Последовательность Туэ – Морса - Thue–Morse sequence

Этот рисунок демонстрирует повторяющийся и дополняющий состав последовательности Туэ – Морзе.

В математика, то Последовательность Туэ – Морса, или же Последовательность Пруэ – Туэ – Морса, это двоичная последовательность (бесконечная последовательность нулей и единиц), полученная, начиная с 0 и последовательно добавляя Логическое дополнение последовательности, полученной на данный момент. Первые несколько шагов этой процедуры дают строки 0, затем 01, 0110, 01101001, 0110100110010110 и т. Д., Которые являются префиксами последовательности Туэ – Морзе. Полная последовательность начинается:

01101001100101101001011001101001 .... (последовательность A010060 в OEIS )

Последовательность названа в честь Аксель Туэ и Марстон Морс.

Определение

Есть несколько эквивалентных способов определения последовательности Туэ – Морса.

Прямое определение

При двоичном счете сумма цифр по модулю 2 представляет собой последовательность Туэ-Морса.

Чтобы вычислить пй элемент т_п, написать номер п в двоичный. Если количество единиц в этом двоичном расширении нечетно, тогда т_п = 1, если даже тогда т_п = 0.^[1] Именно по этой причине Джон Х. Конвей и другие. звонить по номерам п удовлетворение т_п = 1 одиозный (за странный) числа и числа, для которых т_п = 0 зло (за даже) числа. Другими словами, t_п = 0, если п является злой номер и т_п = 1, если п является одиозное число.

Генерация быстрой последовательности

Этот метод приводит к быстрому способу вычисления последовательности Туэ – Морса: начните с т₀ = 0, а затем для каждого п, найти бит наивысшего порядка в двоичном представлении п который отличается от того же бита в представлении п − 1. (Этот бит можно изолировать, позволив Икс быть побитовым исключающим или из п и п − 1, смещение Икс вправо на один бит и вычисляя исключающее ИЛИ этого сдвинутого значения с помощью Икс.) Если этот бит имеет четный индекс, т_п отличается от т_п − 1, а в остальном это то же самое, что т_п − 1.

В форме псевдокода:

generateSequence(seqLength):    ценить = 0    за п = 0 к seqLength-1 к 1:             Икс = п ^ (п-1)                                 если ((Икс ^ (Икс>>1)) & 0x55555555):            ценить = 1 - ценить        возвращаться ценить

Результирующий алгоритм требует постоянного времени для генерации каждого элемента последовательности, используя только логарифмическое количество бит (постоянное количество слов) памяти.^[2]

Отношение рецидива

Последовательность Туэ – Морса - это последовательность т_п удовлетворение отношение повторения

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=0,\\t_{2n}&=t_{n},\\t_{2n+1}&=1-t_{n},\end{aligned}}}$

для всех неотрицательных целых чисел п.^[1]

L-система

Последовательность Туэ – Морса, порожденная L-системой

Последовательность Туэ – Морса - это морфическое слово:^[3] это результат следующих Система Линденмайера:

Переменные	0, 1
Константы	Никто
Начинать	0
Правила	(0 → 01), (1 → 10)

Характеризация с использованием побитового отрицания

Последовательность Туэ – Морса в приведенном выше виде как последовательность биты, можно определить рекурсивно используя операцию побитовое отрицание Итак, первый элемент равен 0, а затем, как только первые 2^п элементы были указаны, образуя строку s, затем следующие 2^п элементы должны формировать побитовое отрицание s.Теперь мы определили первые 2^п+1 элементы, и мы рекурсивно.

Подробное изложение первых нескольких шагов:

• Начнем с 0.
• Поразрядное отрицание 0 равно 1.
• Объединяя их, первые 2 элемента - 01.
• Поразрядное отрицание 01 равно 10.
• Объединяя их, получаем первые 4 элемента 0110.
• Поразрядное отрицание 0110 равно 1001.
• Объединяя их, получаем первые 8 элементов 01101001.
• И так далее.

Так

• Т₀ = 0.
• Т₁ = 01.
• Т₂ = 0110.
• Т₃ = 01101001.
• Т₄ = 0110100110010110.
• Т₅ = 01101001100101101001011001101001.
• Т₆ = 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110.
• И так далее.

Бесконечный продукт

Последовательность также может быть определена:

${\displaystyle \prod _{i=0}^{\infty }\left(1-x^{2^{i}}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{t_{j}}x^{j},}$

куда т_j это jth элемент, если мы начнем с j = 0.

Некоторые свойства

Поскольку каждый новый блок в последовательности Туэ – Морса определяется путем побитового отрицания начала, и это повторяется в начале следующего блока, последовательность Туэ – Морса заполняется квадраты: последовательные строки, которые повторяются. то есть существует много экземпляров XX, куда Икс это какая-то строка. В самом деле, ${\displaystyle X}$ такая строка тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X=A,\,{\overline {A}},\,A{\overline {A}}A,}$ или же ${\displaystyle {\overline {A}}A{\overline {A}}}$ куда ${\displaystyle A=T_{k}}$ для некоторых ${\displaystyle k\geq 0}$ и ${\displaystyle {\overline {A}}}$ обозначает побитовое отрицание ${\displaystyle A}$ (меняем местами 0 и 1).^[4] Например, с ${\displaystyle k=0}$, у нас есть ${\displaystyle \ A=T_{0}=0}$, и квадрат ${\displaystyle A{\overline {A}}AA{\overline {A}}A=010010}$ появляется в ${\displaystyle T}$ начиная с 16-го бита. (Таким образом, квадраты в ${\displaystyle T}$ имеют длину, равную 2 или 3 степени 2). Однако нет кубики: экземпляры XXX.Также нет перекрывающиеся квадраты: экземпляры 0Икс0Икс0 или 1Икс1Икс1.^[5][6] В критический показатель равно 2.^[7]

Последовательность Т_2п является палиндром для любого п. Далее, пусть q_п быть словом, полученным из Т_2п путем подсчета единиц между последовательными нулями. Например, q₁ = 2 и q₂ = 2102012 и так далее. Слова Т_п не содержат перекрывающиеся квадраты в результате слова q_п палиндром свободные слова.

Утверждение выше о том, что последовательность Туэ – Морса «заполнена квадратами», можно уточнить: это равномерно повторяющееся слово, что означает, что для любой конечной строки Икс в последовательности есть некоторая длина п_Икс (часто намного длиннее, чем длина Икс) такие, что Икс появляется в каждый блок длины п_Икс.^[8][9]Самый простой способ сделать повторяющуюся последовательность - сформировать периодическая последовательность, тот, где последовательность полностью повторяется после заданного числа м шагов. Затем п_Икс можно задать любое кратное м это больше, чем в два раза длиннее Икс.Но последовательность Морса равномерно рекуррентна. без быть периодическим, даже не в конечном итоге периодическим (то есть периодическим после некоторого непериодического начального сегмента).^[10]

Мы определяем Морфизм Туэ – Морса быть функция ж от набор двоичных последовательностей на себя, заменив каждый 0 в последовательности на 01 и каждую 1 на 10.^[11] Тогда если Т последовательность Туэ – Морса, то ж(Т) является Т опять таки; то есть, Т это фиксированная точка из ж. Функция ж это продолжительный морфизм на свободный моноид {0,1}^∗ с Т как фиксированная точка: действительно, Т по сути Только фиксированная точка ж; единственная другая фиксированная точка - побитовое отрицание Т, которая представляет собой просто последовательность Туэ – Морса на (1,0), а не на (0,1). Это свойство можно обобщить до концепции автоматическая последовательность.

В генерирующий ряд из Т над двоичное поле это формальный степенной ряд

${\displaystyle t(Z)=\sum _{n=0}^{\infty }T(n)Z^{n}\ .}$

Этот степенной ряд является алгебраическим над полем формальных степенных рядов, удовлетворяющих уравнению^[12]

${\displaystyle Z+(1+Z)^{2}t+(1+Z)^{3}t^{2}=0}$

В комбинаторной теории игр

Набор злые числа (числа ${\displaystyle n}$ с ${\displaystyle t_{n}=0}$) образует подпространство целых неотрицательных чисел при добавление ним (побитовый Эксклюзивный или ). Для игры Kayles, зло ним-ценности происходят для нескольких (конечного числа) позиций в игре, а все оставшиеся позиции имеют одиозные ним-значения.

Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта

В Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта можно определить как: задано положительное целое число N и неотрицательное целое число k, раздел набор S = { 0, 1, ..., N-1} на два непересекающийся подмножества S₀ и S₁ которые имеют равные суммы степеней до k, то есть:

${\displaystyle \sum _{x\in S_{0}}x^{i}=\sum _{x\in S_{1}}x^{i}}$ для всех целых чисел я от 1 до k.

У этого есть решение, если N делится на 2^k+1, предоставленный:

• S₀ состоит из целых чисел п в S для которого т_п = 0,
• S₁ состоит из целых чисел п в S для которого т_п = 1.

Например, для N = 8 и k = 2,

0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7,

0² + 3² + 5² + 6² = 1² + 2² + 4² + 7².

Условие, требующее, чтобы N быть кратным 2^k+1 не является строго необходимым: есть еще несколько случаев, для которых существует решение. Однако это гарантирует более сильное свойство: если условие выполняется, то набор kй степени любого набора N числа в арифметическая прогрессия можно разбить на два множества с равными суммами. Это непосредственно следует из разложения биномиальная теорема применяется к биному, представляющему п-й элемент арифметической прогрессии.

Об обобщении последовательности Туэ – Морса и проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта на разбиение более чем на две части см. Болкер, Оффнер, Ричман и Зара, «Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта и обобщенные последовательности Туэ – Морса».^[13]

Фракталы и графика черепахи

С помощью черепаха графика, кривая может быть сгенерирована, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Когда члены последовательности Туэ – Морзе используются для выбора состояний программы:

• Если т(п) = 0, продвинемся на единицу вперед,
• Если т(п) = 1, повернуть на угол π / 3 радианы (60°)

Полученная кривая сходится к Кривая Коха, а фрактальная кривая бесконечной длины, содержащий конечную площадь. Это иллюстрирует фрактальную природу последовательности Туэ – Морса.^[14]

Также можно точно нарисовать кривую, используя следующие инструкции:^[15]

• Если т(п) = 0, повернуть на угол π радиан (180 °),
• Если т(п) = 1, продвинуться вперед на одну единицу, затем повернуть на угол π / 3 радиан.

Справедливая последовательность

В своей книге по проблеме справедливое деление, Стивен Брамс и Алан Тейлор активировал последовательность Туэ – Морса, но не идентифицировал ее как таковую. Распределяя оспариваемую кучу предметов между двумя сторонами, которые согласовывают относительную стоимость предметов, Брамс и Тейлор предложили метод, который они назвали сбалансированное чередование, или же по очереди по очереди. . . , как способ обойти фаворитизм, присущий, когда одна сторона делает выбор перед другой. Пример показал, как разводящаяся пара может достичь справедливого урегулирования при распределении вещей, находящихся в совместном владении. Стороны по очереди будут первыми выбирать на разных этапах процесса выбора: Энн выбирает один пункт, затем Бен, затем Бен выбирает один пункт, затем делает Энн.^[16]

Лайонел Левин и Кэтрин Стэндж в своем обсуждении того, как справедливо распределить общий обед, например Эфиопский ужин, предложил последовательность Туэ – Морса как способ уменьшить преимущество движения первым. Они предположили, что «было бы интересно количественно оценить интуицию, согласно которой порядок Туэ-Морса имеет тенденцию давать справедливый результат».^[17]

Роберт Ричман обратился к этой проблеме, но он тоже не идентифицировал последовательность Туэ – Морса как таковую на момент публикации.^[18] Он представил последовательности Т_п так как пошаговые функции на интервале [0,1] и описали их связь с Уолш и Радемахер функции. Он показал, что пth производная можно выразить через Т_п. Как следствие, ступенчатая функция, возникающая из Т_п является ортогональный к многочлены из порядок п - 1. Следствием этого результата является то, что ресурс, ценность которого выражается как монотонно уменьшение непрерывная функция наиболее справедливо распределяется с использованием последовательности, которая сходится к Туэ-Морсу, когда функция становится льстить. На примере показано, как разливать кофе равной крепости из графина с нелинейный концентрация градиент, натолкнувшись на причудливую статью в популярной прессе.^[19]

Джошуа Купер и Аарон Датл показали, почему порядок Туэ-Морса обеспечивает справедливый исход для отдельных событий.^[20] Они считали самый справедливый способ устроить Галуа дуэль, в которой у каждого из стрелков одинаково плохие стрелковые навыки. Купер и Датл постулировали, что каждый дуэлянт потребует возможности выстрелить, как только другой априори вероятность победы превысили их собственные. Они доказали, что по мере приближения вероятности попадания дуэлей к нулю последовательность увольнения сходится к последовательности Туэ – Морса. Тем самым они продемонстрировали, что порядок Туэ-Морзе дает справедливый результат не только для последовательностей. Т_п длины 2^п, но для последовательностей любой длины.

Таким образом, математика поддерживает использование последовательности Туэ – Морса вместо чередования поворотов, когда целью является честность, но более ранние повороты монотонно отличаются от более поздних ходов некоторым значимым качеством, независимо от того, постоянно ли это качество меняется^[18] или дискретно.^[20]

Спортивные соревнования образуют важный класс задач равной последовательности, потому что строгое чередование часто дает несправедливое преимущество одной команде. Игнасио Паласиос-Уэрта предложил изменить порядок следования на Туэ-Морс, чтобы улучшить Постфактум справедливость различных турнирных соревнований, таких как последовательность ударов ногами серия пенальти в футболе.^[21] Он провел серию полевых экспериментов с профессиональными игроками и обнаружил, что команда, которая пинает первой, выигрывает 60% игр с использованием ABAB (или Т₁), 54% используют ABBA (или Т₂), а 51% - с использованием полной версии Thue-Morse (или Т_п). В результате ABBA переживает обширные испытания в ФИФА (чемпионаты Европы и мира) и Английская федерация профессионального футбола (Кубок EFL ).^[22] Также было обнаружено, что шаблон подачи ABBA улучшает справедливость теннисные тай-брейки.^[23] В соревновательная гребля, Т₂ это единственное расположение гребля по левому и правому борту членов экипажа, который устраняет поперечные силы (и, следовательно, покачивание вбок) на четырехчленной гоночной лодке без рулевого, в то время как Т₃ один из четырех буровые установки чтобы не покачиваться на восьмичленной лодке.^[24]

Справедливость особенно важна в драфты игроков. Многие профессиональные спортивные лиги пытаются добиться конкурентный паритет давая более ранние выборы в каждом раунде более слабым командам. Напротив, лиги фэнтези-футбола не имеют ранее существовавшего дисбаланса, который необходимо исправить, поэтому они часто используют «змейку» (вперед, назад и т. д.) или Т₁).^[25] Ян Аллан утверждал, что «разворот в третьем раунде» (вперед, назад, назад, вперед и т. Д .; или Т₂) было бы еще справедливее.^[26] Ричман предложил наиболее справедливый способ для «капитана А» и «капитана Б» выбирать стороны для игра в баскетбол зеркала Т₃: капитан A может выбрать первый, четвертый, шестой и седьмой варианты, а капитан B - второй, третий, пятый и восьмой варианты.^[18]

История

Последовательность Туэ – Морса впервые была изучена Эжен Пруэ в 1851 г.,^[27] кто применил это к теория чисел Однако Пруэ не упомянул последовательность явно; это было оставлено Аксель Туэ в 1906 году, который использовал его, чтобы основать исследование комбинаторика слов Эта последовательность была доведена до всеобщего внимания только благодаря работе Марстон Морс в 1921 году, когда он применил его к дифференциальная геометрия.Последовательность была открыта независимо много раз, не всегда профессиональными математиками-исследователями; Например, Макс Эйве, а гроссмейстер, обладатель титула чемпиона мира с 1935 по 1937 год, и математика учитель, обнаружил его в 1929 году в приложении к шахматы: используя свойство отсутствия кубов (см. выше), он показал, как обойти правило направленная на предотвращение бесконечно затяжных игр путем объявления повторения ходов ничьей.

Смотрите также

• Теорема Дежана
• Функция Фабиуса
• Константа Коморника – Лорети
• Постоянная Пруэ – Туэ – Морса

Примечания

1. Аллуш и Шаллит (2003), п. 15)
2. Арндт (2011).
3. Lothaire (2011 г.), п. 11)
4. Брлек (1989).
5. Lothaire (2011 г.), п. 113)
6. Пифей Фогг (2002), п. 103)
7. Кригер (2006).
8. Lothaire (2011 г.), п. 30)
9. Берте и Риго (2010).
10. Lothaire (2011 г.), п. 31)
11. Berstel et al. (2009 г., п. 70)
12. Berstel et al. (2009 г., п. 80)
13. Bolker et al. (2016).
14. Ма и Холденер (2005).
15. Абель, Захари (23 января 2012 г.). "Плавучие черепахи Туэ-Морса". Трехсторонние вещи.
16. Брамс и Тейлор (1999).
17. Левин и Штанге (2012).
18. Ричман (2001)
19. Абрахамс (2010).
20. Купер и Датл (2013)
21. Паласиос-Уэрта (2012).
22. Паласиос-Уэрта (2014).
23. Коэн-Зада, Крумер и Шапир (2018).
24. Курган (2010).
25. «Типы фэнтези-драфт». NFL.com. Архивировано из оригинал 12 октября 2018 г.
26. Аллан, Ян (16 июля 2014 г.). «Драфты с разворотом третьего раунда». Индекс фантазии. Получено 1 сентября, 2020.
27. Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морса Жан-Поля Аллуша и Джеффри Шаллита

Рекомендации

• Абрахамс, Марк (12 июля 2010 г.). «Как налить идеальную чашку кофе». Хранитель.
• Арндт, Йорг (2011). «1.16.4 Последовательность Туэ – Морса» (PDF). Имеет значение вычислительные: идеи, алгоритмы, исходный код. Springer. п. 44.
• Аллуш, Жан-Поль; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015.
• Барроу, Джон Д. (2010). «Гребля и задача с одинаковой суммой имеют свои моменты». Американский журнал физики. 78 (7): 728–732. arXiv:0911.3551. Bibcode:2010AmJPh..78..728B. Дои:10.1119/1.3318808.
• Берстель, Жан; Лаув, Аарон; Ройтенауэр, Кристоф; Салиола, Франко В. (2009). Комбинаторика слов. Кристоффель слова и повторы словами. Серия монографий CRM. 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4480-9. Zbl  1161.68043.
• Берте, Валери; Риго, Мишель, ред. (2010). Комбинаторика, автоматы и теория чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 7. ISBN  978-0-521-51597-9. Zbl  1197.68006.

• Болкер, Итан; Оффнер, Карл; Ричман, Роберт; Зара, Каталин (2016). «Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта и обобщенные последовательности Туэ – Морса». Журнал комбинаторики. 7 (1): 117–133. arXiv:1304.6756. Дои:10.4310 / JOC.2016.v7.n1.a5.}

• Брамс, Стивен Дж .; Тейлор, Алан Д. (1999). Беспроигрышное решение: гарантия справедливой доли участия для всех. W. W. Norton & Co., Inc., стр.36–44. ISBN  978-0-393-04729-5.
• Брлек, Сречко (1989). «Перечень факторов в слове Туэ-Морзе». Дискретная прикладная математика. 24 (1–3): 83–96. Дои:10.1016 / 0166-218x (92) 90274-э.
• Коэн-Зада, Дэнни; Крумер, Алекс; Шапир, Предложение Моше (2018). «Тестирование эффекта порядка подачи в теннисном тай-брейке». Журнал экономического поведения и организации. 146: 106–115.
• Купер, Джошуа; Датл, Аарон (2013). "Жадные игры Галуа" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 120 (5): 441–451. arXiv:1110.1137. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.120.05.441.
• Кригер, Далия (2006). «О критических показателях в неподвижных точках нестираемых морфизмов». В Ибарре, Оскар Х .; Данг, Чжэ (ред.). Развитие теории языка: материалы 10-й Международной конференции, DLT 2006, Санта-Барбара, Калифорния, США, 26-29 июня 2006 г.. Конспект лекций по информатике. 4036. Springer-Verlag. С. 280–291. ISBN  978-3-540-35428-4. Zbl  1227.68074.
• Левин, Лайонел; Штанге, Кэтрин Э. (2012). «Как извлечь максимальную пользу из общей еды: сначала спланируйте последний укус» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 119 (7): 550–565. arXiv:1104.0961. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.119.07.550.
• Лотэр, М. (2011). Алгебраическая комбинаторика слов. Энциклопедия математики и ее приложений. 90. С предисловием Жана Берштеля и Доминика Перрена (Перепечатка изд. В твердом переплете 2002 г.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-18071-9. Zbl  1221.68183.
• Ма, июнь; Холденер, Джуди (2005). «Когда Туэ-Морс встречает Коха» (PDF). Фракталы. 13 (3): 191–206. Дои:10.1142 / S0218348X05002908. МИСТЕР  2166279.
• Паласиос-Уэрта, Игнасио (2012). «Турниры, справедливость и последовательность Пруэ – Туэ – Морса» (PDF). Экономический запрос. 50 (3): 848–849. Дои:10.1111 / j.1465-7295.2011.00435.x.
• Паласиос-Уэрта, Игнасио (2014). Прекрасная теория игр. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691144023.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике. Конспект лекций по математике. 1794. Редакторы Берте, Валери; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Зигель, А. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44141-0. Zbl  1014.11015.
• Ричман, Роберт (2001). «Рекурсивные двоичные последовательности различий» (PDF). Сложные системы. 13 (4): 381–392.

дальнейшее чтение

• Бюжо, Ян (2012). Распределение по модулю один и диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике. 193. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-11169-0. Zbl  1260.11001.
• Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов. Энциклопедия математики и ее приложений. 105. Коллективная работа Жана Берштеля, Доминика Перрена, Максима Крошмора, Эрика Ляпорта, Мериара Мори, Нади Пизанти, Мари-Франс Саго, Гезин Райнерт, Софи Шбат, Майкл Уотерман, Филипп Жаке, Войцех Шпанковски, Доминик Пулальон, Жиль Шеффер, Роман Колпаков, Грегори Кушеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84802-2. Zbl  1133.68067.

внешняя ссылка

• "Последовательность Туэ-Морса", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Последовательность Туэ-Морса". MathWorld.
• Allouche, J.-P .; Шаллит, Дж. О. Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морса. (содержит много приложений и немного истории)
• Последовательность Туэ – Морса над (1,2) (последовательность A001285 в OEIS )
• OEIS последовательность A000069 (одиозные числа: числа с нечетным числом единиц в их двоичном расширении)
• OEIS последовательность A001969 (Злые числа: числа с четным числом единиц в их двоичном расширении)
• Уменьшение влияния дрейфа смещения постоянного тока в аналоговых IP-адресах с помощью последовательности Туэ-Морса. Техническое применение последовательности Туэ – Морзе
• MusiNum - Музыка в цифрах. Бесплатное ПО для создания самоподобной музыки на основе последовательности Туэ – Морса и связанных числовых последовательностей.
• Паркер, Мэтт. "Самая честная последовательность обмена когда-либо" (видео). математика. Получено 20 января 2016.