Гипотеза Войтаса - Vojtas conjecture

В математика, Гипотеза Войты - гипотеза, введенная Пол Войта  (1987 ) о высоте точек на алгебраические многообразия над числовые поля. Гипотеза была мотивирована аналогией между диофантово приближение и Теория Неванлинны (теория распределения стоимости) в комплексный анализ. Отсюда следует множество других гипотез в Диофантово приближение, Диофантовы уравнения, арифметическая геометрия, и математическая логика.

Формулировка гипотезы

Позволять ${\displaystyle F}$ числовое поле, пусть ${\displaystyle X/F}$ - неособое алгебраическое многообразие, пусть ${\displaystyle D}$ быть эффективным делитель на ${\displaystyle X}$ с в худшем случае нормальными переходами, пусть ${\displaystyle H}$ быть обильным делителем на ${\displaystyle X}$, и разреши ${\displaystyle K_{X}}$ быть каноническим делителем на ${\displaystyle X}$. Выберите Weil функции высоты ${\displaystyle h_{H}}$ и ${\displaystyle h_{K_{X}}}$ и для каждого абсолютная величина ${\displaystyle v}$ на ${\displaystyle F}$, функция локальной высоты ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$. Зафиксируйте конечный набор абсолютных значений ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle F}$, и разреши ${\displaystyle \epsilon >0}$. Тогда есть постоянная ${\displaystyle C}$ и непустое открытое множество Зарисского ${\displaystyle U\subseteq X}$, в зависимости от всех вышеперечисленных вариантов, так что

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad {\hbox{for all }}P\in U(F).}$

Примеры:

1. Позволять ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$. потом ${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$, поэтому гипотеза Войты гласит ${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$ для всех ${\displaystyle P\in U(F)}$.
2. Позволять ${\displaystyle X}$ - многообразие с тривиальным каноническим расслоением, например абелева разновидность, а K3 поверхность или Сорт Калаби-Яу. Гипотеза Войты предсказывает, что если ${\displaystyle D}$ - эффективный обильный дивизор нормальных пересечений, то ${\displaystyle S}$-интегральные точки на аффинном многообразии ${\displaystyle X\setminus D}$ не тупы по Зарисскому. Для абелевых многообразий это было предположено Lang и доказано Фальтингс (1991).
3. Позволять ${\displaystyle X}$ быть разнообразным общий тип, т.е. ${\displaystyle K_{X}}$ обильна на некотором непустом открытом по Зарисском подмножестве ${\displaystyle X}$. Затем принимая ${\displaystyle S=\emptyset }$, Гипотеза Войты предсказывает, что ${\displaystyle X(F)}$ не плотно Зарисского в ${\displaystyle X}$. Последнее утверждение для многообразий общего типа есть Гипотеза Бомбьери-Ланга.

Обобщения

Есть обобщения, в которых ${\displaystyle P}$ разрешено варьироваться ${\displaystyle X({\overline {F}})}$, а в верхней оценке есть дополнительный член, зависящий от дискриминанта расширения поля ${\displaystyle F(P)/F}$.

Существуют обобщения, в которых неархимедовы локальные высоты ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$ заменяются усеченными локальными высотами, которые являются локальными высотами, в которых множественности игнорируются. Эти версии гипотезы Войты обеспечивают естественные многомерные аналоги гипотезы Гипотеза ABC.

Рекомендации

• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения стоимости. Конспект лекций по математике. 1239. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0072989. ISBN  978-3-540-17551-3. МИСТЕР  0883451. Zbl  0609.14011.
• Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анналы математики. 123 (3): 549–576. Дои:10.2307/2944319. МИСТЕР  1109353.