Принцип Бернулли - Bernoullis principle

Эта статья посвящена принципу Бернулли и уравнению Бернулли в гидродинамике. По поводу теоремы Бернулли о вероятности см. закон больших чисел. Для несвязанной темы в обыкновенные дифференциальные уравнения, видеть Дифференциальное уравнение Бернулли.

Поток воздуха через измеритель Вентури. Кинетическая энергия увеличивается за счет давление жидкости, о чем свидетельствует разница в высоте двух столбов воды.

Воспроизвести медиа

Видео измеритель Вентури используется в лабораторном эксперименте

В динамика жидкостей, Принцип Бернулли утверждает, что увеличение скорости жидкости происходит одновременно с уменьшением статическое давление или уменьшение жидкость с потенциальная энергия.^{[1](Глава 3)[2](§ 3.5)} Принцип назван в честь Даниэль Бернулли кто опубликовал это в своей книге Гидродинамика в 1738 г.^[3] Хотя Бернулли пришел к выводу, что давление уменьшается с увеличением скорости потока, это было Леонард Эйлер кто получил Уравнение Бернулли в обычном виде в 1752 году.^[4][5] Принцип применим только для изэнтропические потоки: когда эффекты необратимые процессы (подобно турбулентность ) и неадиабатические процессы (например. тепловое излучение ) малы и им можно пренебречь.

Принцип Бернулли можно применить к различным типам потоков жидкости, что приводит к различным формам Уравнение Бернулли; существуют разные формы уравнения Бернулли для разных типов течения. Простая форма уравнения Бернулли справедлива для несжимаемые потоки (например, большинство жидкость потоки и газы движется на низком уровне число Маха ). Более сложные формы могут быть применены к сжимаемые потоки на более высоком Числа Маха (видеть вывод уравнения Бернулли ).

Принцип Бернулли можно вывести из принципа сохранение энергии. Это означает, что в установившемся потоке сумма всех форм энергии в жидкости вдоль рационализировать одинакова во всех точках этой линии потока. Для этого требуется, чтобы сумма кинетическая энергия, потенциальная энергия и внутренняя энергия остается постоянным.^{[2](§ 3.5)} Таким образом, увеличение скорости жидкости, подразумевающее увеличение ее кинетической энергии (динамическое давление ) - происходит с одновременным уменьшением (суммой) его потенциальной энергии (в том числе статическое давление ) и внутренней энергии. Если жидкость вытекает из резервуара, сумма всех форм энергии одинакова на всех линиях тока, потому что в резервуаре энергия на единицу объема (сумма давления и гравитационный потенциал ρ г ч) везде одинаково.^{[6](Пример 3.5)}

Принцип Бернулли также может быть получен непосредственно из Исаак Ньютон с Второй закон движения. Если небольшой объем жидкости течет горизонтально из области высокого давления в область низкого давления, то давление сзади больше, чем спереди. Это дает чистую силу объему, ускоряя его по линии тока.^[а][b][c]

Частицы жидкости подвержены только давлению и собственному весу. Если жидкость течет горизонтально и вдоль участка линии тока, где скорость увеличивается, это может быть только потому, что жидкость на этом участке переместилась из области более высокого давления в область более низкого давления; и если его скорость уменьшается, это может быть только потому, что он переместился из области более низкого давления в область более высокого давления. Следовательно, внутри текучей среды, текущей горизонтально, самая высокая скорость происходит там, где давление самое низкое, а самая низкая скорость возникает там, где давление самое высокое.^[10]

Уравнение несжимаемого потока

В большинстве потоков жидкостей и газов при низких число Маха, то плотность жидкой посылки можно считать постоянной, независимо от изменений давления в потоке. Следовательно, жидкость можно рассматривать как несжимаемую, и эти потоки называются несжимаемыми потоками. Бернулли проводил свои эксперименты с жидкостями, поэтому его уравнение в исходной форме справедливо только для несжимаемого потока. Общая форма уравнения Бернулли, действительная в любой произвольной точке вдоль рационализировать, является:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

(А)

куда:

v поток жидкости скорость в точке на линии тока,

грамм это ускорение силы тяжести,

z это высота точки над базовой плоскостью с положительным z-направление направлено вверх - то есть в направлении, противоположном ускорению свободного падения,

п это давление в выбранной точке, и

ρ это плотность жидкости во всех точках жидкости.

Константа в правой части уравнения зависит только от выбранной линии тока, тогда как v, z и п зависят от конкретной точки на этой линии тока.

Для применения этого уравнения Бернулли должны быть выполнены следующие предположения:^[2](p265)

• поток должен быть устойчивый, т.е. параметры потока (скорость, плотность и т. д.) в любой точке не могут изменяться со временем,
• поток должен быть несжимаемым - даже если давление меняется, плотность должна оставаться постоянной вдоль линии тока;
• трение вязкий силы должны быть незначительными.

За консервативная сила полей (не ограничиваясь гравитационным полем), уравнение Бернулли можно обобщить следующим образом:^[2](p265)

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

куда Ψ это силовой потенциал в точке, рассматриваемой на линии тока. Например. для гравитации Земли Ψ = gz.

Умножая на плотность жидкости ρ, уравнение (А) можно переписать как:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}}$

или же:

${\displaystyle q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}}$

куда

• q = 1/2ρv² является динамическое давление,
• час = z + п/ρg это пьезометрическая головка или же гидравлическая головка (сумма высот z и напор )^[11][12] и
• п₀ = п + q это давление застоя (сумма статического давления п и динамическое давление q).^[13]

Константу в уравнении Бернулли можно нормировать. Общий подход с точки зрения общая голова или же энергетическая голова ЧАС:

${\displaystyle H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},}$

Приведенные выше уравнения предполагают, что существует скорость потока, при которой давление равно нулю, а при еще более высоких скоростях давление отрицательное. Чаще всего газы и жидкости не способны к отрицательному абсолютному давлению или даже к нулевому давлению, поэтому ясно, что уравнение Бернулли перестает действовать до достижения нулевого давления. В жидкостях - когда давление становится слишком низким - кавитация происходит. В приведенных выше уравнениях используется линейная зависимость между квадратом скорости потока и давлением. При более высоких скоростях потока в газах или для звук волн в жидкости, изменения массовой плотности становятся значительными, так что предположение о постоянной плотности неверно.

Упрощенная форма

Во многих приложениях уравнения Бернулли изменение ρgz член вдоль линии тока настолько мал по сравнению с другими членами, что его можно игнорировать. Например, в случае самолета в полете изменение высоты z вдоль линии тока настолько мал, что ρgz термин можно опустить. Это позволяет представить приведенное выше уравнение в следующей упрощенной форме:

${\displaystyle p+q=p_{0}}$

куда п₀ называется «полное давление», а q является "динамическое давление ".^[14] Многие авторы ссылаются на давление п в качестве статическое давление отличить его от общего давления п₀ и динамическое давление q. В АэродинамикаЛ.Дж. Клэнси пишет: «Чтобы отличить его от общего и динамического давлений, фактическое давление жидкости, которое связано не с ее движением, а с ее состоянием, часто называют статическим давлением, но здесь используется только термин« давление ». используется это относится к этому статическому давлению ".^{[1](§ 3.5)}

Упрощенную форму уравнения Бернулли можно резюмировать в следующем запоминающемся словесном уравнении:^{[1](§ 3.5)}

статическое давление + динамическое давление = общее давление

Каждая точка в устойчиво текущей жидкости, независимо от скорости жидкости в этой точке, имеет собственное уникальное статическое давление. п и динамическое давление q. Их сумма п + q определяется как полное давление п₀. Значение принципа Бернулли теперь можно резюмировать как «полное давление постоянно вдоль линии тока».

Если поток жидкости безвихревый, полное давление на каждой линии тока одинаково, и принцип Бернулли можно резюмировать как «полное давление постоянно в потоке жидкости».^{[1](Уравнение 3.12)} Разумно предположить, что безвихревое течение существует в любой ситуации, когда большое тело жидкости проходит мимо твердого тела. Примерами являются самолеты в полете и корабли, движущиеся в открытых водоемах. Однако важно помнить, что принцип Бернулли не применяется в пограничный слой или в потоке жидкости через длинные трубы.

Если поток жидкости в некоторой точке вдоль линии тока останавливается, эта точка называется точкой торможения, и в этой точке полное давление равно давление застоя.

Применимость уравнения потока несжимаемой жидкости к потоку газов

Уравнение Бернулли справедливо для идеальных жидкостей: несжимаемых, безвихревых, невязких и подверженных действию консервативных сил. Иногда это справедливо для потока газов: при условии, что нет передачи кинетической или потенциальной энергии от потока газа к сжатию или расширению газа. Если давление и объем газа изменяются одновременно, то работа будет выполняться на газе или им. В этом случае уравнение Бернулли - в форме несжимаемого потока - не может считаться действительным. Однако, если газовый процесс полностью изобарический, или же изохорный, то работа с газом не выполняется (поэтому простой энергетический баланс не нарушается). Согласно закону газа, изобарический или изохорный процесс обычно является единственным способом обеспечить постоянную плотность газа. Также плотность газа будет пропорциональна соотношению давления и абсолютного давления. температура Однако это соотношение будет меняться при сжатии или расширении, независимо от того, какое ненулевое количество тепла добавляется или удаляется. Единственное исключение - если чистая теплопередача равна нулю, как в полном термодинамическом цикле, или в индивидуальном изэнтропический (без трения адиабатический ), и даже в этом случае этот обратимый процесс необходимо обратить вспять, чтобы восстановить исходное давление и удельный объем газа, а значит, и плотность. Только тогда применимо исходное неизмененное уравнение Бернулли. В этом случае уравнение можно использовать, если скорость потока газа значительно ниже скорость звука, так что изменение плотности газа (из-за этого эффекта) вдоль каждого рационализировать можно игнорировать. Адиабатический поток при скорости менее 0,3 Маха обычно считается достаточно медленным.

Неустойчивый потенциальный поток

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального течения используется в теории океанские поверхностные волны и акустика.

Для безвихревой поток, то скорость потока можно описать как градиент ∇φ из потенциал скорости φ. В этом случае и при постоянном плотность ρ, то импульс уравнения Уравнения Эйлера может быть интегрирован в:^[2](p383)

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$

которое является уравнением Бернулли, справедливым также для нестационарных или зависящих от времени потоков. Здесь ∂φ/∂т обозначает частная производная потенциала скорости φ относительно времени т, и v = |∇φ| - скорость потока. ж(т) зависит только от времени, а не от положения в жидкости. В результате уравнение Бернулли в какой-то момент т применяется не только вдоль определенной линии тока, но и во всей области жидкости. Это также верно для частного случая стационарного безвихревого потока, когда ж и ∂φ/∂т являются константами, поэтому уравнение (А) может применяться в любой точке области жидкости.^[2](p383)

Дальше ж(т) можно сделать равным нулю, включив его в потенциал скорости с помощью преобразования

${\displaystyle \Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$

в результате чего

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.}$

Обратите внимание, что это преобразование не влияет на отношение потенциала к скорости потока: ∇Φ = ∇φ.

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока также играет центральную роль в Вариационный принцип Люка, вариационное описание течений со свободной поверхностью с помощью Лагранжиан (не путать с Лагранжевые координаты ).

Уравнение сжимаемого потока

Бернулли разработал свой принцип на основе наблюдений за жидкостями, и его уравнение применимо только к несжимаемым жидкостям и устойчивым сжимаемым жидкостям до приблизительно число Маха 0.3.^[15] Можно использовать фундаментальные принципы физики для разработки аналогичных уравнений, применимых к сжимаемым жидкостям. Существует множество уравнений, каждое из которых адаптировано для конкретного применения, но все они аналогичны уравнению Бернулли и полагаются ни на что, кроме фундаментальных принципов физики, таких как законы движения Ньютона или первый закон термодинамики.

Сжимаемый поток в гидродинамике

Для сжимаемой жидкости с баротропный уравнение состояния, а под действием консервативные силы,^[16]

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constant (along a streamline)}}}$

куда:

• п это давление
• ρ это плотность и ${\displaystyle \rho ({\tilde {p}})}$ указывает, что это функция давления
• ${\displaystyle v}$ это скорость потока
• Ψ - потенциал, связанный с консервативным силовым полем, часто гравитационный потенциал

В инженерных ситуациях возвышения обычно невелики по сравнению с размером Земли, а временные масштабы потока жидкости достаточно малы, чтобы рассматривать уравнение состояния как адиабатический. В этом случае приведенное выше уравнение для идеальный газ становится:^{[1](§ 3.11)}

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}}$

где, помимо перечисленных выше терминов:

• γ это соотношение удельных теплоемкостей жидкости
• грамм это ускорение свободного падения
• z высота точки над базовой плоскостью

Во многих приложениях сжимаемого потока изменения высоты незначительны по сравнению с другими терминами, поэтому термин gz можно не указывать. Тогда очень полезная форма уравнения:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}}$

куда:

• п₀ это полное давление
• ρ₀ общая плотность

Сжимаемый поток в термодинамике

Наиболее общая форма уравнения, подходящая для использования в термодинамике в случае (квази) установившегося потока, следующая:^{[2](§ 3.5)[17](§ 5)[18](§ 5.9)}

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.}$

Здесь ш это энтальпия на единицу массы (также известную как удельная энтальпия), которую также часто записывают как час (не путать с «головой» или «высотой»).

Обратите внимание, что ${\displaystyle w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }})}$ куда ${\displaystyle e}$ это термодинамический энергия на единицу массы, также известная как специфический внутренняя энергия. Итак, для постоянной внутренней энергии ${\displaystyle e}$ уравнение сводится к форме течения несжимаемой жидкости.

Константу в правой части часто называют постоянной Бернулли и обозначают б. Для устойчивой невязкой адиабатический поток без дополнительных источников или стоков энергии, б постоянна вдоль любой данной линии тока. В более общем плане, когда б может меняться по линиям тока, но это все же полезный параметр, связанный с «напором» жидкости (см. ниже).

Когда изменение Ψ можно проигнорировать, очень полезная форма этого уравнения:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}}$

куда ш₀ полная энтальпия. Для калорийно совершенного газа, такого как идеальный газ, энтальпия прямо пропорциональна температуре, и это приводит к понятию полной (или застойной) температуры.

Когда ударные волны присутствуют в система отсчета в котором скачок уплотнения является стационарным, а течение устойчивым, многие параметры в уравнении Бернулли претерпевают резкие изменения при прохождении через скачок уплотнения. Однако сам параметр Бернулли остается неизменным. Исключением из этого правила являются радиационные толчки, которые нарушают допущения, приводящие к уравнению Бернулли, а именно отсутствие дополнительных стоков или источников энергии.

Неустойчивый потенциальный поток

Для сжимаемой жидкости с баротропный уравнение состояния, нестационарное уравнение сохранения импульса

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}}$

С безвихревое допущение, а именно скорость потока можно описать как градиент ∇φ из потенциал скорости φ. Уравнение сохранения нестационарного импульса принимает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla ({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}})=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}}$

что приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}\\\end{aligned}}}$

В этом случае приведенное выше уравнение для изоэнтропического потока принимает следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\end{aligned}}}$

Вывод уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости может быть получено либо интеграция Второй закон движения Ньютона или применяя закон сохранение энергии между двумя участками вдоль линии тока, игнорируя вязкость, сжимаемость и тепловые эффекты. Вывод через интеграцию второго закона движения Ньютона Самый простой вывод - сначала игнорировать силу тяжести и учитывать сужения и расширения в трубах, которые в остальном прямые, как показано на Эффект Вентури. Пусть Икс ось должна быть направлена ​​вниз по оси трубы. Определите участок жидкости, движущийся по трубе с площадью поперечного сечения. А, длина посылки dИкс, а объем посылки А dИкс. Если плотность вещества является ρ, масса посылки - это плотность, умноженная на ее объем. м = ρA dИкс. Изменение давления на расстоянии dИкс является dп и скорость потока v = dИкс/dт. Подать заявление Второй закон движения Ньютона (сила = масса × ускорение) и признавая, что действующая сила на посылка с жидкостью является −А dп. Если давление снижается по длине трубы, dп отрицательна, но сила, приводящая к потоку, положительна вдоль Икс ось. ${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$ В установившемся потоке поле скорости постоянно во времени, v = v(Икс) = v(Икс(т)), так v сам по себе не является напрямую функцией времени т. Только когда посылка проходит Икс что площадь поперечного сечения изменяется: v зависит от т только через положение поперечного сечения Икс(т). ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$ С плотностью ρ константа, уравнение движения можно записать как ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$ интегрированием по Икс ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$ куда C является константой, которую иногда называют постоянной Бернулли. Это не универсальная постоянная, а скорее константа конкретной жидкостной системы. Вывод такой: там, где скорость большая, давление низкое и наоборот. В приведенном выше выводе не используется принцип внешней работы-энергии. Скорее, принцип Бернулли был получен путем простого изменения второго закона Ньютона. Трубка жидкости движется вправо. Указываются давление, высота, скорость потока, расстояние (s) и площадь поперечного сечения. Обратите внимание, что на этом рисунке отметка обозначена как час, в отличие от текста, где это дается z. Вывод с использованием сохранения энергии Другой способ вывести принцип Бернулли для несжимаемого потока - применить закон сохранения энергии.[19] В виде теорема об энергии работы, заявив, что[20] изменение кинетической энергии Eродня системы равняется чистой работе W сделано в системе; ${\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.}$ Следовательно, то работай сделано силы в жидкости равняется увеличению кинетическая энергия. Система состоит из объема жидкости, первоначально между поперечными сечениями А1 и А2. Во временном интервале Δт элементы жидкости первоначально в сечении притока А1 переместиться на расстояние s1 = v1 Δт, а в сечении истечения жидкость удаляется от сечения А2 на расстоянии s2 = v2 Δт. Объем вытесненной жидкости на входе и выходе равен соответственно А1s1 и А2s2. Связанные смещенные массы жидкости - когда ρ жидкость плотность вещества - равно плотности, умноженной на объем, поэтому ρA1s1 и ρA2s2. По закону сохранения массы эти две массы сместились за промежуток времени Δт должны быть равны, и эта смещенная масса обозначаетсяΔм: ${\displaystyle {\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}}$ Работа, выполняемая силами, состоит из двух частей: В работа сделана под давлением действуя на площадях А1 и А2 ${\displaystyle W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$ В работа, выполняемая силой тяжести: гравитационная потенциальная энергия в объеме А1s1 теряется, а при истечении в объеме А2s2 получается. Итак, изменение гравитационной потенциальной энергии ΔEгоршок, сила тяжести во временном интервале Δт является ${\displaystyle \Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.}$ Теперь работа под действием силы тяжести противоположна изменению потенциальной энергии, Wсила тяжести = −ΔEгоршок, сила тяжести: в то время как сила тяжести отрицательная z-направление, работа - сила тяжести, умноженная на изменение высоты - будет отрицательной для положительного изменения высоты Δz = z2 − z1, а соответствующее изменение потенциальной энергии положительно.[21](§14–3) Так: ${\displaystyle W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.}$ И поэтому общая работа, проделанная за этот промежуток времени Δт является ${\displaystyle W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.}$ В увеличение кинетической энергии является ${\displaystyle \Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.}$ Собирая их вместе, получаем теорему о работе кинетической энергии W = ΔEродня дает:[19] ${\displaystyle \Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}}$ или же ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$ После деления на массу Δм = ρA1v1 Δт = ρA2v2 Δт результат:[19] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$ или, как указано в первом абзаце: ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}=C}$   (Уравнение 1), Которое также является уравнением (A) Дальнейшее деление на грамм дает следующее уравнение. Обратите внимание, что каждый термин можно описать в длина размер (например, метры). Это уравнение головы, полученное из принципа Бернулли: ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+z+{\frac {p}{\rho g}}=C}$   (Уравнение 2a) Средний срок, z, представляет потенциальную энергию жидкости из-за ее возвышения относительно базовой плоскости. Сейчас же, z называется подъемным напором и имеет обозначение zвысота. А свободное падение масса с высоты z > 0 (в вакуум ) достигнет скорость ${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{z}}},}$ при достижении высоты z = 0. Или когда мы переставляем его как голова: ${\displaystyle h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}}$ В срок v^2/2грамм называется скорость голова, выраженное как измерение длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за ее движения. В гидростатическое давление п определяется как ${\displaystyle p=p_{0}-\rho gz,}$ с п0 какое-то эталонное давление, или когда мы переставляем его как голова: ${\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rho g}}.}$ Период, термин п/ρg также называется напор, выраженное как измерение длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за давления, оказываемого на контейнер. Когда мы объединяем напор из-за скорости потока и напор из-за статического давления с высотой над базовой плоскостью, мы получаем простое соотношение, полезное для несжимаемых жидкостей, используя скоростной напор, подъемный напор и напор. ${\displaystyle h_{v}+z_{\text{elevation}}+\psi =C}$   (Уравнение 2b) Если бы мы умножили уравнение 1 по плотности жидкости, мы получили бы уравнение с тремя членами давления: ${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gz+p=C}$   (Уравнение 3) Заметим, что в этой форме уравнения Бернулли давление системы постоянно. Если статическое давление системы (третий член) увеличивается, и если давление из-за возвышения (средний член) постоянно, то мы знаем, что динамическое давление (первый член) должно было уменьшиться. Другими словами, если скорость жидкости снижается, и это не связано с перепадом высот, мы знаем, что это должно быть связано с увеличением статического давления, которое препятствует потоку. Все три уравнения - это просто упрощенные версии баланса энергии в системе.

Уравнение Бернулли для сжимаемых жидкостей

Вывод для сжимаемых жидкостей аналогичен. Опять же, вывод зависит от (1) сохранения массы и (2) сохранения энергии. Сохранение массы означает, что на приведенном выше рисунке в интервале времени Δт, количество массы, проходящей через границу, определяемую областью А1 равно количеству массы, проходящей наружу через границу, определяемую областью А2: ${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$. Аналогичным образом применяется сохранение энергии: предполагается, что изменение энергии объема трубки тока, ограниченного А1 и А2 полностью происходит из-за того, что энергия входит или выходит через одну или другую из этих двух границ. Ясно, что в более сложной ситуации, такой как поток жидкости, связанный с излучением, такие условия не выполняются. Тем не менее, если предположить, что это так, и предположить, что поток является устойчивым, так что чистое изменение энергии равно нулю, ${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}}$ куда ΔE1 и ΔE2 энергия входит через А1 и уходя через А2, соответственно. Энергия, поступающая через А1 представляет собой сумму входящей кинетической энергии, входящей энергии в виде потенциальной гравитационной энергии жидкости, термодинамической внутренней энергии жидкости на единицу массы (ε1) входящей, а энергия поступающая в виде механической п dV работай: ${\displaystyle \Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t}$ куда Ψ = gz это силовой потенциал из-за Земное притяжение, грамм ускорение свободного падения, и z высота над базовой плоскостью. Аналогичное выражение для ΔE2 могут быть легко построены. 0 = ΔE1 - ΔE2: ${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\epsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t}$ который можно переписать как: ${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\epsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\epsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$ Теперь, используя ранее полученный результат сохранения массы, его можно упростить и получить ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\epsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b}$ которое является уравнением Бернулли для сжимаемого потока. Эквивалентное выражение можно записать через энтальпию жидкости (час): ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b}$

Приложения

Конденсат, видимый на верхней поверхности Airbus A340 крыло, вызванное падением температуры сопутствующий падение давления.

В современной повседневной жизни существует множество наблюдений, которые можно успешно объяснить с помощью принципа Бернулли, хотя ни одна настоящая жидкость не является полностью невязкой.^[22] и небольшая вязкость часто оказывает большое влияние на поток.

• Принцип Бернулли можно использовать для расчета подъемной силы на аэродинамическом профиле, если известно поведение потока жидкости в непосредственной близости от крыла. Например, если воздух, проходящий мимо верхней поверхности крыла самолета, движется быстрее, чем воздух, проходящий мимо нижней поверхности, то принцип Бернулли подразумевает, что давление на поверхностях крыла вверху будет ниже, чем внизу. Эта разница давлений приводит к увеличению подъемная сила.^[d][23] Если известно распределение скорости относительно верхней и нижней поверхностей крыла, подъемные силы могут быть рассчитаны (с хорошим приближением) с использованием уравнений Бернулли^[24] - установлен Бернулли за столетие до того, как первые искусственные крылья были использованы для полета. Принцип Бернулли не объясняет, почему воздух быстрее проходит через верхнюю часть крыла и медленнее проходит через нижнюю часть. См. Статью о аэродинамический подъемник для получения дополнительной информации.

• В карбюратор используется во многих поршневых двигателях, содержит Вентури для создания области низкого давления, чтобы втянуть топливо в карбюратор и тщательно перемешать его с поступающим воздухом. Низкое давление в горловине трубки Вентури можно объяснить принципом Бернулли; в узком горле воздух движется с максимальной скоростью и, следовательно, с минимальным давлением.
• An инжектор на паровозе (или статическом котле).
• В трубка Пито и статический порт на самолете используются для определения скорость полета самолета. Эти два устройства подключены к указатель воздушной скорости, что определяет динамическое давление воздушного потока мимо самолета. Динамическое давление - это разница между давление застоя и статическое давление. Принцип Бернулли используется для калибровки индикатора воздушной скорости, чтобы он отображал указанная воздушная скорость соответствует динамическому давлению.^{[1](§ 3.8)}
• А Сопло Де Лаваля использует принцип Бернулли для создания сила путем поворота энергии давления, генерируемой сгоранием пропелленты в скорость. Затем это создает тягу за счет Третий закон движения Ньютона.
• Скорость потока жидкости можно измерить с помощью такого устройства, как Измеритель Вентури или диафрагма, который может быть помещен в трубопровод для уменьшения диаметра потока. Для горизонтального устройства уравнение неразрывности показывает, что для несжимаемой жидкости уменьшение диаметра приведет к увеличению скорости потока жидкости. Впоследствии принцип Бернулли показывает, что должно происходить уменьшение давления в области уменьшенного диаметра. Это явление известно как Эффект Вентури.
• Максимально возможная скорость слива для резервуара с отверстием или краном в основании может быть рассчитана непосредственно из уравнения Бернулли, и оказывается, что он пропорционален квадратному корню из высоты жидкости в резервуаре. Это Закон Торричелли, показывая, что закон Торричелли совместим с принципом Бернулли. Вязкость снижает скорость слива. Это отражается в коэффициенте расхода, который является функцией числа Рейнольдса и формы отверстия.^[25]

• В Хват Бернулли основан на этом принципе для создания бесконтактной силы сцепления между поверхностью и захватом.
• Принцип Бернулли применим и к раскачиванию мяча для крикета. Во время матча по крикету боулеры постоянно полируют одну сторону мяча. Через некоторое время одна сторона становится довольно шероховатой, а другая все еще гладкой. Следовательно, когда мяч катится и проходит через воздух, скорость на одной стороне мяча выше, чем на другой, из-за этой разницы в гладкости, и это приводит к разнице давления между сторонами; это приводит к тому, что мяч вращается ("раскачивается") при движении по воздуху, что дает преимущество боулерам.

Недоразумения насчет генерации лифта

Основная статья: Подъем (сила)

Множество объяснений возникновения лифта (на профили, пропеллер лезвия и др.) можно найти; некоторые из этих объяснений могут вводить в заблуждение, а некоторые - ложны.^[26] Были споры о том, что лучше всего знакомить студентов с лифтом, используя принцип Бернулли или Законы движения Ньютона. Современные авторы согласны с тем, что и принцип Бернулли, и законы Ньютона имеют отношение к делу, и любой из них может использоваться для правильного описания подъемной силы.^[12][27][28]

Некоторые из этих объяснений используют принцип Бернулли, чтобы связать кинематику потока с давлением, создаваемым потоком. В случаях неправильные (или частично правильные) объяснения, основанные на принципе Бернулли, ошибки обычно возникают в предположениях о кинематике потока и способах их возникновения. Под сомнение ставится не сам принцип Бернулли, поскольку этот принцип хорошо известен (воздушный поток над крылом является быстрее, вопрос в том Почему это быстрее).^{[29][2](Разделы 3.5 и 5.1)[30](§17–§29)[31]}

Неправильное применение принципа Бернулли в демонстрациях в обычных классах

Есть несколько распространенных демонстраций в классе, которые иногда неправильно объясняются с помощью принципа Бернулли.^[32] Один из них заключается в том, чтобы держать лист бумаги горизонтально так, чтобы он опускался вниз, а затем дует над ним. Когда демонстратор дует над бумагой, бумага поднимается. Затем утверждается, что это происходит потому, что «быстрее движущийся воздух имеет более низкое давление».^[33][34][35]

Одну проблему с этим объяснением можно увидеть, дуя вдоль нижней части бумаги: если бы отклонение было вызвано просто более быстрым движением воздуха, можно было бы ожидать, что бумага отклонится вниз, но бумага отклоняется вверх независимо от того, находится ли более быстро движущийся воздух на сверху или снизу.^[36] Другая проблема состоит в том, что когда воздух выходит изо рта демонстранта, он одно и тоже давление как окружающий воздух;^[37] воздух не имеет более низкого давления только потому, что он движется; в демонстрации статическое давление воздуха, выходящего изо рта демонстратора, равно равный к давлению окружающего воздуха.^[38][39] Третья проблема заключается в том, что неверно устанавливать связь между потоками на двух сторонах листа, используя уравнение Бернулли, поскольку воздух сверху и снизу разные поля потока и принцип Бернулли применим только в пределах поля потока.^{[40][41][42][43]}

Поскольку формулировка принципа может изменить его значение, важно правильно сформулировать принцип.^[44] Фактически принцип Бернулли говорит о том, что в потоке постоянной энергии, когда жидкость протекает через область более низкого давления, она ускоряется, и наоборот.^[45] Таким образом, принцип Бернулли касается изменения в скорости и изменения под давлением в поле течения. Его нельзя использовать для сравнения различных полей потока.

Правильное объяснение того, почему бумага поднимается вверх, означает, что шлейф следует изгибу бумаги, и что изогнутая линия тока будет создавать градиент давления, перпендикулярный направлению потока, с более низким давлением на внутренней стороне кривой.^{[46][47][48][49]} Принцип Бернулли предсказывает, что уменьшение давления связано с увеличением скорости, то есть, когда воздух проходит над бумагой, он ускоряется и движется быстрее, чем он двигался, когда он покидал пасть демонстранта. Но из демонстрации этого не видно.^[50][51][52]

Другие распространенные демонстрации в классе, такие как дуновение между двумя подвешенными сферами, надувание большого мешка или подвешивание мяча в воздушном потоке, иногда объясняются аналогичным образом неверно, говоря, что «быстрее движущийся воздух имеет более низкое давление».^{[53][54][55][56][57][58][59]}

Смотрите также

• Даниэль Бернулли
• Эффект Коанды
• Уравнения Эйлера - для потока невязкий жидкость
• Гидравлика - прикладная гидромеханика жидкостей
• Уравнения Навье – Стокса - для потока вязкий жидкость
• Терминология в гидродинамике
• Закон Торричелли - частный случай принципа Бернулли
• Эффект Вентури

Примечания

1. Если частица находится в области переменного давления (ненулевой градиент давления в Икс-направление) и если частица имеет конечный размер л, то передняя часть частицы будет «видеть» другое давление сзади. Точнее, если давление падает в Икс-направление (dп/dИкс < 0) давление сзади выше, чем спереди, и на частицу действует (положительная) результирующая сила. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает ускорение, и скорость частицы увеличивается по мере ее движения вдоль линии тока ... Уравнение Бернулли описывает это математически (см. Полный вывод в приложении).^[7]
2. Ускорение воздуха вызвано градиентами давления. Воздух ускоряется в направлении скорости, если давление падает. Таким образом, уменьшение давления является причиной более высокой скорости.^[8]
3. Идея состоит в том, что по мере того, как посылка движется по линии обтекания, когда она движется в область с более высоким давлением, впереди будет более высокое давление (выше, чем давление сзади), и это будет оказывать на посылку силу, замедляя ее. И наоборот, если посылка движется в область более низкого давления, за ней будет более высокое давление (выше, чем давление впереди), что ускоряет ее. Как всегда, любая неуравновешенная сила вызовет изменение количества движения (и скорости), как того требуют законы движения Ньютона.^[9]
4. «Когда поток воздуха проходит мимо аэродинамического профиля, происходят локальные изменения скорости вокруг аэродинамического профиля и, как следствие, изменения статического давления в соответствии с теоремой Бернулли. Распределение давления определяет подъемную силу, момент тангажа и сопротивление формы аэродинамического профиля. , и положение его центра давления ".^{[1](§ 5.5)}

Рекомендации

1. Клэнси, Л.Дж. (1975). Аэродинамика. Вайли. ISBN  978-0-470-15837-1.
2. Бэтчелор, Г. (2000). Введение в динамику жидкости. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66396-0.
3. «Гидродинамика». Британская онлайн-энциклопедия. Получено 2008-10-30.
4. Андерсон, Дж. (2016), «Некоторые размышления об истории гидродинамики», в Джонсоне, Р.В. (ред.), Справочник по гидродинамике (2-е изд.), CRC Press, ISBN  9781439849576
5. Darrigol, O .; Фриш, У. (2008), "От механики Ньютона к уравнениям Эйлера", Physica D: нелинейные явления, 237 (14–17): 1855–1869, Bibcode:2008PhyD..237.1855D, Дои:10.1016 / j.physd.2007.08.003
6. Стритер, Виктор Лайл (1966). Гидравлическая механика. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
7. Бабинский, Хольгер (ноябрь 2003 г.), «Как работают крылья?», Физическое образование, 38 (6): 497–503, Bibcode:2003PhyEd..38..497B, Дои:10.1088/0031-9120/38/6/001
8. "Вельтнер, Клаус; Ингельман-Сундберг, Мартин, Ошибочные толкования закона Бернулли, заархивировано из оригинал 29 апреля 2009 г.
9. Денкер, Джон С. (2005). «3 аэродинамических профиля и воздушный поток». Посмотрите, как он летает. Получено 2018-07-27.
10. Резник, Р. и Холлидей, Д. (1960), раздел 18-4, Физика, John Wiley & Sons, Inc.
11. Малли, Раймонд (2004). Поток промышленных жидкостей: теория и уравнения. CRC Press. С. 43–44. ISBN  978-0-8493-2767-4.
12. Шансон, Юбер (2004). Гидравлика потока в открытом канале. Эльзевир. п. 22. ISBN  978-0-08-047297-3.
13. Эртель, Герберт; Прандтль, Людвиг; Böhle, M .; Мэйс, Кэтрин (2004). Основы механики жидкости Прандтля. Springer. С. 70–71. ISBN  978-0-387-40437-0.
14. «Уравнение Бернулли». НАСА Исследовательский центр Гленна. Получено 2009-03-04.
15. Уайт, Фрэнк М. Механика жидкости, 6 изд. Международное издание McGraw-Hill. п. 602.
16. Кларк, Кэти; Карсвелл, Боб (2007). Принципы астрофизической гидродинамики. Издательство Кембриджского университета. п. 161. ISBN  978-1-139-46223-5.
17. Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1987). Механика жидкости. Курс теоретической физики (2-е изд.). Pergamon Press. ISBN  978-0-7506-2767-2.
18. Ван Уилен, Гордон Дж.; Зоннтаг, Ричард Э. (1965). Основы классической термодинамики. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
19. Фейнман, Р.; Лейтон, Р.; Сэндс, М. (1963). Лекции Фейнмана по физике. Vol. 2. ISBN  978-0-201-02116-5.^(§40–3)
20. Типлер, Пол (1991). Физика для ученых и инженеров: механика (3-е расширенное изд.). В. Х. Фриман. ISBN  978-0-87901-432-2., п. 138.
21. Фейнман, Р.; Лейтон, Р.; Сэндс, М. (1963). Лекции Фейнмана по физике. Vol. 1. ISBN  978-0-201-02116-5.
22. Томас, Джон Э. (май 2010 г.). «Почти идеальный ферми-газ» (PDF). Физика сегодня. 63 (5): 34–37. Bibcode:2010ФТ .... 63э..34Т. Дои:10.1063/1.3431329.
23. Резник, Р. и Холлидей, Д. (1960), Физика, Раздел 18–5, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк ("Линии обтекаемости расположены ближе друг к другу над крылом, чем под крылом, так что принцип Бернулли предсказывает наблюдаемую восходящую динамическую подъемную силу. ")
24. Истлейк, Чарльз Н. (март 2002 г.). "Взгляд аэродинамика на лифт, Бернулли и Ньютон" (PDF). Учитель физики. 40 (3): 166–173. Bibcode:2002PhTea..40..166E. Дои:10.1119/1.1466553. «Результирующая сила определяется путем интегрирования распределения поверхностного давления по площади поверхности профиля».
25. Справочное руководство по машиностроению Девятое издание
26. Исследовательский центр Гленна (15 марта 2006 г.). «Неправильная теория лифта». НАСА. Получено 2010-08-12.
27. "Ньютон против Бернулли".
28. Изон, Дэвид (1 июля 2006 г.). "Бернулли или Ньютон: кто прав насчет подъемной силы?". Журнал Plane & Pilot. Получено 2018-07-27.
29. Филлипс, О. (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29801-8. Раздел 2.4.
30. Лэмб, Х. (1993) [1879]. Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-45868-9.
31. Вельтнер, Клаус; Ингельман-Сундберг, Мартин. «Физика полета - обзор». "Традиционное объяснение аэродинамической подъемной силы, основанное на законе Бернулли и разнице скоростей, смешано. причина и эффект. Более быстрый поток в верхней части крыла является следствием низкого давления, а не его причиной ».
32. «Закон Бернулли и приписываемые ему эксперименты завораживают. К сожалению, некоторые из этих экспериментов объясняются ошибочно ...» Вельтнер, Клаус; Ингельман-Сундберг, Мартин. «Неправильная интерпретация закона Бернулли». Физический факультет Франкфуртского университета. Архивировано из оригинал 21 июня 2012 г.. Получено 25 июня, 2012.
33. «Это происходит из-за принципа Бернулли - у быстро движущегося воздуха давление ниже, чем у неподвижного». Сделать журнал http://makeprojects.com/Project/Origami-Flying-Disk/327/1 В архиве 2013-01-03 в Archive.today
34. «Быстрее движущаяся жидкость, меньшее давление ... Когда демонстрант держит бумагу перед своим ртом и дует через верх, он создает область более быстро движущегося воздуха». Школа физики и астрономии Университета Миннесоты http://www.physics.umn.edu/outreach/pforce/circus/Bernoulli.html В архиве 2012-03-10 на Wayback Machine
35. «Принцип Бернулли гласит, что более быстро движущийся воздух имеет более низкое давление ...Вы можете продемонстрировать принцип Бернулли, продув лист бумаги, который вы держите горизонтально над своими губами ". «Образовательный пакет» (PDF). Фестиваль высоких кораблей - Гавань Нормандских островов. Архивировано из оригинал (PDF) 3 декабря 2013 г.. Получено 25 июня, 2012.
36. «Если подъем на рисунке A был вызван« принципом Бернулли », тогда бумага на рисунке B должна опускаться дальше, когда под ним выдувается воздух. Однако, как показано, он увеличивается, когда восходящий градиент давления в потоке, изгибающемся вниз, складывается с атмосферное давление на нижней поверхности бумаги ». Крейг, Гейл М. «Физические принципы крылатого полета». Получено 31 марта, 2016.
37. «Фактически, давление воздуха, выдуваемого из легких, равно давлению окружающего воздуха ...» Бабинский http://iopscience.iop.org/0031-9120/38/6/001/pdf/pe3_6_001.pdf
38. Иствелл, Питер (2007). «Бернулли? Возможно, но как насчет вязкости?» (PDF). Обзор естественнонаучного образования. 6 (1). ... воздух не имеет пониженного бокового давления (или статического давления ...) просто потому, что он движется, статическое давление свободного воздуха не уменьшается по мере увеличения скорости воздуха, это неверное понимание принципа Бернулли, предполагающего что это именно то, что он говорит нам, и поведение изогнутой бумаги объясняется другими рассуждениями, чем принцип Бернулли.
39. «Сделайте полоску писчей бумаги размером примерно 5 см х 25 см. Держите ее перед губами так, чтобы она свешивалась и опускалась, образуя выпуклую восходящую поверхность. Когда вы дуете через верхнюю часть бумаги, она поднимается вверх. Многие книги приписывают Это приводит к снижению давления воздуха наверху исключительно к эффекту Бернулли. Теперь используйте пальцы, чтобы сформировать из бумаги кривую, слегка вогнутую вверх по всей ее длине, и снова дуйте вдоль верхней части этой полосы. Теперь бумага наклоняется вниз ... часто цитируемый эксперимент, который обычно рассматривается как демонстрация общего объяснения подъемной силы, этого не делает ... "Джеф Раскин Эффект Коанды: понимание того, почему работают крылья http://karmak.org/archive/2003/02/coanda_effect.html
40. "Дувание листа бумаги не демонстрирует уравнение Бернулли. Хотя верно, что изогнутая бумага поднимается, когда поток подается с одной стороны, это происходит не потому, что воздух движется с разной скоростью с двух сторон ... Неверно устанавливать связь между потоками на двух сторонах листа, используя уравнение Бернулли."Хольгер Бабинский Как работают крылья Физическое образование 38 (6) http://iopscience.iop.org/0031-9120/38/6/001/pdf/pe3_6_001.pdf
41. Иствелл, Питер (2007). «Бернулли? Возможно, но как насчет вязкости?» (PDF). Обзор естественнонаучного образования. 6 (1). Объяснение, основанное на принципе Бернулли, неприменимо к этой ситуации, потому что этот принцип ничего не говорит о взаимодействии воздушных масс, имеющих разные скорости ... Кроме того, хотя принцип Бернулли позволяет нам сравнивать скорости и давления жидкости вдоль одной линии тока и ... вдоль двух разных линий тока, которые возникают в идентичных условиях жидкости, использование принципа Бернулли для сравнения воздуха над и под изогнутой бумагой на Рисунке 1 бессмысленно; в этом случае под бумагой вообще нет никаких линий!
42. "Хорошо известная демонстрация феномена подъема посредством подъема страницы, закрепленной в руке, путем горизонтального дуновения вдоль нее, вероятно, является скорее демонстрацией сил, присущих эффекту Коанды, чем демонстрацией закона Бернулли, ибо здесь воздушная струя выходит изо рта и прикрепляется к изогнутой (и в данном случае податливой) поверхности. Верхний край представляет собой сложный нагруженный вихрями слой смешения, а дальний поток неподвижен, так что закон Бернулли вряд ли применим ». Давид Ауэрбах Почему летают самолеты Европейский журнал физики, том 21, стр. 295 http://iopscience.iop.org/0143-0807/21/4/302/pdf/0143-0807_21_4_302.pdf
43. «Миллионы детей на уроках естествознания просят подуть на изогнутые листы бумаги и наблюдать, как бумага« поднимается »... Затем их просят поверить в то, что виновата теорема Бернулли ... К сожалению, задействован« динамический подъем ». ... не объясняется должным образом теоремой Бернулли ". Норман Ф. Смит "Бернулли и Ньютон в механике жидкости" Учитель физики, ноябрь 1972 г.
44. «Принцип Бернулли очень легко понять, если он сформулирован правильно. Однако мы должны быть осторожны, потому что кажущиеся незначительными изменения в формулировках могут привести к совершенно неверным выводам». Посмотрите, как он летает Джон С. Денкер http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html#sec-bernoulli
45. «Полная формулировка теоремы Бернулли выглядит следующим образом:« В потоке, в котором энергия не добавляется и не забирается, сумма его различных энергий является постоянной: следовательно, при увеличении скорости давление уменьшается, и наоборот ».« Норманн. Ф. Смит Бернулли, Ньютон и динамический подъем, часть I Школьные науки и математика Том 73 Выпуск 3 http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x/pdf
46. «... если линия тока изогнута, должен быть градиент давления поперек линии тока, при этом давление увеличивается в направлении от центра кривизны». Бабинский http://iopscience.iop.org/0031-9120/38/6/001/pdf/pe3_6_001.pdf
47. «Изогнутая бумага поворачивает поток воздуха вниз, и это действие вызывает подъемную реакцию, которая поднимает бумагу». Норман Ф. Смит Бернулли, Ньютон и динамический подъем, часть II Школьные науки и математика, том 73, выпуск 4, стр. 333 http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x/pdf
48. «Изогнутая поверхность язычка создает неравное давление воздуха и подъемное действие. ... Подъем создается за счет движения воздуха по изогнутой поверхности». АЭРОНАВТИКА Руководство для преподавателя, посвященное занятиям в области естественных наук, математики и технологий от НАСА стр. 26 http://www.nasa.gov/pdf/58152main_Aeronautics.Educator.pdf
49. «Вязкость заставляет дыхание следовать по искривленной поверхности, первый закон Ньютона гласит, что на воздух действует сила, а третий закон Ньютона говорит, что на бумагу действует равная и противоположная сила. Передача импульса поднимает полоску. Снижение давления, действующего на бумагу. верхняя поверхность листа бумаги заставляет бумагу подниматься ". Ньютоновское описание подъема крыла. Дэвид Ф. Андерсон & Скотт Эберхардт стр.12 http://www.integener.com/IE110522Anderson&EberhardtPaperOnLift0902.pdf
50. «Демонстрации» принципа Бернулли часто приводятся как демонстрация физики подъемной силы. Они действительно демонстрируют подъемную силу, но никак не принцип Бернулли ». Дэвид Ф. Андерсон и Скотт Эберхардт Понимание полета стр. 229 https://books.google.com/books?id=52Hfn7uEGSoC&pg=PA229
51. «В качестве примера возьмем вводящий в заблуждение эксперимент, который чаще всего используется для« демонстрации »принципа Бернулли. Держите лист бумаги так, чтобы он изгибался над вашим пальцем, а затем подуйте через верх. Бумага поднимется. Однако большинство людей этого не осознают. бумага будет нет подняться, если он был плоским, даже если вы с бешеной скоростью обдуваете его верхушкой. Принцип Бернулли в данном случае не применим напрямую. Это потому, что воздух на двух сторонах бумаги не исходил из одного и того же источника. Воздух внизу - это окружающий воздух из комнаты, но воздух вверху идет из вашего рта, где вы фактически увеличили его скорость, не уменьшая его давление, вытесняя его изо рта. В результате воздух на обеих сторонах плоской бумаги фактически имеет одинаковое давление, хотя воздух наверху движется быстрее. Причина того, что изогнутый лист бумаги действительно поднимается, заключается в том, что воздух из вашего рта ускоряется еще больше, поскольку он следует изгибу бумаги, что, в свою очередь, снижает давление, согласно Бернулли. "Из файла по аэронавтике, Макс Фейл https://www.mat.uc.pt/~pedro/ncientificos/artigos/aeronauticsfile1.ps В архиве 17 мая 2015 г. Wayback Machine
52. Некоторые люди дуют над листом бумаги, чтобы продемонстрировать, что ускоренный поток воздуха над листом приводит к более низкому давлению. Они ошибаются в своем объяснении. Лист бумаги поднимается вверх, потому что он отклоняет воздух из-за эффекта Коанда, и это прогиб является причиной силы, поднимающей лист.Чтобы доказать, что они ошибочны, я использую следующий эксперимент: если лист бумаги предварительно согнуть в другую сторону, сначала свернув его, и если вы дунете через него, он опускается. Это потому, что воздух отклоняется в другую сторону. Скорость воздуха над листом все еще выше, поэтому это не вызывает более низкого давления ». Пим Гёртс. sailtheory.com http://www.sailtheory.com/experiments.html В архиве 2016-03-03 в Wayback Machine
53. «Наконец, давайте вернемся к первоначальному примеру шара, левитирующего в воздушной струе. Наивное объяснение устойчивости мяча в воздушном потоке,« потому что давление в струе ниже, чем давление в окружающей атмосфере ». явно неверно. Статическое давление в воздушной струе такое же, как давление в окружающей атмосфере ... »Мартин Камела Размышляя о Бернулли Учитель физики Том. 45, сентябрь 2007 г. [1]
54. «Асимметричный поток (не теорема Бернулли) также объясняет подъем мяча для пинг-понга или пляжного мяча, который таинственным образом плавает в наклонной выхлопной трубе пылесоса ...» Норман Ф. Смит, Бернулли и Ньютон в механике жидкости "Учитель физики, ноябрь 1972 г., стр. 455
55. «Теорема Бернулли часто затушевывается демонстрациями с участием не бернуллиевских сил. Например, шар может поддерживаться на восходящей струе воздуха или воды, потому что любая жидкость (воздух и вода) имеет вязкость, которая замедляет проскальзывание одной части. жидкости, движущейся мимо другой части жидкости ". Бауман, Роберт П. "Загадка Бернулли" (PDF). Почетный профессор физики Алабамского университета в Бирмингеме. Архивировано из оригинал (PDF) 25 февраля 2012 г.. Получено 25 июня, 2012.
56. «В демонстрации, иногда ошибочно описываемой как показ подъемной силы из-за снижения давления в движущемся воздухе или снижения давления из-за ограничения пути потока, шар или воздушный шар подвешивается струей воздуха». Крейг, Гейл М. «Физические принципы крылатого полета». Получено 31 марта, 2016.
57. «Второй пример - это удержание мяча для настольного тенниса в вертикальном выхлопе фена. Нам говорят, что это демонстрация принципа Бернулли. Но теперь мы знаем, что выхлоп не имеет более низкого значения ps . Опять же, именно передача импульса удерживает мяч в воздушном потоке. Когда мяч приближается к краю выхлопной трубы, вокруг него возникает асимметричный поток, который отталкивает его от края потока. То же самое верно, когда один бьет между двумя шариками для пинг-понга, висящими на веревочках ". Андерсон и Эберхардт Ньютоновское описание подъемной силы на крыле http://lss.fnal.gov/archive/2001/pub/Pub-01-036-E.pdf
58. «Эта демонстрация часто неправильно объясняется с использованием принципа Бернулли. Согласно НЕПРАВИЛЬНОМУ объяснению, поток воздуха быстрее в области между листами, таким образом создавая более низкое давление по сравнению со спокойным воздухом на внешней стороне листов». «Тонкие металлические листы - эффект Коанда». Университет Мэриленда - Лекционно-демонстрационный центр по физике. Архивировано из оригинал 23 июня 2012 г.. Получено 23 октября, 2012.
59. «Хотя эффект Бернулли часто используется для объяснения этой демонстрации, и один производитель продает материал для этой демонстрации как« мешки Бернулли », он не может быть объяснен эффектом Бернулли, а скорее процессом увлечения». «Ответ №256». Университет Мэриленда - Лекционно-демонстрационный центр по физике. Архивировано из оригинал 13 декабря 2014 г.. Получено 9 декабря, 2014.

внешняя ссылка

• Калькулятор уравнения Бернулли
• Денверский университет - уравнение Бернулли и измерение давления
• Университет Миллерсвилля - Приложения уравнения Эйлера
• НАСА - Руководство по аэродинамике для новичков
• Неправильная интерпретация уравнения Бернулли - Вельтнер и Ингельман-Сундберг