Плоская функция - Flat function

Функция у = е^−1/Икс2 квартира на Икс = 0.

В математика, особенно реальный анализ, а плоская функция это гладкая функция ƒ: ℝ → ℝ, все из которых производные исчезнуть в данной точке Икс₀ ∈ ℝ. Плоские функции в некотором смысле антитезы из аналитические функции. Аналитическая функция ƒ: ℝ → ℝ задается сходящийся степенной ряд близко к какой-то точке Икс₀ ∈ ℝ:

${\displaystyle f(x)\sim \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}.}$

В случае плоской функции мы видим, что все производные обращаются в нуль при Икс₀ ∈ ℝ, т.е. ƒ^(k)(Икс₀) = 0 для всех k ∈ ℕ. Это означает, что значимый Серия Тейлор расширение в районе Икс₀ невозможно. На языке Теорема Тейлора, непостоянная часть функции всегда лежит в остатке р_п(Икс) для всех п ∈ ℕ.

Функция не обязательно должна быть плоской только в одной точке. Тривиально, постоянные функции на везде плоские. Но есть и другие, менее тривиальные примеры.

Пример

Функция, определяемая

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

квартира наИкс = 0. Таким образом, это пример неаналитическая гладкая функция.

Рекомендации

• Глэйстер, П. (декабрь 1991 г.), Плоская функция с интересными свойствами и приложение, The Mathematical Gazette, Vol. 75, № 474, стр. 438–440, JSTOR  3618627