Размер набора цилиндров - Cylinder set measure

В математика, измерение набора цилиндров (или же измерить, или же предварительная оценка, или же квази-мера, или же CSM) является своеобразным прототипом мера на бесконечномерном векторное пространство. Примером может служить Гауссовский набор цилиндров измерения на Гильбертово пространство.

Размеры комплекта цилиндров в целом нет меры (и, в частности, не обязательно счетно аддитивный но только конечно аддитивный ), но может использоваться для определения показателей, таких как классическая мера Винера на множестве непрерывных путей, начинающихся в начале координат в Евклидово пространство.

Определение

Позволять E быть отделяемый, настоящий, топологическое векторное пространство. Позволять обозначают совокупность всех сюръективный, непрерывные линейные карты Т : E → FТ определено на E образ которого представляет собой некоторое конечномерное реальное векторное пространство FТ:

А измерение набора цилиндров на E это собрание вероятностные меры

куда μТ является вероятностной мерой на FТ. Эти меры необходимы для выполнения следующего условия согласованности: если πST : FS → FТ сюръективно проекция, то продвигать меры следующие:

Замечания

Условие согласованности

моделируется на основе того, что истинные меры продвигают вперед (см. цилиндрические размеры в сравнении с истинными размерами ). Однако важно понимать, что в случае измерений набора цилиндров это требование, которое является частью определения, а не результатом.

Меру множества цилиндров можно интуитивно понять как определение конечно-аддитивной функции на комплекты цилиндров топологического векторного пространства E. В комплекты цилиндров являются предварительные изображения в E измеримых множеств в FТ: если обозначает σ-алгебра на FТ на котором μТ определено, то

На практике часто принимают быть Борель σ-алгебра на FТ. В этом случае можно показать, что когда E это отделяемый Банахово пространство, σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, является в точности борелевской σ-алгебра E:

Размеры цилиндров в сравнении с мерами

Измерение набора цилиндров на E на самом деле не мера E: это набор мер, определенных на всех конечномерных образах E. Если E имеет вероятностную меру μ уже определено на нем, тогда μ приводит к измерению набора цилиндров на E используя толчок вперед: установить μТ = Т(μ) на FТ.

Когда есть мера μ на E такой, что μТ = Т(μ) таким образом принято обозначение злоупотребления немного и скажите, что цилиндр установлен "это" мера μ.

Меры цилиндрического множества на гильбертовых пространствах

Когда банахово пространство E на самом деле Гильбертово пространство ЧАС, Существует канонический Мера множества гауссовских цилиндров γЧАС вытекающие из внутренний продукт структура на ЧАС. В частности, если ⟨,⟩ обозначает внутренний продукт на ЧАС, позволять ⟨ , ⟩Т обозначить частное внутреннее произведение на FТ. Мера γТЧАС на FТ тогда определяется как канонический Гауссова мера на FТ:

куда я : ртусклый (FТ) → FТ является изометрия гильбертовых пространств, принимая Евклидово внутренний продукт на ртусклый (FТ) к внутреннему произведению ⟨,⟩Т на FТ, и γп это стандарт Гауссова мера на рп.

Мера канонического гауссовского цилиндрического множества на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС не соответствует истинной мере на ЧАС. Доказательство довольно простое: шар радиуса р (и центр 0) имеет размер, не более равный измерению шара радиуса р в п-мерное гильбертово пространство, которое стремится к 0 при п стремится к бесконечности. Итак, шар радиуса р имеет меру 0; поскольку гильбертово пространство представляет собой счетное объединение таких шаров, оно также имеет меру 0; противоречие.

Альтернативное доказательство того, что мера множества гауссовских цилиндров не является мерой, использует Теорема Камерона – Мартина и результат на квазиинвариантность мер. Если γЧАС = γ действительно были мерой, тогда функция идентичности на ЧАС бы радонировать эта мера, таким образом делая id:ЧАС → ЧАС в абстрактное винеровское пространство. По теореме Камерона – Мартина γ тогда будет квазиинвариантным относительно трансляции любым элементом ЧАС, откуда следует, что либо ЧАС конечномерна или что γ - нулевая мера. В любом случае получаем противоречие.

Теорема Сазонова дает условия, при которых продвигать меры канонического гауссовского цилиндрического множества можно превратить в истинную меру.

Ядерные пространства и меры цилиндров

Мера набора цилиндров на двойном ядерное пространство Фреше автоматически расширяется до меры, если ее преобразование Фурье непрерывно.

Пример: Позволять S быть пространством Функции Шварца в конечномерном векторном пространстве; это ядерно. Он содержится в гильбертовом пространстве ЧАС из L2 функции, которая, в свою очередь, содержится в пространстве умеренные распределения S′, Двойственный к ядерный Fréchet space S:

Измерение множества гауссовских цилиндров на ЧАС дает цилиндрическую меру множества на пространстве умеренных распределений, которая простирается до меры на пространстве умеренных распределений, S′.

Гильбертово пространство ЧАС имеет меру 0 в S′, Первым аргументом, использованным выше, чтобы показать, что мера множества канонических гауссовских цилиндров на ЧАС не распространяется на ЧАС.

Смотрите также

Рекомендации

  • И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин, Обобщенные функции. Применение гармонического анализа, Том 4, Акад. Пресса (1968)
  • Р.А. Минлос (2001) [1994], "цилиндрическая мера", Энциклопедия математики, EMS Press
  • Р.А. Минлос (2001) [1994], "набор цилиндров", Энциклопедия математики, EMS Press
  • Л. Шварц, Радоновые меры.