Ограниченные частные частные - Restricted partial quotients

В математика и, в частности, в аналитической теории регулярные непрерывные дроби, бесконечная правильная цепная дробь Икс как говорят ограниченный, или состоящий из ограниченные частные частные, если последовательность знаменателей его частных частных ограничена; то есть

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}$

и есть некоторое положительное целое число M такие, что все (целые) частные знаменатели а_я меньше или равны M.^[1][2]

Периодические непрерывные дроби

Обычный периодическая цепная дробь состоит из конечного начального блока частичных знаменателей, за которым следует повторяющийся блок; если

${\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,}$

тогда ζ является квадратичный иррациональный число, а его представление в виде правильной цепной дроби является периодическим. Ясно, что любая регулярная периодическая непрерывная дробь состоит из ограниченных частных частных, поскольку ни один из частных знаменателей не может быть больше наибольшего из а₀ через а_k+м. Исторически сложилось так, что математики изучали периодические непрерывные дроби, прежде чем рассматривать более общую концепцию ограниченных частных частных.

Ограниченные CF и множество Кантора

В Кантор набор это набор C из измерять ноль из которых полный интервал вещественных чисел можно построить простым сложением - то есть любое действительное число из интервала можно выразить как сумму ровно двух элементов множества C. Обычное доказательство существования множества Кантора основано на идее пробить «дыру» в середине интервала, затем пробить дыры в оставшихся подынтерваллах и повторить этот процесс. до бесконечности.

Процесс добавления еще одного частичного частного к конечной непрерывной дроби во многом аналогичен процессу «пробивания дыры» в интервале действительных чисел. Размер «дыры» обратно пропорционален следующему выбранному частному знаменателю - если следующий частный знаменатель равен 1, промежуток между последовательными сходящиеся максимизируется. Для уточнения следующих теорем рассмотрим CF (M), множество ограниченных цепных дробей, значения которых лежат в открытом интервале (0, 1), а частные знаменатели которых ограничены положительным целым числом M - то есть,

${\displaystyle \mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,}$

Проведя рассуждение, параллельное тому, которое использовалось для построения множества Кантора, можно получить два интересных результата.

• Если M ≥ 4, то любое действительное число в интервале можно построить как сумму двух элементов из CF (M), где интервал определяется выражением

${\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}$

• Простой аргумент показывает, что ${\displaystyle {\scriptstyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}}$ держится, когда M ≥ 4, а это, в свою очередь, означает, что если M ≥ 4, каждое действительное число можно представить в виде п + CF₁ + CF₂, куда п целое число, а CF₁ и CF₂ являются элементами CF (M).^[3]

Гипотеза Зарембы

Заремба предположил существование абсолютной постоянной А, такие, что рациональные числа с частными частными ограничены А содержать по крайней мере один для каждого (положительного целого) знаменателя. Выбор А = 5 совместимо с числовым свидетельством.^[4] Дальнейшие предположения уменьшают это значение в случае всех достаточно больших знаменателей.^[5] Жан Бургейн и Алексей Конторович показали, что А можно выбрать так, чтобы вывод был верен для набора знаменателей с плотностью 1.^[6]

Смотрите также

• Марковский спектр

Рекомендации

1. Рокетт, Эндрю М .; Szüsz, Питер (1992). Непрерывные дроби. World Scientific. ISBN  981-02-1052-3.
2. Для более полного объяснения используемых здесь обозначений K см. Эта статья.
3. Холл, Маршалл (Октябрь 1947 г.). «О сумме и произведении непрерывных дробей». Анналы математики. 48 (4): 966–993. Дои:10.2307/1969389. JSTOR  1969389.
4. Кристиан С. Калуд; Елена Калуде; М. Дж. Диннин (29 ноября 2004 г.). Развитие теории языка: 8-я международная конференция, DLT 2004, Окленд, Новая Зеландия, 13-17 декабря, Труды. Springer. п. 180. ISBN  978-3-540-24014-3.
5. Хи О; Эммануэль Брейяр (17 февраля 2014 г.). Тонкие группы и сверхсильное приближение. Издательство Кембриджского университета. п. 15. ISBN  978-1-107-03685-7.
6. Бургейн, Жан; Конторович, Алексей (2014). «По догадке Зарембы». Анналы математики. 180 (1): 137–196. arXiv:1107.3776. Дои:10.4007 / летопись.2014.180.1.3. МИСТЕР  3194813.