Kleetope - Kleetope

В геометрия и многогранная комбинаторика, то Kleetope из многогранник или многомерный выпуклый многогранник п это другой многогранник или многогранник п^K формируется путем замены каждого грань из п с мелкой пирамида.^[1] Клеетопы названы в честь Виктор Клее.^[2]

Примеры

В триакис тетраэдр является Kleetope тетраэдр, то триакис октаэдр является Kleetope октаэдр, а триакис икосаэдр является Kleetope икосаэдр. В каждом из этих случаев Kleetope формируется путем добавления треугольной пирамиды к каждой грани исходного многогранника. Конвей обобщает Кеплер с поцелуй префикс такой же kis оператор.

Клеетопы Платоновы тела

триакис тетраэдр Kleetope of тетраэдр.

тетракис шестигранник Kleetope of куб.

триакис октаэдр Kleetope of октаэдр.

пентакид додекаэдр Kleetope of додекаэдр.

триакис икосаэдр Kleetope of икосаэдр.

В тетракис шестигранник Kleetope из куб, образованный добавлением квадратной пирамиды к каждой из его граней, и пентакид додекаэдр Kleetope из додекаэдр, образованный добавлением пятиугольной пирамиды к каждой грани додекаэдра.

Некоторые другие выпуклые клеетопы

Додекаэдр Kleetope of ромбический додекаэдр.

дисьякис триаконтаэдр Kleetope of ромбический триаконтаэдр.

трипентакис икосододекаэдр Kleetope of икосододекаэдр.

Бипирамиды, например, этот пятиугольная бипирамида, можно рассматривать как Kleetope их соответствующих дигедра.

Базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть Платоново твердое тело. Например, Додекаэдр Kleetope из ромбический додекаэдр, образованный заменой каждого ромб грань додекаэдра ромбической пирамидой, а дисьякис триаконтаэдр Kleetope из ромбический триаконтаэдр. Фактически, базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть Лицо-переходный, как это видно из икосододекаэдра трипентакиса выше.

В График Гольднера – Харари можно представить в виде графа вершин и ребер клейотопы треугольная бипирамида.

Некоторые невыпуклые клеетопы, основанные на Твердые тела Кеплера-Пуансо

малый звездчатый додекаэдр Kleetope of малый звездчатый додекаэдр.

большой звездный додекаэдр Kleetope of большой звездчатый додекаэдр.

додекаэдр большой пентаки Kleetope of большой додекаэдр.

большой триакис икосаэдр Kleetope of большой икосаэдр.

Определения

Один из способов формирования клейотопа многогранника п это разместить новую вершину снаружи п, около центра тяжести каждой грани. Если все эти новые вершины расположены достаточно близко к соответствующим центроидам, то единственными видимыми им другими вершинами будут вершины фасетов, из которых они определены. В этом случае Клитоп из п это выпуклый корпус объединения вершин п и множество новых вершин.^[3]

В качестве альтернативы, Kleetope может быть определен как двойственность и его двойное действие, усечение: Клитоп п это двойственный многогранник усечения двойственного п.

Свойства и приложения

Если п имеет достаточно вершин относительно его размерности, то клейотоп п является размерно однозначный: граф, образованный его ребрами и вершинами, не является графом другого многогранника или многогранника с другой размерностью. Более конкретно, если количество вершин d-мерный многогранник п по крайней мере d²/2, тогда п^K размерно однозначно.^[4]

Если каждый я-мерное лицо d-мерный многогранник п это симплекс, и если я ≤ d − 2, то каждые (я + 1)-мерное лицо п^K тоже симплекс. В частности, клеетопа любого трехмерного многогранника является симплициальный многогранник, многогранник, у которого все грани - треугольники.

Клеетопы можно использовать для создания многогранников, не имеющих Гамильтоновы циклы: любой путь через одну из вершин, добавленных в конструкцию Kleetope, должен входить и выходить из вершины через ее соседей в исходном многограннике, и если новых вершин больше, чем исходных вершин, то соседей недостаточно для обхода. В частности, График Гольднера – Харари Клитоп треугольной бипирамиды имеет шесть вершин, добавленных в конструкции Клитопы, и только пять вершин в бипирамиде, из которой она образована, поэтому она негамильтонова; это простейший возможный негамильтонов симплициальный многогранник.^[5] Если многогранник с п вершины формируются повторением конструкции Клитопа несколько раз, начиная с тетраэдра, затем его самый длинный путь имеет длину O (п^{бревно₃ 2}); это показатель краткости этих графиков бревно₃ 2, примерно 0,630930. Тот же метод показывает, что в любом более высоком измеренииd, существуют симплициальные многогранники с показателем краткости бревно_d 2.^[6] По аналогии, Пламмер (1992) использовал конструкцию Клитопа, чтобы предоставить бесконечное семейство примеров симплициальных многогранников с четным числом вершин, не имеющих идеальное соответствие.

Клетопы также обладают некоторыми экстремальными свойствами, связанными с их степени вершины: если каждое ребро в планарный граф инцидентен по крайней мере семи другим ребрам, то должна существовать вершина степени не выше пяти, все соседи которой, кроме одного, имеют степень 20 или более, и Клиетопа Клитопа икосаэдра представляет собой пример, в котором высокая степень вершины имеют степень ровно 20.^[7]

Примечания

1. Грюнбаум (1963, 1967 ).
2. Малькевич, Иосиф, Люди меняют мир, Американское математическое общество.
3. Грюнбаум (1967), п. 217.
4. Грюнбаум (1963); Грюнбаум (1967), п. 227.
5. Грюнбаум (1967), п. 357; Гольднер и Харари (1975).
6. Луна и Мозер (1963).
7. Джендрол и Мадарас (2005).

Рекомендации

• Джендрол, Станислав; Мадарас, Томаш (2005), «Замечание о существовании вершин малой степени с не более чем одним соседом большой степени в плоских графах», Математические публикации в Татрах, 30: 149–153, МИСТЕР  2190255.
• Goldner, A .; Харари, Ф. (1975), "Замечание о наименьшем негамильтоновом максимальном плоском графе", Бык. Malaysian Math. Soc., 6 (1): 41–42. См. Также тот же журнал 6(2): 33 (1975) и 8: 104-106 (1977). Ссылка из список публикаций Харари.
• Грюнбаум, Бранко (1963), "Однозначные многогранные графы", Израильский математический журнал, 1 (4): 235–238, Дои:10.1007 / BF02759726, МИСТЕР  0185506, S2CID  121075042.
• Грюнбаум, Бранко (1967), Выпуклые многогранники, Wiley Interscience.
• Moon, J. W .; Мозер, Л. (1963), «Простые пути на многогранниках», Тихоокеанский математический журнал, 13 (2): 629–631, Дои:10.2140 / pjm.1963.13.629, МИСТЕР  0154276.
• Пламмер, Майкл Д. (1992), "Расширение паросочетаний в плоских графах IV", Дискретная математика, 109 (1–3): 207–219, Дои:10.1016 / 0012-365X (92) 90292-N, МИСТЕР  1192384.