Алгебраическое пространство - Algebraic space

В математика, алгебраические пространства образуют обобщение схемы из алгебраическая геометрия, представлен Артин (1969, 1971 ) для использования в теория деформации. Интуитивно схемы даются путем склеивания аффинных схем с использованием Топология Зарисского, а алгебраические пространства задаются склейкой аффинных схем с помощью более тонких этальная топология. В качестве альтернативы можно рассматривать схемы как локально изоморфные аффинным схемам в топологии Зарисского, в то время как алгебраические пространства локально изоморфны аффинным схемам в этальной топологии.

Результирующий категория алгебраических пространств расширяет категорию схем и позволяет проводить несколько естественных построений, которые используются при построении пространства модулей но не всегда возможны в меньшей категории схем, например, частное свободное действие по конечная группа (ср. Теорема Киля – Мори ).

Определение

Есть два распространенных способа определения алгебраических пространств: их можно определить либо как частные схем по отношениям этальной эквивалентности, либо как пучки на большом этальном сайте, локально изоморфные схемам. Эти два определения по сути эквивалентны.

Алгебраические пространства как факторы схем

An алгебраическое пространство Икс содержит схему U и закрытая подсхема р ⊂ U × U удовлетворяющие следующим двум условиям:

1. р является отношение эквивалентности как подмножество U × U

2. Прогнозы п_я: р → U на каждый фактор этальные карты.

Некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, что алгебраическое пространство должно быть квазиотделенный, означающее, что диагональное отображение квазикомпактно.

Всегда можно предположить, что р и U находятся аффинные схемы. Это означает, что теория алгебраических пространств не зависит от полной теории схем и действительно может использоваться в качестве (более общей) замены этой теории.

Если р является тривиальным отношением эквивалентности над каждой связной компонентой U (т.е. для всех Икс, у принадлежащие одной и той же компоненте связности U, у нас есть xRy если и только если Икс=у), то алгебраическое пространство будет схемой в обычном смысле. Поскольку общее алгебраическое пространство Икс не удовлетворяет этому требованию, он позволяет использовать один компонент связности U к крышка Икс с множеством «листов». Множество точек, лежащее в основе алгебраического пространства Икс тогда определяется как |U| / |р| как набор классы эквивалентности.

Позволять Y - алгебраическое пространство, определяемое отношением эквивалентности S ⊂ V × V. Множество Hom (Y, Икс) из морфизмы алгебраических пространств тогда определяется условием, что он делает последовательность спуска

{ displaystyle mathrm {Hom} (Y, X) rightarrow mathrm {Hom} (V, X) {{{} atop longrightarrow} atop { longrightarrow atop {}}} mathrm {Hom} (S, X)}

точное (это определение мотивировано теоремой спуска Гротендик для сюръективных этальных отображений аффинных схем). С этими определениями алгебраические пространства образуют категория.

Позволять U быть аффинной схемой над полем k определяется системой многочленов грамм(Икс), Икс = (Икс₁, …, Икс_п), позволять

{ Displaystyle к {х_ {1}, ldots, х_ {п} } }

обозначить звенеть из алгебраические функции в Икс над k, и разреши Икс = {р ⊂ U × U} - алгебраическое пространство.

Соответствующий стебли Õ_Икс_{, Икс} на Икс затем определяются как местные кольца алгебраических функций, определяемых Õ_U_{, ты}, куда ты ∈ U точка, лежащая над Икс и Õ_U_{, ты} - локальное кольцо, соответствующее ты кольца

k{Икс₁, …, Икс_п} / (грамм)

алгебраических функций на U.

Точка на алгебраическом пространстве называется гладкий если Õ_Икс_{, Икс} ≅ k{z₁, …, z_d} для некоторых неопределенный z₁, …, z_d. Размер Икс в Икс тогда просто определяется как d.

Морфизм ж: Y → Икс алгебраических пространств называется эталь в у ∈ Y (куда Икс = ж(у)) если индуцированное отображение на стеблях

Õ_Икс_{, Икс} → Õ_Y_{, у}

является изоморфизмом.

В структурная связка О_Икс на алгебраическом пространстве Икс определяется сопоставлением кольца функций О(V) на V (определяется этальными картами из V к аффинной прямой А¹ в только что определенном смысле) в любое алгебраическое пространство V который является эталоном Икс.

Алгебраические пространства как пучки

An алгебраическое пространство ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ можно определить как пучок множеств

{ displaystyle { mathfrak {X}}: ({ text {Sch}} / S) _ { text {et}} ^ {op} to { text {Sets}}}

такой, что

Есть сюръективный этальный морфизм ${ displaystyle h_ {X} to { mathfrak {X}}}$
диагональный морфизм ${ displaystyle Delta _ {{ mathfrak {X}} / S}: { mathfrak {X}} to { mathfrak {X}} times { mathfrak {X}}}$ представимо.

Второе условие эквивалентно свойству, которое при любых схемах ${ displaystyle Y, Z}$ и морфизмы ${ displaystyle h_ {Y}, h_ {Z} to { mathfrak {X}}}$ , их волокнистый продукт из связок

{ displaystyle h_ {Y} times _ { mathfrak {X}} h_ {Z}}

представима схемой над ${ displaystyle S}$ . Обратите внимание, что некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, что алгебраическое пространство должно быть квазиотделенный, означающее, что диагональное отображение квазикомпактно.

Алгебраические пространства и схемы

Алгебраические пространства похожи на схемы, и большая часть теории схем распространяется на алгебраические пространства. Например, большинство свойств морфизмов схем также применимы к алгебраическим пространствам, можно определить когомологии квазикогерентных пучков, это имеет обычные свойства конечности для собственных морфизмов и так далее.

Собственные алгебраические пространства над полем размерности один (кривые) являются схемами.
Неособые собственные алгебраические пространства размерности два над полем (гладкие поверхности) являются схемами.
Квази-отделенный Групповые объекты в категории алгебраических пространств над полем являются схемами, хотя есть неквази-разделенные групповые объекты, которые не являются схемами.
Объекты коммутативной группы в категории алгебраических пространств над произвольной схемой, которые являются собственными, локально конечным представлением, плоскими и когомологически плоскими в размерности 0, являются схемами.
Не всякая особая алгебраическая поверхность является схемой.
Пример Хиронаки может использоваться, чтобы дать неособое 3-мерное собственное алгебраическое пространство, которое не является схемой, заданным фактором схемы по группе порядка 2, действующей свободно. Это иллюстрирует одно различие между схемами и алгебраическими пространствами: фактор-фактор алгебраического пространства по свободно действующей дискретной группе является алгебраическим пространством, но фактор-фактор схемы по свободно действующей дискретной группе не обязательно должен быть схемой (даже если группа конечный).
Каждое квазиотделенное алгебраическое пространство содержит плотную открытую аффинную подсхему, и дополнение такой подсхемы всегда имеет коразмерность ≥ 1. Таким образом, алгебраические пространства в некотором смысле «близки» к аффинным схемам.
Фактор комплексных чисел по решетке является алгебраическим пространством, но не эллиптической кривой, даже если соответствующее аналитическое пространство является эллиптической кривой (или, точнее, является образом эллиптической кривой под функтором из комплексных алгебраических пространств в аналитические пространства). Фактически этот фактор алгебраического пространства не является схемой, не является полным и даже не квази-разделенным. Это показывает, что, хотя фактор-пространство алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе является алгебраическим пространством, оно может иметь странные свойства и может не быть алгебраическим пространством, которое «ожидалось». Подобные примеры даются частным комплексной аффинной прямой по целым числам или частным комплексной аффинной прямой за вычетом начала координат по степеням некоторого числа: снова соответствующее аналитическое пространство является многообразием, а алгебраическое пространство - нет.

Алгебраические пространства и аналитические пространства

Алгебраические пространства над комплексными числами тесно связаны с аналитические пространства и Многообразия Мойшезона.

Грубо говоря, разница между комплексными алгебраическими пространствами и аналитическими пространствами состоит в том, что комплексные алгебраические пространства образуются путем склеивания аффинных частей вместе с использованием этальной топологии, а аналитические пространства формируются путем склеивания с классической топологией. В частности, существует функтор комплексных алгебраических пространств конечного типа в аналитические пространства. Многообразия Хопфа приведите примеры аналитических поверхностей, которые не происходят из собственного алгебраического пространства (хотя можно построить несобственные и неотделимые алгебраические пространства, аналитическое пространство которых является поверхностью Хопфа). Также возможно, чтобы разные алгебраические пространства соответствовали одному и тому же аналитическому пространству: например, эллиптическая кривая и фактор C по соответствующей решетке не изоморфны как алгебраические пространства, но соответствующие аналитические пространства изоморфны.

Артин показал, что собственные алгебраические пространства над комплексными числами более или менее идентичны пространствам Мойшезон.

Обобщение

Далеко идущее обобщение алгебраических пространств дает алгебраические стеки. В категории стеков мы можем сформировать даже больше факторов по групповым действиям, чем в категории алгебраических пространств (получившееся факторное называется стек частных ).

внешняя ссылка

Данилов, В. (2001) [1994], «Алгебраическое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
Алгебраическое пространство в проекте стека