Размер набора цилиндров - Cylinder set measure

В математика, измерение набора цилиндров (или же измерить, или же предварительная оценка, или же квази-мера, или же CSM) является своеобразным прототипом мера на бесконечномерном векторное пространство. Примером может служить Гауссовский набор цилиндров измерения на Гильбертово пространство.

Размеры комплекта цилиндров в целом нет меры (и, в частности, не обязательно счетно аддитивный но только конечно аддитивный ), но может использоваться для определения показателей, таких как классическая мера Винера на множестве непрерывных путей, начинающихся в начале координат в Евклидово пространство.

Определение

Позволять E быть отделяемый, настоящий, топологическое векторное пространство. Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}} (E)}$ обозначают совокупность всех сюръективный, непрерывные линейные карты Т : E → F_Т определено на E образ которого представляет собой некоторое конечномерное реальное векторное пространство F_Т:

{ Displaystyle { mathcal {A}} (E): = {T in mathrm {Lin} (E; F_ {T}) mid T { mbox {сюръективное и}} dim _ { mathbb {R}} F_ {T} <+ infty }.}

А измерение набора цилиндров на E это собрание вероятностные меры

{ displaystyle { mu _ {T} mid T in { mathcal {A}} (E) }.}

куда μ_Т является вероятностной мерой на F_Т. Эти меры необходимы для выполнения следующего условия согласованности: если π_ST : F_S → F_Т сюръективно проекция, то продвигать меры следующие:

{ displaystyle mu _ {T} = left ( pi _ {ST} right) _ {*} ( mu _ {S}).}

Замечания

Условие согласованности

{ displaystyle mu _ {T} = left ( pi _ {ST} right) _ {*} ( mu _ {S})}

моделируется на основе того, что истинные меры продвигают вперед (см. цилиндрические размеры в сравнении с истинными размерами ). Однако важно понимать, что в случае измерений набора цилиндров это требование, которое является частью определения, а не результатом.

Меру множества цилиндров можно интуитивно понять как определение конечно-аддитивной функции на комплекты цилиндров топологического векторного пространства E. В комплекты цилиндров являются предварительные изображения в E измеримых множеств в F_Т: если ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {T}}$ обозначает σ-алгебра на F_Т на котором μ_Т определено, то

{ Displaystyle mathrm {Cyl} (E): = {T ^ {- 1} (B) mid B in { mathcal {B}} _ {T}, T in { mathcal {A} } (E) }.}

На практике часто принимают ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {T}}$ быть Борель σ-алгебра на F_Т. В этом случае можно показать, что когда E это отделяемый Банахово пространство, σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, является в точности борелевской σ-алгебра E:

{ displaystyle mathrm {Borel} (E) = sigma left ( mathrm {Cyl} (E) right).}

Размеры цилиндров в сравнении с мерами

Измерение набора цилиндров на E на самом деле не мера E: это набор мер, определенных на всех конечномерных образах E. Если E имеет вероятностную меру μ уже определено на нем, тогда μ приводит к измерению набора цилиндров на E используя толчок вперед: установить μ_Т = Т_∗(μ) на F_Т.

Когда есть мера μ на E такой, что μ_Т = Т_∗(μ) таким образом принято обозначение злоупотребления немного и скажите, что цилиндр установлен ${ displaystyle { mu _ {T} | T in { mathcal {A}} (E) }}$ "это" мера μ.

Меры цилиндрического множества на гильбертовых пространствах

Когда банахово пространство E на самом деле Гильбертово пространство ЧАС, Существует канонический Мера множества гауссовских цилиндров γ^ЧАС вытекающие из внутренний продукт структура на ЧАС. В частности, если ⟨,⟩ обозначает внутренний продукт на ЧАС, позволять ⟨ , ⟩_Т обозначить частное внутреннее произведение на F_Т. Мера γ_Т^ЧАС на F_Т тогда определяется как канонический Гауссова мера на F_Т:

{ displaystyle gamma _ {T} ^ {H}: = я _ {*} left ( gamma ^ { dim F_ {T}} right),}

куда я : р^{тусклый (F_Т)} → F_Т является изометрия гильбертовых пространств, принимая Евклидово внутренний продукт на р^{тусклый (F_Т)} к внутреннему произведению ⟨,⟩_Т на F_Т, и γ^п это стандарт Гауссова мера на р^п.

Мера канонического гауссовского цилиндрического множества на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС не соответствует истинной мере на ЧАС. Доказательство довольно простое: шар радиуса р (и центр 0) имеет размер, не более равный измерению шара радиуса р в п-мерное гильбертово пространство, которое стремится к 0 при п стремится к бесконечности. Итак, шар радиуса р имеет меру 0; поскольку гильбертово пространство представляет собой счетное объединение таких шаров, оно также имеет меру 0; противоречие.

Альтернативное доказательство того, что мера множества гауссовских цилиндров не является мерой, использует Теорема Камерона – Мартина и результат на квазиинвариантность мер. Если γ^ЧАС = γ действительно были мерой, тогда функция идентичности на ЧАС бы радонировать эта мера, таким образом делая id:ЧАС → ЧАС в абстрактное винеровское пространство. По теореме Камерона – Мартина γ тогда будет квазиинвариантным относительно трансляции любым элементом ЧАС, откуда следует, что либо ЧАС конечномерна или что γ - нулевая мера. В любом случае получаем противоречие.

Теорема Сазонова дает условия, при которых продвигать меры канонического гауссовского цилиндрического множества можно превратить в истинную меру.

Ядерные пространства и меры цилиндров

Мера набора цилиндров на двойном ядерное пространство Фреше автоматически расширяется до меры, если ее преобразование Фурье непрерывно.

Пример: Позволять S быть пространством Функции Шварца в конечномерном векторном пространстве; это ядерно. Он содержится в гильбертовом пространстве ЧАС из L² функции, которая, в свою очередь, содержится в пространстве умеренные распределения S′, Двойственный к ядерный Fréchet space S:

{ Displaystyle S substeq H substeq S '.}

Измерение множества гауссовских цилиндров на ЧАС дает цилиндрическую меру множества на пространстве умеренных распределений, которая простирается до меры на пространстве умеренных распределений, S′.

Гильбертово пространство ЧАС имеет меру 0 в S′, Первым аргументом, использованным выше, чтобы показать, что мера множества канонических гауссовских цилиндров на ЧАС не распространяется на ЧАС.

Смотрите также

Цилиндрическая σ-алгебра

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки