Конгломерат (математика) - Conglomerate (mathematics)

В математика, в рамках единой Вселенной для теория категорий,^[1][2] период, термин "конгломерат" применяется к произвольным множествам как противопоставление выделенным множествам, которые являются элементами Вселенная Гротендика.^{[3][4][5][6][7][8]}

Определение

Самые популярные аксиоматические теории множеств, Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC), теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и Теория множеств Морса – Келли (МК), признайся неконсервативные расширения возникающие после добавления дополнительной аксиомы существования Вселенная Гротендика ${\displaystyle U}$. Примером такого расширения является Теория множеств Тарского – Гротендика, где постулируется бесконечная иерархия вселенных Гротендика.

Концепция конгломерата была создана для борьбы с "коллекции" из классы, что желательно в теории категорий, чтобы каждый класс можно было рассматривать как элемент «более общей коллекции», конгломерата. Технически это организовано изменениями в терминологии: когда Вселенная Гротендика ${\displaystyle U}$ добавляется к выбранной аксиоматической теории множеств (ZFC /NBG /МК ) считается удобным^[9][10]

• применять термин «набор» только к элементам ${\displaystyle U}$,
• применять термин "класс" только к подмножествам ${\displaystyle U}$,
• применять термин «конгломерат» ко всем наборам (не обязательным элементам или подмножествам ${\displaystyle U}$).

В результате в этой терминологии каждый набор - это класс, а каждый класс - это конгломерат.

Следствия

Формально эта конструкция описывает модель исходной аксиоматической теории множеств (ZFC /NBG /МК ) в расширении этой теории ("ZFC / NBG / MK +Вселенная Гротендика ") с ${\displaystyle U}$ как вселенная.^{[1]:195[2]:23}

Если исходная аксиоматическая теория множеств допускает идею правильный класс (т.е. объект, который не может быть элементом какого-либо другого объекта, например, класс ${\displaystyle Set}$ всех множеств в NBG и MK), то эти объекты (собственные классы) исключаются из рассмотрения в новой теории («NBG / MK + вселенная Гротендика»). Однако (не считая возможных проблем, вызванных дополнительной аксиомой существования ${\displaystyle U}$) это в некотором смысле не приводит к потере информации об объектах старой теории (NBG или MK), поскольку ее представление в качестве модели в новой теории («NBG / MK + вселенная Гротендика») означает, что то, что может быть доказано в NBG / MK о его обычных объектах, называемых классами (включая собственные классы), можно также доказать в "NBG / MK + Grothendieck Universe" о его классах (т.е. о подмножествах ${\displaystyle U}$, включая подмножества, не являющиеся элементами ${\displaystyle U}$, являющиеся аналогами собственных классов из NBG / MK). В то же время новая теория не эквивалентна исходной, поскольку некоторые дополнительные утверждения о классах могут быть доказаны в «вселенной NBG / MK + Grothendieck», но не в NBG / MK.

Терминология

Изменение терминологии иногда называют «соглашением конгломерата».^[7]:6Первый шаг, сделанный Мак Лейном,^{[1]:195[2]:23} применять термин «класс» только к подмножествам ${\displaystyle U.}$ Мак Лейн не переопределяет существующие теоретико-множественные термины; скорее, он работает в теории множеств без классов (ZFC, а не NBG / MK), называет членов ${\displaystyle U}$ «малые множества» и утверждает, что малые множества и классы удовлетворяют аксиомам NBG. Ему не нужны «конгломераты», поскольку множества не обязательно должны быть маленькими.

Термин «конгломерат» таится в обзорах 1970-х и 1980-х годов. Математические обзоры^[11] без определения, объяснения или ссылки, а иногда и в документах.^[12]

Пока соглашение о конгломерате действует, его следует использовать исключительно во избежание двусмысленности; то есть конгломераты не следует называть «наборами» в обычном смысле ZFC.^[7]:6

Рекомендации

1. Мак-Лейн, Сондерс (1969). «Единая вселенная как основа теории категорий». Отчеты Семинара категории Среднего Запада III. Конспект лекций по математике, том 106. Конспект лекций по математике. 106. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 192–200. Дои:10.1007 / BFb0059147. ISBN  978-3-540-04625-7.
2. Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (Второе изд.). Спрингер, Нью-Йорк, Нью-Йорк. ISBN  978-0-387-90036-0.
3. Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж (1990). Абстракция и конкретность Категории: Кошачьи радости (PDF). Dover Publications. С. 13, 15, 16, 259. ISBN  978-0-486-46934-8.
4. Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж (2007). «Наборы, классы и конгломераты» (PDF). Теория категорий (3-е изд.). Heldermann Verlag. С. 9–12.
5. Осборн, М. Скотт (2012-12-06). Базовая гомологическая алгебра. Springer Science & Business Media. С. 151–153. ISBN  9781461212782.
6. Пройс, Герхард (2012-12-06). Теория топологических структур: подход к категориальной топологии. Springer Science & Business Media. п. 3. ISBN  9789400928596.
7. Мерфет, Даниэль (5 октября 2006 г.). «Основы теории категорий» (PDF).
8. Чжан, Цзиньвэнь (1991). «Система аксиом ACG и доказательство непротиворечивости системы QM и ZF #». Достижения в китайской компьютерной науке. 3. С. 153–171. Дои:10.1142/9789812812407_0009. ISBN  978-981-02-0152-4.
9. Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж (2007). «Приложение. Основы» (PDF). Теория категорий (3-е изд.). Heldermann Verlag. С. 328–3300.
10. Нел, Луи (2016-06-03). Теория непрерывности. Springer. п. 31. ISBN  9783319311593.
11. Отзывы 48#5965, 56#3798, 82f: 18003, 83d: 18010, 84c: 54045, 87м: 18001
12. Проверено: 89e: 18002, 96 г: 18002