Сложная кривая - Stacky curve

В математике сложная кривая это объект в алгебраическая геометрия это примерно алгебраическая кривая с потенциально "дробными точками", называемыми точки накопления. Сложенная кривая - это тип стек используется в обучении Теория Громова – Виттена., перечислительная геометрия, и кольца модульных форм.

Стеклянные кривые глубоко связаны с одномерными орбифолды и поэтому иногда называют орбифолд кривые или орбикурвы.

Определение

Сложная кривая ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ над полем k это гладкий; плавный правильный геометрически связанный Стек Делин-Мамфорд из измерение 1 больше k который содержит плотную открытую подсхему.^[1][2][3]

Свойства

Стековая кривая однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим грубым пространством Икс (гладкий квазипроективный изгибаться k) конечный набор точек Икс_я (его точки стека) и целые числа п_я (порядок его ветвления) больше 1.^[3] В канонический делитель из ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ является линейно эквивалентный в сумму канонического делителя Икс и дивизор ветвления р:^[1]

${\displaystyle K_{\mathfrak {X}}\sim K_{X}+R.}$

Сдача г быть род грубого пространства Икс, степень канонический делитель из ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ следовательно является:^[1]

${\displaystyle d=\deg K_{\mathfrak {X}}=2-2g-\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}-1}{n_{i}}}.}$

Стековая кривая называется сферический если d положительный, Евклидово если d равен нулю, и гиперболический если d отрицательный.^[3]

Хотя соответствующее заявление Теорема Римана – Роха не выполняется для многослойных кривых,^[1] есть обобщение Теорема существования Римана это дает эквивалентность категорий между категория наборных кривых над сложные числа и категория сложных орбифолдных кривых.^[1][2][4]

Приложения

Обобщение GAGA для стекированных кривых используется при выводе алгебраическая структурная теория колец модулярных форм.^[2]

Изучение стековых кривых широко используется в эквивариантной теории Громова – Виттена и перечислительной геометрии.^[1][5]

использованная литература

1. Войт, Джон; Зурейк-Браун, Дэвид (2015). Каноническое кольцо стековой кривой. Мемуары Американского математического общества. arXiv:1501.04657. Bibcode:2015arXiv150104657V.
2. Ландесман, Аарон; Рум, Питер; Чжан, Робин (2016). "Спиновые канонические кольца логарифмических наборов кривых". Annales de l'Institut Fourier. 66 (6): 2339–2383. arXiv:1507.02643. Дои:10.5802 / aif.3065.
3. Крещ, Эндрю (2009). «О геометрии стеков Делиня-Мамфорда». В Абрамович Дан; Бертрам, Аарон; Кацарков, Людмил; Пандхарипанде, Рахул; Фаддей, Майкл (ред.). Алгебраическая геометрия: Сиэтл 2005 Часть 1. Proc. Симпози. Чистая математика. 80. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 259–271. CiteSeerX  10.1.1.560.9644. Дои:10.5167 / уж-21342. ISBN  978-0-8218-4702-2.
4. Беренд, Кай; Нухи, Бехранг (2006). «Униформизация кривых Делиня-Мамфорда». J. Reine Angew. Математика. 599: 111–153. arXiv:математика / 0504309. Bibcode:2005математика ...... 4309B.
5. Джонсон, Пол (2014). "Эквивариантная GW-теория стековых кривых" (PDF). Коммуникации по математической физике. 327 (2): 333–386. Bibcode:2014CMaPh.327..333J. Дои:10.1007 / s00220-014-2021-1. ISSN  1432-0916.