Теоремы Гельмгольца - Helmholtzs theorems

Для использования в других целях см. Теорема Гельмгольца (значения).

В механика жидкости, Теоремы Гельмгольца, названный в честь Герман фон Гельмгольц, описывают трехмерное движение жидкости в окрестности вихрь нити. Эти теоремы применимы к невязкие потоки и потоки, где влияние вязкие силы маленькие и их можно игнорировать.

Три теоремы Гельмгольца следующие:^[1]

Первая теорема Гельмгольца

Сила вихревой нити постоянна по ее длине.

Вторая теорема Гельмгольца

Вихревая нить не может заканчиваться в жидкости; он должен доходить до границ жидкости или образовывать замкнутый путь.

Третья теорема Гельмгольца

В отсутствие вращающих внешних сил жидкость, которая изначально является безвихревой, остается безвихревой.

Теоремы Гельмгольца применимы к невязким потокам. При наблюдении вихрей в реальных жидкостях сила вихрей всегда постепенно спадает из-за диссипативного эффекта вязкие силы.

Альтернативные выражения трех теорем следующие:
1. Сила вихревой трубки не меняется со временем.^[2]
2. Элементы жидкости, лежащие на вихревой линии, в какой-то момент продолжают лежать на этой вихревой линии. Проще говоря, вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Также вихревые линии и трубы должны иметь вид замкнутого контура, продолжаться до бесконечности или начинаться / заканчиваться на твердых границах.
3. Элементы жидкости, изначально свободные от завихренности, остаются без завихренности.

Теоремы Гельмгольца иметь применение в понимании:

Генерация лифта на профиль

Стартовый вихрь

Подковообразный вихрь

Вихри крыла.

Теоремы Гельмгольца в настоящее время в целом доказаны со ссылкой на Теорема циркуляции Кельвина. Однако теоремы Гельмгольца были опубликованы в 1858 г.^[3] за девять лет до публикации теоремы Кельвина в 1867 году. Между двумя мужчинами было много разговоров по поводу вихревых линий, и было много ссылок на применение их теорем к изучению кольца дыма.^{[нужна цитата ]}

Примечания

1. Кете и Шетцер, Основы аэродинамики, Раздел 2.14
2. Сила вихревой трубки (обращение ), определяется как:

   ${\displaystyle \Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}}$

   куда ${\displaystyle \Gamma }$ тоже тираж, ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ это завихренность вектор, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ вектор нормали к поверхности А, образованный путем взятия поперечного сечения вихревой трубки с элементарной площадью dA, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ это скорость вектор на замкнутой кривой C, ограничивающий поверхность А. Соглашение об определении чувства циркуляции и нормали к поверхности А дается правило правого винта. Третья теорема утверждает, что эта сила одинакова для всех поперечных сечений A трубы и не зависит от времени. Это эквивалентно высказыванию

   ${\displaystyle {\frac {D\Gamma }{Dt}}=0}$

3. Гельмгольца, Х. "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 55. ISSN  0075-4102.

Рекомендации

• М. Дж. Лайтхилл, Неформальное введение в теоретическую механику жидкости, Oxford University Press, 1986, ISBN  0-19-853630-5
• П. Г. Саффман, Вихревая динамика, Издательство Кембриджского университета, 1995 г., ISBN  0-521-42058-X
• Г. К. Бэтчелор, Введение в динамику жидкости, Cambridge University Press (1967, переиздано в 2000 году).
• Кунду, П. и Коэн, И., Механика жидкости, 2-е издание, Academic Press 2002.
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 4-е издание, Academic Press: San Diego (1995), стр. 92–93
• ЯВЛЯЮСЬ. Кете и Дж.Д. Шетцер (1959), Основы аэродинамики, 2-е изд. John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк ISBN  0-471-50952-3