Функция Фабиуса - Fabius function

График функции Фабиуса на отрезке [0,1].

Расширение функции на неотрицательные действительные числа.

В математике Функция Фабиуса является примером бесконечно дифференцируемая функция это нигде аналитический, найденный Яапом Фабиусом (1966 ). Он также был записан как преобразование Фурье

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$

Бёрге Йессен и Аурел Винтнер (1935 ).

Функция Фабиуса определяется на единичном интервале и задается кумулятивная функция распределения из

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},}$

где ξ_п находятся независимый равномерно распределены случайные переменные на единичный интервал.

Эта функция удовлетворяет начальному условию ${\displaystyle f(0)=0}$, условие симметрии ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$ для ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ и функционально-дифференциальное уравнение ${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$ для ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/2.}$ Это следует из того ${\displaystyle f(x)}$ монотонно возрастает для ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ с участием ${\displaystyle f(1/2)=1/2}$ и ${\displaystyle f(1)=1.}$Есть уникальное расширение ж к действительным числам, которые удовлетворяют тому же уравнению. Это расширение можно определить как ж (Икс) = 0 для Икс ≤ 0, ж (Икс + 1) = 1 − ж (Икс) для 0 ≤ Икс ≤ 1, и ж (Икс + 2^р) = −ж (Икс) для 0 ≤ Икс ≤ 2^р с участием р положительное целое число. Последовательность интервалов, в которых эта функция является положительной или отрицательной, следует той же схеме, что и Последовательность Туэ – Морса.

Ценности

Функция Фабиуса имеет постоянный ноль для всех неположительных аргументов и принимает рациональные значения при положительных аргументах. диадический рациональный аргументы.

использованная литература

• Фабиус, Дж. (1966), "Вероятностный пример нигде аналитического C ^∞-функция », Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 5 (2): 173–174, Дои:10.1007 / bf00536652, Г-Н  0197656
• Йессен, Бёрге; Винтнер, Аурел (1935), "Функции распределения и дзета-функция Римана", Пер. Амер. Математика. Soc., 38: 48–88, Дои:10.1090 / S0002-9947-1935-1501802-5, Г-Н  1501802
• Димитров, Юрий (2006). Полиномиально разделенные решения двудольных самодифференциальных функциональных уравнений (Тезис).
• Хаугланд, Ян Кристиан (2016). «Оценка функции Фабиуса». arXiv:1609.07999 [math.GM ].
• Ариас де Рейна, Хуан (2017). «Арифметика функции Фабиуса». arXiv:1702.06487 [math.NT ].
• Ариас де Рейна, Хуан (2017). «Бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем: определение и свойства». arXiv:1702.05442 [math.CA ]. (английский перевод статьи автора, опубликованной на испанском языке в 1982 г.)
• Алькаускас, Гедриус ​​(2001), «Серия Дирихле, связанная с последовательностью Туэ-Морзе», препринт.
• Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах // Наукова думка, Киев (1979).