достаточно большой и L несколько меньше, чем M/2^J.

Затем нужно взять J достаточно большой, чтобы:

${\displaystyle h^{1+{\frac {J}{8n}}}>(L+1)^{n}.}$

(J больше, чем примерно 16п будет делать, если час² > L) так что:

${\displaystyle \forall l\in \left\{1,2,\ldots ,(L+1)^{n}\right\}:\qquad \Phi (l,\ldots ,l)=0.}$

Завершение доказательства

По определению ${\displaystyle \Phi (l,\ldots ,l)=0}$ можно записать как:

${\displaystyle \sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{\lambda _{1}l}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}l}=0.}$

Поэтому как л варьируется у нас есть система (L + 1)^п однородные линейные уравнения в (L + 1)^п неизвестных, которое по предположению имеет ненулевое решение, что, в свою очередь, означает, что определитель матрицы коэффициентов должен обращаться в нуль. Однако эта матрица является Матрица Вандермонда и формула для определителя такой матрицы приводит к равенству между двумя значениями:

${\displaystyle \alpha _{1}^{\lambda _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}}}$

так ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ мультипликативно зависимы. Журналы показывают, что ${\displaystyle 2\pi i,\log \alpha _{1},\ldots ,\log \alpha _{n}}$ линейно зависят от рациональных чисел.

Расширения и обобщения

Бейкер (1966) фактически дал количественную версию теоремы, дав эффективные нижние оценки для линейной формы в логарифмах. Это делается аналогичным аргументом, за исключением того, что утверждения о том, что что-то равно нулю, заменяются операторами, дающими для него небольшую верхнюю границу, и так далее.

Бейкер (1967a) показал, как избавиться от предположения о 2πя в теореме. Это требует модификации последнего шага доказательства. Показано, что многие производные функции ${\displaystyle \phi (z)=\Phi (z,\ldots ,z)}$ исчезнуть в z = 0 рассуждением, аналогичным приведенному выше. Но эти уравнения для первого (L+1)^п производные снова дают однородную систему линейных уравнений для коэффициентов п, поэтому определитель равен нулю и снова является определителем Вандермонда, на этот раз для чисел λ₁журнал α₁ + ... + λ_пжурнал α_п. Таким образом, два из этих выражений должны совпадать, что показывает, что log α₁, ..., log α_п линейно зависят от рациональных чисел.

Бейкер (1967b) дал неоднородный вариант теоремы, показав, что

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}}$

отлична от нуля для ненулевых алгебраических чисел β₀, ..., β_п, α₁, ..., α_п, и, кроме того, дает для него эффективную нижнюю оценку. Доказательство аналогично однородному случаю: можно считать, что

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

и один вставляет дополнительную переменную z₀ в Φ следующим образом:

${\displaystyle \Phi (z_{0},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{0}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})z_{0}^{\lambda _{0}}e^{\lambda _{n}\beta _{0}z_{0}}\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

Следствия

Как упоминалось выше, теорема включает в себя многочисленные ранние результаты о трансцендентности, касающиеся экспоненциальной функции, такие как теорема Эрмита – Линдемана и теорема Гельфонда – Шнайдера. Это не так всеобъемлющий, как все еще не доказанный Гипотеза Шануэля, и не подразумевает теорема о шести экспонентах ни, очевидно, еще открытый Гипотеза четырех экспонент.

Основная причина, по которой Гельфонд захотел расширить свой результат, заключалась не только в появлении новых трансцендентных чисел. В 1935 году он использовал разработанные им инструменты, чтобы доказать Теорема Гельфонда – Шнайдера чтобы получить оценку снизу величины

${\displaystyle |\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|}$

где β₁ и β₂ алгебраические и λ₁ и λ₂ находятся в ${\displaystyle \mathbb {L} }$.^[2] Доказательство Бейкера дало нижние оценки для величин, подобных приведенным выше, но с произвольным числом членов, и он мог использовать эти оценки для разработки эффективных средств решения диофантовых уравнений и решения Гаусса. проблема номера класса.

Расширения

Теорема Бейкера дает нам линейную независимость от алгебраических чисел логарифмов алгебраических чисел. Это слабее, чем доказывать их алгебраический независимость. Пока что по этой проблеме не было никакого прогресса. Было высказано предположение^[3] что если λ₁, ..., λ_п являются элементами ${\displaystyle \mathbb {L} }$ которые линейно независимы над рациональными числами, то они также алгебраически независимы. Это частный случай гипотезы Шануэля, но пока остается доказать, что существуют даже два алгебраических числа, логарифмы которых алгебраически независимы. В самом деле, теорема Бейкера исключает линейные отношения между логарифмами алгебраических чисел, если для них нет тривиальных причин; следующий наиболее простой случай, исключение однородный квадратичные отношения, остается открытым Гипотеза четырех экспонент.

Аналогичным образом, распространяя результат на алгебраическую независимость, но в p-адический настройка и использование п-адическая функция логарифма, остается открытой проблемой. Известно, что доказательство алгебраической независимости линейно независимых п-адические логарифмы алгебраических п-адические числа докажут Гипотеза Леопольдта на п-адические ранги единиц числового поля.

Смотрите также

• Теорема об аналитических подгруппах

Примечания

1. См. Последний абзац Гельфонда (1952).
2. Подробнее см. Гельфонд (1952) и Спринджук (1993).
3. Вальдшмидт, гипотеза 1.15.

Рекомендации

• Бейкер, Алан (1966), "Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I", Математика. Журнал чистой и прикладной математики, 13: 204–216, Дои:10.1112 / S0025579300003971, ISSN  0025-5793, МИСТЕР  0220680
• Бейкер, Алан (1967a), "Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. II", Математика. Журнал чистой и прикладной математики, 14: 102–107, Дои:10.1112 / S0025579300008068, ISSN  0025-5793, МИСТЕР  0220680
• Бейкер, Алан (1967b), "Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. III", Математика. Журнал чистой и прикладной математики, 14: 220–228, Дои:10.1112 / S0025579300003843, ISSN  0025-5793, МИСТЕР  0220680
• Бейкер, Алан (1990), Трансцендентальная теория чисел, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-39791-9, МИСТЕР  0422171
• Бейкер, Алан (1977), "Теория линейных форм в логарифмах", Теория трансцендентности: достижения и приложения (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976), Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 1–27, ISBN  978-0-12-074350-6, МИСТЕР  0498417
• Бейкер, А .; Вюстхольц, Г. (1993), «Логарифмические формы и групповые многообразия», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 442: 19–62, Дои:10.1515 / crll.1993.442.19, МИСТЕР  1234835.
• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Г. (2007), Логарифмические формы и диофантова геометрия, Новые математические монографии, 9, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88268-2, МИСТЕР  2382891
• Гельфонд, А.О. (1960) [1952], Трансцендентные и алгебраические числа, Dover Phoenix editions, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-49526-2, МИСТЕР  0057921
• Серр, Жан-Пьер (1971) [1969], "Travaux de Baker (Exposé 368)", Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Выставки 364--381, Конспект лекций по математике, 180, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 73–86
• Спринджук, Владимир Г. (1993), Классические диофантовы уравнения, Конспект лекций по математике, 1559, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0073786, ISBN  978-3-540-57359-3, МИСТЕР  1288309
• Вальдшмидт, Мишель (2000), Диофантовы приближения на линейных алгебраических группах, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 326, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66785-8, МИСТЕР  1756786