Дзета-функция высоты - Height zeta function

В математике дзета-функция высоты из алгебраическое многообразие или, в более общем смысле, подмножество разнообразия кодирует распределение точек заданных высота.

Определение

Если S это набор с функцией высоты ЧАС, таких, что существует только конечное число элементов ограниченной высоты, определим функция подсчета

${\displaystyle N(S,H,B)=\#\{x\in S:H(x)\leq B\}.}$

и дзета-функция

${\displaystyle Z(S,H;s)=\sum _{x\in S}H(x)^{-s}.}$

Характеристики

Если Z имеет абсцисса схождения β и существует постоянная c такой, что N имеет скорость роста

${\displaystyle N\sim cB^{a}(\log B)^{t-1}}$

затем версия Теорема Винера – Икехары держит: Z имеет т-складной полюс на s = β с вычетом c.а.Γ (т).

Абсцисса сходимости имеет такие же формальные свойства, как и Инвариант Неванлинны и предполагается, что они по существу одинаковы. Точнее, Батырев – Манин предположил следующее.^[1] Позволять Икс - проективное многообразие над числовым полем K с обильным делителем D вызывая функцию вложения и высоты ЧАС, и разреши U обозначим открытое по Зарискому подмножествоИкс. Позволять α = α(D) - инвариант Неванлинны D и β - абсцисса сходимости Z(U, ЧАС; s). Тогда для каждого ε > 0 есть U такой, что β < α + ε: в обратном направлении, если α > 0 тогда α = β для всех достаточно больших полей K и достаточно маленькийU.

Рекомендации

1. Батырев, В.В .; Манин, Ю.И. (1990). «О числе рациональных точек ограниченной высоты на алгебраических многообразиях». Математика. Анна. 286: 27–43. Дои:10.1007 / bf01453564. Zbl  0679.14008.

• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: введение. Тексты для выпускников по математике. 201. ISBN  0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.