Функция высоты - Height function

Эта статья о математических функциях, которые определяют сложность. Чтобы узнать о других значениях высоты, см. Высота (значения).

А функция высоты это функция который количественно определяет сложность математических объектов. В Диофантова геометрия, функции высоты количественно определяют размер решений для Диофантовы уравнения и обычно являются функциями из набора точек на алгебраические многообразия (или набор алгебраических многообразий) к действительные числа.^[1]

Например, классический или же наивная высота над рациональное число обычно определяется как максимум числителей и знаменателей координат (например, 3 для координат (3/9, 1/2)), но в логарифмическая шкала.

Значимость

Функции высоты позволяют математикам считать объекты, например рациональные точки, которые в противном случае были бы бесконечными по количеству. Например, набор рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя при выраженный в самых низких терминах ) ниже любая заданная константа конечна, несмотря на бесконечность множества рациональных чисел.^[2] В этом смысле функции высоты можно использовать для доказательства асимптотические результаты Такие как Теорема Бейкера в трансцендентная теория чисел что было доказано Алан Бейкер  (1966, 1967a, 1967b ).

В других случаях функции высоты могут различать некоторые объекты в зависимости от их сложности. Например, теорема о подпространстве доказано Вольфганг М. Шмидт  (1972 ) демонстрирует, что точки небольшой высоты (т.е. малой сложности) в проективное пространство лежат в конечном числе гиперплоскости и обобщает Теорема Зигеля о целых точках и решение Уравнение S-единицы.^[3]

Функции высоты имели решающее значение для доказательства Теорема Морделла – Вейля. и Теорема Фальтингса к Weil  (1929 ) и Опалубки  (1983 ) соответственно. Несколько выдающихся нерешенных проблем о высоте рациональных точек на алгебраических многообразиях, таких как Гипотеза Манина и Гипотеза Войты, имеют далеко идущие последствия для проблем в Диофантово приближение, Диофантовы уравнения, арифметическая геометрия, и математическая логика.^[4][5]

Функции высоты в диофантовой геометрии

История

Высоты в диофантовой геометрии были первоначально разработаны Андре Вайль и Дуглас Норткотт начиная с 1920-х гг.^[6] Инновации 1960-х были Высота Нерона – Тейта и осознание того, что высота связана с проективными репрезентациями во многом так же, как обильные линейные пакеты находятся в других частях алгебраическая геометрия. В 1970-е годы Сурен Аракелов развил Аракеловские высоты в Теория аракелова.^[7] В 1983 году Фалтингс разработал свою теорию высот Фальтингса в доказательстве теоремы Фалтингса.^[8]

Наивная высота

Классический или же наивная высота определяется в терминах обычного абсолютного значения на однородные координаты. Обычно это логарифмическая шкала, и поэтому ее можно рассматривать как пропорциональную «алгебраической сложности» или количеству биты необходимо сохранить точку.^[9] Обычно это определяется как логарифм максимального модуля вектора взаимно простых целых чисел, полученного умножением на наименьший общий знаменатель. Это может быть использовано для определения высоты точки в проективном пространстве над Q, или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, от высоты его минимального многочлена.^[10]

Наивная высота Рациональное число Икс = п/q (в самых низких сроках)

• мультипликативная высота ${\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}$^[11]
• логарифмическая высота: ${\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}$^[12]

Следовательно, наивные мультипликативные и логарифмические высоты 4/10 находятся 5 и журнал (5), Например.

Наивная высота ЧАС из эллиптическая кривая E данный у² = х³ + Ax + B определяется как ОН) = макс. журнал (4 |А|³, 27|B|²).^[13]

Высота Нерона – Тейта

Основная статья: Высота Нерона – Тейта

В Высота Нерона – Тейта, или же каноническая высота, это квадратичная форма на Группа Морделла – Вейля из рациональные точки абелевого многообразия, определенного над глобальное поле. Он назван в честь Андре Нерон, который первым определил его как сумму локальных высот,^[14] и Джон Тейт, который определил его глобально в неопубликованной работе.^[15]

Высота Вейля

В Высота Вейля определяется на проективное разнообразие Икс над числовым полем K оснащен линейным комплектом L на Икс. Учитывая очень обширный линейный комплект L₀ на Икс, можно определить функцию высоты, используя наивную функцию высоты час. С L₀' очень обширен, его полная линейная система дает отображение ϕ из Икс в проективное пространство. Тогда по всем точкам п на Икс, определять${\displaystyle h_{L_{0}}(p):=h(\phi (p)).}$^[16][17]

Можно написать произвольный линейный пучок L на Икс как разница двух очень широких линейных связок L₁ и L₂ на Икс, вплоть до Скручивающаяся связка Серра О (1), поэтому можно определить высоту Вейля час_L на Икс относительно L через${\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}$(вплоть до О (1)).^[16][17]

Высота Аракелова

В Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами, исходящими от Fubini – Study metrics на Архимедовы поля и обычная метрика на неархимедовы поля.^[18][19] Это обычная высота Вейля с другой метрикой.^[20]

Высота опалубки

В Высота опалубки из абелева разновидность определяется над числовое поле является мерой его арифметической сложности. Он определяется высотой метризованный линейный пакет. Он был представлен Опалубки  (1983 ) в его доказательстве Гипотеза Морделла.

Функции высоты в алгебре

Смотрите также: Высота (абелева группа) и Высота (теория колец)

Высота многочлена

Для многочлен п степени п данный

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

то высота ЧАС(п) определяется как максимум значений его коэффициентов:^[21]

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}$

Аналогичным образом можно определить длина L(п) как сумму величин коэффициентов:

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}$

Связь с мерой Малера

В Мера Малера M(п) из п также является мерой сложности п.^[22] Три функции ЧАС(п), L(п) и M(п) связаны неравенство

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$ это биномиальный коэффициент.

Функции высоты в автоморфных формах

Одно из условий в определении автоморфная форма на общая линейная группа из адельная алгебраическая группа является умеренный рост, которое является асимптотическим условием роста функции высоты на общей линейной группе, рассматриваемой как аффинное разнообразие.^[23]

Смотрите также

• гипотеза abc
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
• Эллиптическая гипотеза Лемера
• Постоянная Хита-Брауна – Мороза
• Высота формального группового закона
• Дзета-функция высоты
• Теорема изогении Рейно
• Высота дерева

Рекомендации

1. Lang  (1997, стр. 43–67).
2. Bombieri и Гублер (2006, стр. 15–21).
3. Bombieri и Гублер (2006, стр. 176–230).
4. Войта  (1987 )
5. Опалубки  (1991 )
6. Weil  (1929 )
7. Lang  (1988 )
8. Опалубки  (1983 )
9. Bombieri и Гублер (2006, стр. 15–21).
10. Бейкер и Wüstholz  (2007, п. 3)
11. planetmath: функция высоты
12. mathoverflow question: средняя высота рациональных точек на кривой
13. Каноническая высота на эллиптической кривой в PlanetMath.
14. Нерон  (1965 )
15. Lang  (1997 )
16. Сильверман  (1994, III.10)
17. Bombieri и Гублер (2006, Разделы 2.2–2.4)
18. Bombieri и Гублер (2006, стр. 66–67).
19. Lang  (1988, стр. 156–157).
20. Фили, Петше и Прицкер (2017, п. 441)
21. Borwein  (2002 )
22. Малер  (1963 )
23. Ударяться  (1998 )

Источники

• Бейкер, Алан (1966). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I». Математика. Журнал чистой и прикладной математики. 13: 204–216. Дои:10.1112 / S0025579300003971. ISSN  0025-5793. МИСТЕР  0220680.
• Бейкер, Алан (1967a). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. II». Математика. Журнал чистой и прикладной математики. 14: 102–107. Дои:10.1112 / S0025579300008068. ISSN  0025-5793. МИСТЕР  0220680.
• Бейкер, Алан (1967b). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. III». Математика. Журнал чистой и прикладной математики. 14: 220–228. Дои:10.1112 / S0025579300003843. ISSN  0025-5793. МИСТЕР  0220680.
• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия. Новые математические монографии. 9. Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN  978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004.
• Бомбьери, Энрико; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.2277/0521846153. ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034.
• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. Springer-Verlag. стр.2, 3, 14148. ISBN  0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.
• Bump, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления. Кембриджские исследования в области высшей математики. 55. Издательство Кембриджского университета. п. 300. ISBN  9780521658188.
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0387963111. → Содержит английский перевод Фальтингс (1983)
• Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком). 73 (3): 349–366. Дои:10.1007 / BF01388432. МИСТЕР  0718935.
• Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анналы математики. 123 (3): 549–576. Дои:10.2307/2944319. МИСТЕР  1109353.
• Фили, Пол; Петше, Клейтон; Прицкер, Игорь (2017). «Интегралы энергии и малые точки для высоты Аракелова». Archiv der Mathematik. 109 (5): 441–454. arXiv:1507.01900. Дои:10.1007 / s00013-017-1080-х.
• Малер, К. (1963). «О двух экстремальных свойствах многочленов». Иллинойс Дж. Математика. 7: 681–701. Дои:10.1215 / ijm / 1255645104. Zbl  0117.04003.
• Нерон, Андре (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les varétés abéliennes". Анна. математики. (На французском). 82: 249–331. Дои:10.2307/1970644. МИСТЕР  0179173.
• Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым вниманием к сводимости. Энциклопедия математики и ее приложений. 77. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п.212. ISBN  0-521-66225-7. Zbl  0956.12001.
• Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Уравнения нормальной формы». Анналы математики. Вторая серия. 96 (3): 526–551. Дои:10.2307/1970824. МИСТЕР  0314761.
• Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96793-1. МИСТЕР  0969124. Zbl  0667.14001.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
• Вайль, Андре (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques". Acta Mathematica. 52 (1): 281–315. Дои:10.1007 / BF02592688. МИСТЕР  1555278.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1-4612-0851-8.
• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения стоимости. Конспект лекций по математике. 1239. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0072989. ISBN  978-3-540-17551-3. МИСТЕР  0883451. Zbl  0609.14011.

внешняя ссылка

• Полиномиальная высота в Mathworld