Гипотезы Капланских - Kaplanskys conjectures

В математик Ирвинг Каплански примечателен тем, что предлагает множество догадки в нескольких отраслях математика, включая список из десяти предположений о Алгебры Хопфа. Их обычно называют Домыслы Капланского.

Групповые кольца

Позволять $K$ быть полем, и $грамм$ а группа без кручения. Гипотеза Капланского о делителе нуля гласит:

В групповое кольцо $K [грамм]$ не содержит нетривиальных делители нуля, то есть это домен.

Две связанные гипотезы:

$K [грамм]$ не содержит нетривиальных идемпотентов, т.е. если $а 2 = а$ , тогда $а = 1$ или же $а = 0$ .
$K [грамм]$ не содержит нетривиальных единиц, т.е. если $ab = 1$ в $K [грамм]$ , тогда $а = кг$ для некоторых $k$ в $K$ и $грамм$ в $грамм$ .

Гипотеза о делителе нуля влечет за собой идемпотентную гипотезу и вытекает из гипотезы о единице. По состоянию на 2019 год все три открыты, хотя есть положительные решения для больших классов групп как для идемпотентной гипотезы, так и для гипотезы о делителе нуля. Например, известно, что гипотеза о делителе нуля верна для всех практически разрешимый групп и, в более общем смысле, также для всех разрешимых групп без кручения. Эти решения сначала устанавливают вывод к Гипотеза Атьи на ${ displaystyle L ^ {2}}$ -Числа Бетти, из которых легко следует гипотеза о делителе нуля.

Идемпотентная гипотеза имеет обобщение: Кадисон идемпотентная гипотеза, также известная как гипотеза Кадисона – Капланского, для элементов в приведенная группа C * -алгебра. В этой настройке известно, что если Гипотеза Фаррелла – Джонса относится к $K [грамм]$ , то следует и идемпотентная гипотеза. Последний был положительно решен для чрезвычайно большого класса групп, включая, например, все гиперболические группы.

Гипотеза о единице, как известно, верна во многих группах, но ее частные решения намного менее надежны, чем два других. Например, существует трехмерная модель без кручения. кристаллографическая группа для которого неизвестно, все ли единицы тривиальны. Неизвестно, что эта гипотеза вытекает из какого-либо аналитического утверждения, подобного двум другим, и поэтому все случаи, когда она, как известно, верна, были установлены с помощью прямого комбинаторного подхода, включающего так называемое свойство уникального произведения.

Банаховы алгебры

Эта гипотеза утверждает, что каждый гомоморфизм алгебр от Банахова алгебра C(Икс) (непрерывные комплекснозначные функции на Икс, куда Икс это компактный Пространство Хаусдорфа ) в любую другую банахову алгебру, обязательно непрерывный. Гипотеза эквивалентна утверждению, что любая норма алгебры на C(Икс) эквивалентно обычному единая норма. (Сам Капланский ранее показал, что каждый полный норма алгебры на C(Икс) эквивалентна равномерной норме.)

В середине 1970-х Х. Гарт Дейлз и Дж. Эстерле независимо друг от друга доказали, что если, кроме того, предположить действительность гипотеза континуума существуют компактные хаусдорфовы пространства Икс и разрывные гомоморфизмы из C(Икс) к некоторой банаховой алгебре, давая контрпримеры к гипотезе.

В 1976 г. Р. М. Соловей (по мотивам работы Х. Вудина) выставлена модель ZFC (Теория множеств Цермело – Френкеля + аксиома выбора ), в котором гипотеза Капланского верна. Гипотеза Капланского, таким образом, является примером утверждение, неразрешимое в ZFC.

Квадратичные формы

В 1953 г. Капланский выдвинул гипотезу о том, что конечные значения u-инварианты может быть только степенью 2.^[1]^[2]

В 1989 г. это предположение было опровергнуто Александр Меркурьев кто продемонстрировал поля с u-инвариантами любых четных м.^[1] В 1999 году, Олег Ижболдин построил поле с u-инвариантом м= 9, что было первым примером нечетного u-инварианта.^[3] В 2006 г. Александр Вишик продемонстрированные поля с u-инвариантом ${ displaystyle m = 2 ^ {k} +1}$ для любого целого числа k начиная с 3.^[4]

Рекомендации

^ ^а ^б Меркурьев, А.С. (1991). «Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм». J Math Sci. 57 (6): 3489. Дои:10.1007 / BF01100118.
^ Капланский, И. (1951). «Квадратичные формы». J. Math. Soc. JPN. 5 (2): 200–207. Дои:10.2969 / jmsj / 00520200.
^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики. Вторая серия. 154 (3): 529–587. Дои:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.
^ Вишик, Александр (2009). «Поля u-инварианта 2 ^ r + 1». Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике. 270: 661. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_22. ISBN 978-0-8176-4746-9.

Х. Г. Дейлс, Автоматическая непрерывность: опрос. Бык. Лондонская математика. Soc. 10 (1978), нет. 2, 129–183.
В. Люк, L²-Инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории. Берлин: Springer 2002 ISBN 3-540-43566-2
Д.С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец, Чистая и прикладная математика, Wiley-Interscience, Нью-Йорк, 1977. ISBN 0-471-02272-1
М. Пушниг, Гипотеза Кадисона – Капланского для словесно-гиперболических групп. Изобретать. Математика. 149 (2002), нет. 1, 153–194.
Х. Г. Дейлз и В. Х. Вудин, Введение в независимость для аналитиков, Кембридж, 1987 г.

[Merkuryev-1] а ^б Меркурьев, А.С. (1991). «Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм». J Math Sci. 57 (6): 3489. Дои:10.1007 / BF01100118.

[2] Капланский, И. (1951). «Квадратичные формы». J. Math. Soc. JPN. 5 (2): 200–207. Дои:10.2969 / jmsj / 00520200.

[3] Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики. Вторая серия. 154 (3): 529–587. Дои:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.

[4] Вишик, Александр (2009). «Поля u-инварианта 2 ^ r + 1». Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике. 270: 661. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_22. ISBN 978-0-8176-4746-9.

[1]

[2]

[3]

[4]