Расширенное z-преобразование - Advanced z-transform

В математика и обработка сигналов, то расширенное z-преобразование является продолжением z-преобразование, чтобы включить идеальные задержки, не кратные время выборки. Это принимает форму

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}$

куда

• Т период выборки
• м («параметр задержки») - это часть периода выборки. ${\displaystyle [0,T].}$

Он также известен как модифицированное z-преобразование.

Расширенное z-преобразование широко применяется, например, для точного моделирования задержек обработки в цифровое управление.

Характеристики

Если параметр задержки, м, считается фиксированным, тогда все свойства z-преобразования сохраняются для расширенного z-преобразования.

Линейность

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).}$

Сдвиг во времени

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}$

Демпфирование

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}$

Умножение времени

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}$

Теорема о конечном значении

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).}$

Пример

Рассмотрим следующий пример, где ${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle m=0}$ тогда ${\displaystyle F(z,m)}$ сводится к преобразованию

${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},}$

что явно как раз z-преобразование ${\displaystyle f(t)}$.

Рекомендации

• Элиаху Ибрахам Юри, Теория и применение метода z-преобразования, Krieger Pub Co, 1973. ISBN  0-88275-122-0.