Формула Лейбница для π - Leibniz formula for π

Увидеть Список вещей, названных в честь Готфрида Лейбница для других формул, известных под тем же именем.

В математика, то Формула Лейбница для π, названный в честь Готфрид Лейбниц, утверждает, что

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \,=\,{\frac {\pi }{4}},}$

ан чередующийся ряд. Его еще называют Мадхава-Лейбниц серия, как это особый случай разложения в более общий ряд для обратная тангенс функция, впервые обнаруженная индийским математиком Мадхава Сангамаграмы в 14 веке этот конкретный случай впервые опубликовал Лейбниц около 1676 года.^[1] Сериал для обратная тангенс функция, также известная как Серия Григория, может быть дано:

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

Формула Лейбница для π/4 можно получить, положив Икс = 1 в эту серию.^[2]

Это тоже Дирихле. L-серии непринципиальных Dirichlet персонаж модуля 4 оценивается при s = 1, а значит, и значение β(1) из Бета-функция Дирихле.

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right).\end{aligned}}}$

Учитывая только интеграл в последней строке, мы имеем:

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$

Поэтому по теорема сжатия, так как п → ∞ остаемся с серией Лейбница:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$

Конвергенция

Сравнение сходимости формулы Лейбница (□) и несколько исторических бесконечных серий для π. S_п это приближение после взятия п термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Формула Лейбница сходится чрезвычайно медленно: она показывает сублинейная сходимость. Расчет π до 10 правильных десятичных знаков с использованием прямого суммирования ряда требует около пяти миллиардов членов, потому что 1/2k + 1 < 10⁻¹⁰ за k > 5 × 10⁹ − 1/2.

Однако формулу Лейбница можно использовать для расчета π с высокой точностью (сотни цифр и более) с использованием различных ускорение схождения техники. Например, Трансформация хвостовика, Преобразование Эйлера или Преобразование Ван Вейнгаардена, которые являются общими методами для знакопеременных рядов, могут быть эффективно применены к частным суммам ряда Лейбница. Кроме того, попарное объединение членов дает не чередующийся ряд

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$

которые можно оценить с высокой точностью из небольшого количества терминов, используя Экстраполяция Ричардсона или Формула Эйлера – Маклорена. Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью Формула Абеля – Планы и оценены с использованием методов для численное интегрирование.

Необычное поведение

Если в нужный момент серия обрезана, десятичное разложение приближения согласуется с π для гораздо большего числа цифр, за исключением отдельных цифр или групп цифр. Например, если взять пять миллионов условий доходности

${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$

где подчеркнутые цифры неправильные. Фактически ошибки можно предсказать; они порождаются Числа Эйлера E_п согласно асимптотический формула

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$

где N целое число, кратное 4. Если N выбрано в виде степени десяти, каждый член в правой сумме становится конечной десятичной дробью. Эта формула является частным случаем формулы суммирования булевых чисел для чередующихся рядов, предоставляя еще один пример техники ускорения сходимости, которая может быть применена к рядам Лейбница. В 1992 г. Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовал первую тысячу чисел Эйлера для вычисления π до 5263 знаков после запятой по формуле Лейбница.

Произведение Эйлера

Формулу Лейбница можно интерпретировать как Серия Дирихле используя уникальный неглавный Dirichlet персонаж по модулю 4. Как и другие ряды Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечный продукт по одному члену для каждого простое число. Такой товар называется Произведение Эйлера. Это:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)\\&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$

В этом продукте каждый термин является сверхчастичное соотношение, каждый числитель представляет собой нечетное простое число, а каждый знаменатель является ближайшим к числителю кратным 4.^[3]

Смотрите также

• Список формул с участием π

Примечания

1. Чарльз Генри Эдвардс (1994). Историческое развитие математического анализа. Springer Study Edition Series (3-е изд.). Springer. п. 247. ISBN  978-0-387-94313-8.
2. Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции, Издательство Кембриджского университета, п. 58, ISBN  0-521-78988-5
3. Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия, World Scientific, стр. 214, г. ISBN  9781848165267.

использованная литература

• Джонатан Борвейн, Дэвид Бейли и Роланд Гирдженсон, Эксперименты в математике - вычислительные пути к открытиям, А. К. Питерс 2003, ISBN  1-56881-136-5, страницы 28–30.

внешняя ссылка

• Формула Лейбница на C, сборка x86 FPU, сборка x86-64 SSE3 и сборка DEC Alpha