Ко-хопфианская группа - Co-Hopfian group

В математическом предмете теория групп, а ко-хопфова группа это группа это не изоморфный на любой из своих подгруппы. Это понятие двойственно. Группа Хопфиана, названный в честь Хайнц Хопф. ^[1]

Формальное определение

Группа г называется ко-хопфианский если когда-нибудь ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ является инъективный групповой гомоморфизм тогда ${\displaystyle \varphi }$ является сюръективный, то есть ${\displaystyle \varphi (G)=G}$.^[2]

Примеры и не примеры

• Каждая конечная группа г ко-хопфиан.
• Бесконечная циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ не является ко-хопфовым, поскольку ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=2n}$ является инъективным, но не сюръективным гомоморфизмом.
• Аддитивная группа действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не является ко-хопфовым, поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является бесконечномерным векторным пространством над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и, следовательно, как группа ${\displaystyle \mathbb {R} \cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.^[2]
• Аддитивная группа рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и фактор-группа ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ко-хопфианские.^[2]
• Мультипликативная группа ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }}$ ненулевых рациональных чисел не является кохопфовым, поскольку отображение ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}}$ является инъективным, но не сюръективным гомоморфизмом.^[2] Таким же образом группа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\ast }}$ положительных рациональных чисел не является ко-хопфовым.
• Мультипликативная группа ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$ ненулевых комплексных чисел не является кохопфовым.^[2]
• Для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$ в свободная абелева группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ не является со-Хопфистом.^[2]
• Для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$ в свободная группа ${\displaystyle F_{n}}$ не является со-Хопфистом.^[2]
• Существует конечно порожденная неэлементарная (т.е. не виртуально циклическая) практически свободная группа который является ко-хопфовым. Таким образом, подгруппа конечного индекса в конечно порожденной кохопфовой группе не обязательно должна быть кохопфовой, и быть кохопфовой не означает квазиизометрия инвариантен для конечно порожденных групп.^[3]
• Группы Баумслага – Солитера ${\displaystyle BS(1,m)}$, где ${\displaystyle m\geq 1}$, не являются со-Хопфистами.^[4]
• Если г это фундаментальная группа замкнутого асферического многообразия с ненулевым Эйлерова характеристика (или с ненулевым симплициальный объем или ненулевой L²-Число Бетти ), тогда г ко-хопфиан.^[5]
• Если г является фундаментальной группой замкнутого связного ориентированного неприводимого трехмерного многообразия M тогда г кохопфово тогда и только тогда, когда нет конечного покрытия M расслоение торов над окружностью или произведение окружности и замкнутой поверхности.^[6]
• Если г неприводимая решетка в вещественной полупростая группа Ли и г это не практически свободная группа тогда г ко-хопфиан.^[7] Например. этот факт относится к группе ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ для ${\displaystyle n\geq 3}$.
• Если г односторонний без кручения словесно-гиперболическая группа тогда г кохопфово, в силу Села.^[8]
• Если г - фундаментальная группа полного гладкого риманова п-многообразие (где п > 2) защемленной отрицательной кривизны, то г ко-хопфиан. ^[9]
• В группа классов отображения замкнутой гиперболической поверхности кохопфова.^[10]
• Группа Из(F_п) (где п> 2) является кохопфовым.^[11]
• Дельзант и Полягайло дали характеристику ко-хопфичности геометрически конечных Клейнианские группы изометрий ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ без 2-кручения.^[12]
• А прямоугольная группа Артина ${\displaystyle A(\Gamma )}$ (где ${\displaystyle \Gamma }$ конечный непустой граф) не кохопфово; отправка каждого стандартного генератора ${\displaystyle A(\Gamma )}$ к власти ${\displaystyle >1}$ определяет и эндоморфизм ${\displaystyle A(\Gamma )}$ что инъективно, но не сюръективно.^[13]
• Конечно порожденная без кручения нильпотентная группа г может быть ко-хопфовым или не ко-хопфовым, в зависимости от свойств ассоциированного с ним рационального Алгебра Ли.^[5][3]
• Если г это относительно гиперболическая группа и ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ является инъективным, но не сюръективным эндоморфизмом г тогда либо ${\displaystyle \varphi ^{k}(G)}$ параболический для некоторых k > 1 или г распадается по практически циклической или параболической подгруппе.^[14]
• Григорчук группа г промежуточного роста не является ко-Хопфовым.^[15]
• Группа Томпсона F не является со-Хопфистом.^[16]
• Существует конечно порожденная группа г который не является ко-хопфианским, но имеет Имущество Каждан (Т).^[17]
• Если г Хигмэн универсальная конечно определенная группа тогда г не является ко-хопфианским, и г не может быть вложен в конечно порожденную рекурсивно представленную кохопфову группу.^[18]

Обобщения и родственные понятия

• Группа г называется конечно ко-хопфовский^[19] если когда-нибудь ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ является инъективным эндоморфизмом, образ которого имеет конечный индекс в г тогда ${\displaystyle \varphi (G)=G}$. Например, для ${\displaystyle n\geq 2}$ в свободная группа ${\displaystyle F_{n}}$ не кохопфово, но конечно кохопфово.
• Конечно порожденная группа г называется масштабно-инвариантный если существует вложенная последовательность подгрупп конечного индекса г, каждая изоморфна г, пересечение которого является конечной группой.^[4]
• Группа г называется дискохопфиан^[3] если существует инъективный эндоморфизм ${\displaystyle \varphi :G\to G}$ такой, что ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}}$.
• В грубая геометрия, метрическое пространство Икс называется квазиизометрически ко-Хопфу если каждый квазиизометрическое вложение ${\displaystyle f:X\to X}$ грубо сюръективно (то есть является квазиизометрией). По аналогии, Икс называется грубо co-Hopf если каждый грубая заливка ${\displaystyle f:X\to X}$ грубо сюръективно. ^[20]
• В метрическая геометрия, метрическое пространство K называется квазисимметрично ко-Хопфу если каждый квазисимметричное вложение ${\displaystyle K\to K}$ находится на. ^[21]

Смотрите также

• Хопфовский объект

использованная литература

1. Вильгельм Магнус, Авраам Каррасс, Дональд Солитэр, Комбинаторная теория групп. Представления групп в терминах генераторов и отношений, Перепечатка второго издания 1976 года, Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2004. ISBN  0-486-43830-9
2. П. де ла Харп, Темы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN  0-226-31719-6; п. 58
3. Ив Корнелье, Градуировки алгебр Ли, систолический рост и когопфовы свойства нильпотентных групп. Bulletin de la Société Mathématique de France 144 (2016), нет. 4. С. 693–744.
4. Владимир Некрашевич и Габор Пит, Масштабно-инвариантные группы. Группы, геометрия и динамика 5 (2011), нет. 1. С. 139–167.
5. Игорь Белеградек, О кохопфовых нильпотентных группах. Бюллетень Лондонского математического общества 35 (2003), нет. 6. С. 805–811.
6. Ши Ченг Ван и Инь Цин У, Накрывающие инварианты и кохопфичность групп трехмерных многообразий.Труды Лондонского математического общества 68 (1994), нет. 1. С. 203–224.
7. Гопал ПрасадДискретные подгруппы, изоморфные решеткам в полупростых группах Ли. Американский журнал математики 98 (1976), нет. 1, 241–261
8. Злиль Села, Структура и жесткость в (по Громову) гиперболических группах и дискретных группах в группах Ли ранга 1. II.Геометрический и функциональный анализ 7 (1997), нет. 3. С. 561–593.
9. И. Белеградек, О жесткости Мостова для переменной отрицательной кривизны. Топология 41 (2002), нет. 2. С. 341–361.
10. Николай Иванов и Джон Маккарти, Об инъективных гомоморфизмах между модулярными группами Тейхмюллера. Я. Inventiones Mathematicae 135 (1999), нет. 2. С. 425–486.
11. Бенсон Фарб и Майкл Гендель,Соизмеримость Out (F_п), Публикации Mathématiques de l'IHÉS 105 (2007), стр. 1–48
12. Томас Дельзант и Леонид Потягайло, Эндоморфизмы клейновых групп. Геометрический и функциональный анализ 13 (2003), нет. 2. С. 396–436.
13. Монтсеррат Казальс-Руис, Вложимость и квазиизометрическая классификация частично коммутативных групп. Алгебраическая и геометрическая топология 16 (2016), нет. 1, 597–620
14. Корнелия Другу и Марк Сапир, Группы, действующие на древовидных пространствах и расщепления относительно гиперболических групп. Успехи в математике 217 (2008), нет. 3. С. 1313–1367.
15. Игорь Лысенок, Набор определяющих соотношений для группы Григорчука. (по-русски)Математические заметки 38 (1985), нет. 4, 503–516
16. Бронлин Вассинк, Подгруппы группы Р. Томпсона F, изоморфные F. Группы, Сложность, Криптология 3 (2011), нет. 2, 239–256
17. Янн Оливье и Дэниел Уайз, Группы Каждана с бесконечной группой внешних автоморфизмов. Труды Американского математического общества 359 (2007), нет. 5. С. 1959–1976.
18. Чарльз Ф. Миллер и Пол Шупп, Вложения в группы Хопфа. Журнал алгебры 17 (1971), стр. 171–176
19. Мартин Бридсон, Дэниел Гровс, Джонатан Хиллман, Гавен Мартин, Конфинитно хопфовы группы, открытые отображения и кно-дополнения. Группы, геометрия и динамика 4 (2010), нет. 4. С. 693–707.
20. Илья Капович и Антон Лукьяненко, Квазиизометрическая ко-хопфичность неоднородных решеток в полупростых группах Ли ранга один. Конформная геометрия и динамика 16 (2012), стр. 269–282
21. Сергей Меренков, Ковер Серпинского с кохопфийским свойством. Inventiones Mathematicae 180 (2010), нет. 2. С. 361–388.

дальнейшее чтение

• К. Варадараджан, Хопфианские и кохопфианские объекты, Publicacions Matemàtiques 36 (1992), нет. 1. С. 293–317.