Закон Торричеллиса - Torricellis law

Закон Торричелли описывает скорость разделения струи воды, основанную на расстоянии ниже поверхности, на котором начинается струя, при условии отсутствия сопротивления воздуха, вязкости или других препятствий потоку жидкости. На этой схеме показано несколько таких форсунок, выровненных по вертикали, выходящих из резервуара горизонтально. В этом случае струи имеют конверт (концепция также принадлежит Торричелли), которая представляет собой линию, спускающуюся под 45 ° от поверхности воды над соплами. Каждая струя достигает большего, чем любая другая струя, в точке, где она касается оболочки, которая находится на двойной глубине источника струи. Глубина, на которой пересекаются две струи, равна сумме глубин их источников. Каждая струя (даже если не выходит горизонтально) занимает параболический путь, директрисой которого является поверхность воды.

Закон Торричелли, также известный как Теорема Торричелли, является теоремой в динамика жидкостей соотнесение скорости потока жидкости из отверстия с высотой жидкости над отверстием. Закон гласит, что скорость v истечения жидкости через отверстие с острыми краями на дне резервуара, заполненного на глубину час такая же, как скорость, которую тело (в данном случае капля воды) приобретет при свободном падении с высоты час, т.е. ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$, куда грамм ускорение свободного падения (9,81 м / с² у поверхности Земли). Это выражение происходит от приравнивания полученной кинетической энергии к ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$, с потерей потенциальной энергии, mgh, и решение для v. Закон был открыт (правда, не в такой форме) итальянским ученым. Евангелиста Торричелли, в 1643 году. Позже было показано, что это частный случай Принцип Бернулли.

Вывод

Согласно предположениям несжимаемый жидкость с незначительным вязкость, Принцип Бернулли утверждает, что

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gy+{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}},}$

куда ${\displaystyle v}$ скорость жидкости, ${\displaystyle g}$ - ускорение свободного падения (около 9,81 РС² на поверхности Земли), ${\displaystyle y}$ высота над некоторой контрольной точкой, ${\displaystyle p}$ давление, а ${\displaystyle \rho }$ это плотность. Таким образом, для любых двух точек жидкости

${\displaystyle {\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+g_{1}y_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}+g_{2}y_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}.}$

Первую точку можно взять на поверхности жидкости, а вторую - сразу за пределами отверстия. Поскольку жидкость считается несжимаемой, ${\displaystyle \rho _{1}}$ равно ${\displaystyle \rho _{2}}$; оба могут быть представлены одним символом ${\displaystyle \rho }$. Кроме того, когда отверстие очень мало по сравнению с горизонтальным поперечным сечением контейнера, скорость поверхности считается незначительной (${\displaystyle v_{1}=0}$). ${\displaystyle g}$ считается практически одинаковым в обеих точках, поэтому ${\displaystyle g_{1}=g_{2}=g}$.

${\displaystyle gy_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}+gy_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$

${\displaystyle \Rightarrow v_{2}={\sqrt {2g(y_{1}-y_{2})+2(p_{1}-p_{2})/\rho }}.}$

${\displaystyle y_{1}-y_{2}}$ равна высоте ${\displaystyle h}$ поверхности жидкости над отверстием. ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ как правило, оба атмосферного давления, поэтому ${\displaystyle p_{1}=p_{2}\Rightarrow p_{1}-p_{2}=0}$.

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {2gh}}.}$

Экспериментальные доказательства

Закон Торричелли можно продемонстрировать в эксперименте с изливом, который призван показать, что жидкость с открытой поверхностью, давление увеличивается с глубиной. Он состоит из трубки с тремя отдельными отверстиями и открытой поверхностью. Три отверстия перекрываются, затем трубка наполняется водой. Когда он заполнен, отверстия разблокируются. Чем ниже на трубке струя, тем она мощнее. Скорость выхода жидкости выше по трубке.^[1]

Если не учитывать вязкость и другие потери, если сопла направлены вертикально вверх, то каждая струя будет достигать высоты поверхности жидкости в контейнере.

Горизонтальное расстояние, преодолеваемое струей жидкости

Если час высота отверстия и ЧАС - высота столба жидкости, можно легко определить расстояние по горизонтали, которое струя жидкости преодолевает до того же уровня, что и основание столба жидкости.

Используя уравнение кинематики и рассмотрите точку вне контейнера, закрытую для отверстия, см. (вена контракта )

у = расстояние по вертикали, пройденное частицей потока = час,

${\displaystyle y=gt^{2}/2\Rightarrow t={\sqrt {2h/g}}.}$

Скорость струи × время, затраченное струей на падение ЧАС единицы:

${\displaystyle vt={\sqrt {2g(H-h)}}{\sqrt {2h/g}},}$

${\displaystyle D(h)=2{\sqrt {h(H-h)}},}$

куда D - это диапазон расхода и расстояния в горизонтальном направлении.

путем оптимизации

${\displaystyle v'(h)=(2/{\sqrt {h(H-h)}})*(H-2h)\Rightarrow v'=0\Rightarrow H=2h\Rightarrow h=H/2}$

подключите H / 2 в D (h), чтобы получить максимальный диапазон

максимальный диапазон = H

Общее время для опорожнения контейнера

Рассмотрим цилиндрический контейнер, содержащий воду на высоту h, который свободно опорожняется через трубку. Пусть h будет высотой воды в любой момент. Пусть скорость истечения равна ${\displaystyle v={dx \over dt}={\sqrt {2gh}}\ }$

За счет сохранения массы (в предположении несжимаемого потока), ${\displaystyle A\,dh=-a\,dx}$ куда А и а - поперечные сечения емкости и трубки соответственно, dh высота жидкости в контейнере, соответствующая dx в трубке, которая уменьшается одновременно dt:

${\displaystyle {dx}=-{A\,dh \over \ a}}$

${\displaystyle {dx \over dt}=-{A\,dh \over \ a\,dt}={\sqrt {2gh}}}$

${\displaystyle \Rightarrow -{A\,dh \over \ a{\sqrt {2gh}}}=dt}$

${\displaystyle \Rightarrow -{A \over \ a{\sqrt {2g}}}\int _{h_{1}}^{h_{2}}{\frac {dh}{\sqrt {h}}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ dt}$

${\displaystyle \Rightarrow {2A \over \ a{\sqrt {2g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})=t_{2}-t_{1}=\Delta t}$

${\displaystyle \Rightarrow \Delta t={2A \over \ a{\sqrt {2g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})}$

время, необходимое для слива воды с высоты час₁ к час₂ в контейнере, где час₁ > час₂. Эту формулу можно использовать для калибровки водяных часов. Чтобы контейнер был полностью опорожнен, ${\displaystyle h_{2}}$ установлен на 0:

${\displaystyle \Delta t={2A \over \ a{\sqrt {2g}}}{\sqrt {h_{1}}}}$

Коэффициент разряда

Если сравнить теоретические прогнозы процесса слива резервуара с реальными измерениями, в некоторых случаях можно обнаружить очень большие различия. На самом деле бак обычно опорожняется намного медленнее. Чтобы получить лучшее приближение к фактически измеренному объемному расходу, на практике используется коэффициент расхода:

${\displaystyle {\displaystyle {\dot {V}}_{\text{real}}=\mu \cdot {\dot {V}}_{\text{ideal}}}}$

Коэффициент расхода учитывает как уменьшение скорости истечения из-за вязкого поведения жидкости («коэффициент скорости»), так и уменьшение эффективного поперечного сечения оттока из-за контракта вены («коэффициент сжатия» ). Для жидкостей с низкой вязкостью (например, воды), вытекающих из круглого отверстия в резервуаре, коэффициент расхода составляет порядка 0,65.^[2]. При использовании круглых патрубков коэффициент расхода можно увеличить до более 0,9. Для прямоугольных отверстий коэффициент расхода может достигать 0,67 в зависимости от соотношения высоты и ширины.

Проблема клепсидры

Приливная клепсидра

А клепсидра это часы, которые измеряют время по потоку воды. Он представляет собой горшок с небольшим отверстием на дне, через которое может выходить вода. Количество вытекающей воды является мерой времени. Согласно закону Торричелли, скорость истечения через отверстие зависит от высоты воды; и по мере того, как уровень воды уменьшается, расход не является равномерным. Простое решение - поддерживать постоянную высоту воды. Этого можно достичь, пропуская в сосуд постоянный поток воды, который может выходить сверху через другое отверстие. Таким образом, имея постоянную высоту, вода, сбрасываемая снизу, может быть собрана в другой цилиндрический сосуд с равномерной шкалой для измерения времени. Это приливная клепсидра.

В качестве альтернативы, путем тщательного выбора формы сосуда уровень воды в сосуде может снижаться с постоянной скоростью. Измеряя уровень воды, оставшейся в емкости, можно измерить время с равномерной шкалой. Это пример оттока клепсидры. Поскольку скорость истечения воды выше, когда уровень воды выше (из-за большего давления), объем жидкости должен быть больше, чем простой цилиндр, когда уровень воды высокий. То есть радиус должен быть больше, когда уровень воды выше. Пусть радиус ${\displaystyle r}$ увеличивается с высотой уровня воды ${\displaystyle h}$ над выходным отверстием области ${\displaystyle a.}$ То есть, ${\displaystyle r=f(h)}$. Мы хотим найти такой радиус, чтобы уровень воды имел постоянную скорость понижения, т.е. ${\displaystyle dh/dt=c}$.

При заданном уровне воды ${\displaystyle h}$, площадь водной поверхности равна ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$. Мгновенная скорость изменения объема воды составляет

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pi r^{2}c.}$

По закону Торричелли скорость оттока равна

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=av=a{\sqrt {2gh}},}$

Из этих двух уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\Rightarrow \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2ga^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}}$

Таким образом, радиус контейнера должен изменяться пропорционально корню четвертой степени из его высоты, ${\displaystyle r\propto {\sqrt[{4}]{h}}.}$

Смотрите также

• Закон Дарси
• Динамическое давление
• Статика жидкости
• Уравнение Хагена – Пуазейля
• Теоремы Гельмгольца
• Уравнения Кирхгофа
• Уравнение Кнудсена
• Уравнение Мэннинга
• Уравнение с умеренным наклоном
• Уравнение Морисона
• Уравнения Навье – Стокса
• Осеен поток
• Закон паскаля
• Закон Пуазейля
• Потенциальный поток
• Давление
• Статическое давление
• Напор
• Релятивистские уравнения Эйлера
• Разложение Рейнольдса
• Стокса поток
• Функция потока Стокса
• Функция потока
• Линии обтекания, полосы и траектории

Рекомендации

1. Расход жидкости в изливном цилиндре.
2. tec-science (21.11.2019). «Слив жидкости (закон Торричелли)». наука. Получено 2019-12-08.

дальнейшее чтение

• Т. Э. Фабер (1995). Гидродинамика для физиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-42969-6.
• Стэнли Миддлмен, Введение в динамику жидкости: принципы анализа и проектирования (Джон Уайли и сыновья, 1997) ISBN  978-0-471-18209-2
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений. Cengage Learning. ISBN  978-0-495-10824-5.