Кольцо модульных форм - Ring of modular forms

В математике кольцо модульных форм связано с подгруппа Γ из специальная линейная группа SL (2, Z) это градуированное кольцо генерируется модульные формы из Γ. Изучение колец модулярных форм описывает алгебраическую структуру пространства модулярных форм.

Определение

Позволять Γ быть подгруппой SL (2, Z) это конечно показатель и разреши M_k(Γ) быть векторное пространство модульных форм веса k. Кольцо модульных форм Γ это градуированное кольцо ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$.^[1]

пример

Кольцо модульных форм полного модульная группа SL (2, Z) является свободно генерируемый посредством Серия Эйзенштейна E₄ и E₆. Другими словами, M_k(Γ) изоморфен как ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебра к ${\displaystyle \mathbb {C} [E_{4},E_{6}]}$, какой кольцо многочленов двух переменных по сложные числа.^[1]

Свойства

Кольцо модульных форм представляет собой градуированное Алгебра Ли поскольку скобка Ли ${\displaystyle [f,g]=kfg'-\ell f'g}$ модульных форм ж и г соответствующего веса k и ℓ модульная форма веса к + ℓ + 2.^[1] Скобку можно определить для п-я производная модулярных форм и такая скобка называется Скобка Ранкина – Коэна.^[1]

Подгруппы конгруэнции SL (2, Z)

В 1973 г. Пьер Делинь и Майкл Рапопорт показал, что кольцо модульных форм M (Γ) является конечно порожденный когда Γ это подгруппа конгруэнции из SL (2, Z).^[2]

В 2003 году Лев Борисов и Пол Ганнеллс показали, что кольцо модульных форм M (Γ) является генерируется в весе не более 3, когда ${\displaystyle \Gamma }$ подгруппа конгруэнции ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)}$ высшего уровня N в SL (2, Z) используя теорию торические модульные формы.^[3] В 2014 году Надим Растом продлил результат Борисова и Ганнеллса на ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)}$ на всех уровнях N а также продемонстрировали, что кольцо модулярных форм для конгруэнтной подгруппы ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ генерируется весом не более 6 для некоторых уровней N.^[4]

В 2015 году Джон Войт и Дэвид Зурейк-Браун обобщили эти результаты: они доказали, что градуированное кольцо модулярных форм четного веса для любой конгруэнтной подгруппы Γ из SL (2, Z) имеет вес не более 6 с связи имеет вес не более 12.^[5] Основываясь на этой работе, в 2016 году Аарон Ландесман, Питер Рум и Робин Чжан показали, что те же оценки справедливы для полного кольца (всех весов) с улучшенными оценками 5 и 10, когда Γ имеет модульную форму с ненулевым нечетным весом.^[6]

Общие фуксовы группы

А Фуксова группа Γ соответствует орбифолд полученный из частного ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ из верхняя полуплоскость ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Путем сложного обобщения Теорема существования Римана, существует соответствие между кольцом модулярных форм Γ и конкретный секционное кольцо тесно связан с каноническое кольцо из сложная кривая.^[5]

Существует общая формула для весов образующих и отношений колец модулярных форм, основанная на работах Войта и Зурейка-Брауна и работ Ландесмана, Рума и Чжана. ${\displaystyle e_{i}}$ - порядки стабилизатора точек стопки кривой (эквивалентно, точки возврата орбифолда ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$) связаны с Γ. Если Γ не имеет модулярных форм ненулевого нечетного веса, то кольцо модулярных форм порождено весом не более ${\displaystyle 6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$ и имеет отношения, генерируемые по весу не более ${\displaystyle 12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$.^[5] Если Γ имеет модулярную форму с ненулевым нечетным весом, то кольцо модулярных форм порождено весом не более ${\displaystyle \max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$ и имеет отношения, генерируемые по весу не более ${\displaystyle 2\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$.^[6]

Приложения

В теория струн и суперсимметричная калибровочная теория, алгебраическая структура кольца модулярных форм может быть использована для изучения структуры Вакуум Хиггса четырехмерного калибровочные теории с N = 1 суперсимметрия.^[7] Стабилизаторы суперпотенциалы в N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса - кольца модулярных форм подгруппы конгруэнции Γ (2) из SL (2, Z).^[7][8]

использованная литература

1. Загир, Дон (2008). «Эллиптические модульные формы и их приложения» (PDF). В Брюинье, Ян Хендрик; ван дер Гир, Жерар; Сложнее, Гюнтер; Загир, Дон (ред.). 1-2-3 модульных форм. Universitext. Springer-Verlag. С. 1–103. Дои:10.1007/978-3-540-74119-0_1. ISBN  978-3-540-74119-0.
2. Делинь, Пьер; Рапопорт, Майкл (2009) [1973]. "Схемы эллиптических модулей". Модульные функции одной переменной, II. Конспект лекций по математике. 349. Springer. С. 143–316. ISBN  9783540378556.
3. Борисов, Лев А .; Ганнеллс, Пол Э. (2003). «Торические модульные формы повышенной массы». J. Reine Angew. Математика. 560: 43–64. arXiv:математика / 0203242. Bibcode:2002математика ...... 3242B.
4. Рустом, Надим (2014). «Генераторы градуированных колец модульных форм». Журнал теории чисел. 138: 97–118. arXiv:1209.3864. Дои:10.1016 / j.jnt.2013.12.008.
5. Войт, Джон; Зурейк-Браун, Дэвид (2015). Каноническое кольцо стековой кривой. Мемуары Американского математического общества. arXiv:1501.04657. Bibcode:2015arXiv150104657V.
6. Ландесман, Аарон; Рум, Питер; Чжан, Робин (2016). "Спиновые канонические кольца логарифмических наборов кривых". Annales de l'Institut Fourier. 66 (6): 2339–2383. arXiv:1507.02643. Дои:10.5802 / aif.3065.
7. Бурже, Антуан; Троост, янв (2017). «Перестановки массивного вакуума» (PDF). Журнал физики высоких энергий. 2017 (42): 42. arXiv:1702.02102. Bibcode:2017JHEP ... 05..042B. Дои:10.1007 / JHEP05 (2017) 042. ISSN  1029-8479.
8. Ритц, Адам (2006). «Центральные заряды, S-дуальность и массивный вакуум N = 1 * супер Янга-Миллса». Письма по физике B. 641 (3–4): 338–341. arXiv:hep-th / 0606050. Дои:10.1016 / j.physletb.2006.08.066.