Стек Делин-Мамфорд - Deligne–Mumford stack

В алгебраическая геометрия, а Стек Делин-Мамфорд это куча F такой, что

(i) диагональный морфизм ${ displaystyle F to F times F}$ является представимый, квазикомпактные и разделенные.
(ii) Есть схема U и эталь сюръективная карта ${ displaystyle U to F}$ (называется атлас ).

Пьер Делинь и Дэвид Мамфорд представили это понятие в 1969 году, когда доказали, что пространства модулей из стабильные кривые фиксированных арифметический род находятся правильный гладкий Стеки Делиня-Мамфорда.

Если "эталь" ослабить до "гладкий ", то такой стек называется алгебраический стек (также называемый стеком Артина, после Майкл Артин ). An алгебраическое пространство Делин-Мамфорд.

Ключевой факт о стеке Делиня – Мамфорда F это что-нибудь Икс в ${ Displaystyle F (B)}$ , куда B квазикомпактен, имеет лишь конечное число автоморфизмов. Стек Делиня – Мамфорда допускает представление группоид; видеть группоидная схема.

Примеры

Аффинные стеки

Стеки Делиня-Мамфорда обычно строятся с использованием коэффициент стека некоторого разнообразия, стабилизаторы которого - конечные группы. Например, рассмотрим действие циклической группы ${ displaystyle C_ {n} = langle a mid a ^ {n} = 1 rangle}$ на ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ данный

{ displaystyle a cdot двоеточие (x, y) mapsto ( zeta _ {n} x, zeta _ {n} y)}

.

Тогда коэффициент стека ${ Displaystyle [ mathbb {C} ^ {2} / C_ {n}]}$ является аффинным гладким стеком Делиня – Мамфорда с нетривиальным стабилизатором в нуле. Если мы хотим думать об этом как о категории, расслоенной на группоиды над ${ displaystyle ({ text {Sch}} / mathbb {C}) _ {fppf}}$ затем дана схема ${ displaystyle S to mathbb {C}}$ над категорией дается

{ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [s] / (s ^ {n} -1)) times { text {Spec}} ( mathbb {C} [x, y] ) (S) rightrightarrows { text {Spec}} ( mathbb {C} [x, y]) (S).}

Обратите внимание, что мы могли бы быть немного более общими, если бы рассмотрим групповое действие на ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2} in { text {Sch}} / { text {Spec}} ( mathbb {Z} [ zeta _ {n}])}$ .

Взвешенная проективная линия

Неаффинные примеры возникают при взятии фактора стека для взвешенных проективных пространств / многообразий. Например, пространство ${ Displaystyle mathbb {P} (2,3)}$ строится по стековому фактору ${ Displaystyle [ mathbb {C} ^ {2} - {0 } / mathbb {C} ^ {*}]}$ где ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ -Действие дается

{ displaystyle lambda cdot (x, y) = ( lambda ^ {2} x, lambda ^ {3} y).}

Обратите внимание на то, что, поскольку этот фактор не из конечной группы, мы должны искать точки со стабилизаторами и соответствующими им группами стабилизаторов. потом ${ Displaystyle (х, у) = ( лямбда ^ {2} х, лямбда ^ {3} у)}$ если и только если ${ displaystyle x = 0}$ или же ${ displaystyle y = 0}$ и ${ displaystyle lambda = zeta _ {2}}$ или же ${ displaystyle lambda = zeta _ {3}}$ соответственно, показывая, что единственные стабилизаторы конечны, следовательно, стек Делиня – Мамфорда.

Сложная кривая

Не пример

Одним из простых примеров стека Делиня – Мамфорда является ${ Displaystyle [пт / mathbb {C} ^ {*}]}$ так как у этого есть бесконечный стабилизатор. Стеки этой формы являются примерами стопок Артина.