Гипотеза Фаррелла – Джонса - Farrell–Jones conjecture

В математике Гипотеза Фаррелла – Джонса,^[1] названный в честь Ф. Томас Фаррелл и Лоуэлл Э. Джонс, заявляет, что некоторые карты сборки находятся изоморфизмы. Эти карты даны как определенные гомоморфизмы.

Мотивация - интерес к цели сборочных карт; это может быть, например, алгебраическая K-теория из групповое кольцо

${\displaystyle K_{n}(RG)}$

или L-теория группового кольца

${\displaystyle L_{n}(RG)}$,

куда грамм некоторые группа.

Источниками сборочных карт являются эквивариантная теория гомологий оценивается на классификация пространства из грамм по отношению к семье практически циклические подгруппы из грамм. Предполагая, что гипотеза Фаррелла – Джонса верна, можно ограничить вычисления практически циклическими подгруппами, чтобы получить информацию о сложных объектах, таких как ${\displaystyle K_{n}(RG)}$ или же ${\displaystyle L_{n}(RG)}$.

В Гипотеза Баума – Конна формулирует аналогичное утверждение для топологическая K-теория редуцированной группы ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры ${\displaystyle K_{n}^{top}(C_{*}^{r}(G))}$.

Формулировка

На любое кольцо можно найти ${\displaystyle R}$ эквивариантные теории гомологии ${\displaystyle KR_{*}^{?},LR_{*}^{?}}$ удовлетворение

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{n}(R[G])}$ соответственно ${\displaystyle LR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong L_{n}(R[G]).}$

Здесь ${\displaystyle R[G]}$ обозначает групповое кольцо.

K-теоретическая гипотеза Фаррелла – Джонса для группы грамм заявляет, что карта ${\displaystyle p:E_{VCYC}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$ индуцирует изоморфизм на гомологиях

${\displaystyle KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\rightarrow KR_{*}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{*}(R[G]).}$

Здесь ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$ обозначает классификация пространства группы грамм относительно семейства практически циклических подгрупп, т.е. грамм-CW-комплекс, чей группы изотропии виртуально циклические и для любой практически циклической подгруппы группы грамм то набор фиксированной точки является стягиваемый.

Теоретическая L-гипотеза Фаррелла – Джонса аналогична.

Вычислительные аспекты

Вычисление алгебраических K-групп и L-групп группового кольца ${\displaystyle R[G]}$ мотивируется препятствиями, живущими в этих группах (см., например, Препятствие конечности стены, обструкция хирургии, Кручение белой головки ). Итак, предположим, что группа ${\displaystyle G}$ удовлетворяет гипотезе Фаррелла – Джонса для алгебраической K-теории. Предположим, что мы уже нашли модель ${\displaystyle X}$ для классифицирующего пространства для виртуально циклических подгрупп:

${\displaystyle \emptyset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X}$

выбирать ${\displaystyle G}$-pushouts и примените к ним последовательность Майера-Виеториса:

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Эта последовательность упрощается до:

${\displaystyle \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Это означает, что если какая-либо группа удовлетворяет определенной гипотезе об изоморфизме, можно вычислить ее алгебраическую K-теорию (L-теорию), только зная алгебраическую K-теорию (L-теорию) виртуально циклических групп и зная подходящую модель для ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$.

Почему семейство практически циклических подгрупп?

Можно также попытаться учесть, например, семейство конечных подгрупп. С этой семьей намного проще обращаться. Рассмотрим бесконечную циклическую группу ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Модель для ${\displaystyle E_{FIN}(\mathbb {Z} )}$ дается реальной линией ${\displaystyle \mathbb {R} }$, на котором ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ свободно действует переводом. Используя свойства эквивариантной K-теории, получаем

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {R} )=K_{n}(S^{1})=K_{n}(pt)\oplus K_{n-1}(pt)=K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R).}$

В Разложение Басса-Хеллера-Свона дает

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(pt)=K_{n}(R[\mathbb {Z} ])\cong K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R).}$

Действительно, проверяется, что карта сборки задана каноническим включением.

${\displaystyle K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R)}$

Значит, это изоморфизм тогда и только тогда, когда ${\displaystyle NK_{n}(R)=0}$, что имеет место, если ${\displaystyle R}$ это обычное кольцо. Так что в этом случае действительно можно использовать семейство конечных подгрупп. С другой стороны, это показывает, что гипотеза об изоморфизме для алгебраической K-теории и семейства конечных подгрупп неверна. Необходимо распространить эту гипотезу на более широкое семейство подгрупп, которое содержит все контрпримеры. В настоящее время контрпримеры к гипотезе Фаррелла – Джонса не известны. Если есть контрпример, нужно расширить семейство подгрупп до большего семейства, которое содержит этот контрпример.

Наследование гипотез об изоморфизме

Класс групп, удовлетворяющих расслоенной гипотезе Фаррелла – Джонса, включает следующие группы

• виртуально циклические группы (определение)
• гиперболические группы (см. ^[2])
• CAT (0) -группы (см. ^[3])
• разрешимые группы (см. ^[4])
• отображение групп классов (см. ^[5])

Кроме того, у класса есть следующие свойства наследования:

• Замкнутый относительно конечных произведений групп.
• Закрыт при взятии подгруппы.

Мета-гипотеза и гипотезы о расслоенном изоморфизме

Зафиксируем эквивариантную теорию гомологий ${\displaystyle H_{*}^{?}}$. Можно сказать, что группа грамм удовлетворяет гипотезе об изоморфизме семейства подгрупп${\displaystyle F}$, тогда и только тогда, когда отображение, индуцированное проекцией ${\displaystyle E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$ индуцирует изоморфизм на гомологиях:

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{F}(G))\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \})}$

Группа грамм удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства подгрупп F тогда и только тогда, когда для любого гомоморфизма групп ${\displaystyle \alpha :H\rightarrow G}$ группа ЧАС удовлетворяет гипотезе об изоморфизме семейства

${\displaystyle \alpha ^{*}F:=\{H'\leq H|\alpha (H)\in F\}}$.

Сразу видно, что в этой ситуации ${\displaystyle H}$ также удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$.

Принцип транзитивности

Принцип транзитивности - это инструмент для изменения семейства рассматриваемых подгрупп. Учитывая две семьи ${\displaystyle F\subset F'}$ подгрупп ${\displaystyle G}$. Предположим, что каждая группа ${\displaystyle H\in F'}$ удовлетворяет гипотезе о (расслоенном) изоморфизме относительно семейства ${\displaystyle F|_{H}:=\{H'\in F|H'\subset H\}}$.Тогда группа ${\displaystyle G}$ удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме относительно семейства ${\displaystyle F}$ тогда и только тогда, когда он удовлетворяет гипотезе о (расслоенном) изоморфизме относительно семейства ${\displaystyle F'}$.

Гипотезы об изоморфизмах и гомоморфизмы групп

Для любого гомоморфизма групп ${\displaystyle \alpha \colon H\rightarrow G}$ и предположим, что G "'удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства F подгрупп. Тогда также H "'удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$. Например, если ${\displaystyle \alpha }$ имеет конечное ядро ​​семейство ${\displaystyle \alpha ^{*}VCYC}$ согласуется с семейством практически циклических подгрупп группы ЧАС.

Для подходящих ${\displaystyle \alpha }$ можно использовать принцип транзитивности, чтобы снова сократить семью.

Связь с другими предположениями

Гипотеза новикова

Есть также связи между гипотезой Фаррелла – Джонса и Гипотеза новикова. Известно, что если одна из следующих карт

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{VCYC}(G),L_{R}^{\langle -\infty \rangle })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},L_{R}^{\langle -\infty \rangle })=L_{*}^{\langle -\infty \rangle }(RG)}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))}$

рационально инъективно, то гипотеза Новикова верна для ${\displaystyle G}$. См., Например,.^[6][7]

Гипотеза Боста

Гипотеза Боста утверждает, что карта сборки

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K_{l^{1}}^{top})=K_{*}(l^{1}(G))}$

является изоморфизмом. Гомоморфизм колец ${\displaystyle l^{1}(G)\rightarrow C_{r}(G)}$ индуцирует отображения в K-теории ${\displaystyle K_{*}(l^{1}(G))\rightarrow K_{*}(C_{r}(G))}$. Составив верхнюю карту сборки с этим гомоморфизмом, мы получим в точности карту сборки, встречающуюся в Гипотеза Баума-Конна.

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})=H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{*}(C_{r}(G))}$

Гипотеза Капланского

В Гипотеза Капланского предсказывает, что для области целостности ${\displaystyle R}$ и группа без кручения ${\displaystyle G}$ единственные идемпотенты в ${\displaystyle R[G]}$ находятся ${\displaystyle 0,1}$. Каждый такой идемпотент ${\displaystyle p}$ дает проективный ${\displaystyle R[G]}$ модуль, взяв образ правого умножения на ${\displaystyle p}$. Следовательно, кажется, существует связь между гипотезой Капланского и исчезновением ${\displaystyle K_{0}(R[G])}$. Существуют теоремы, связывающие гипотезу Капланского с гипотезой Фаррелла – Джонса (ср. ^[8]).

Рекомендации

1. Фаррелл, Ф. Томас, Джонс, Лоуэлл Э., Гипотезы об изоморфизме в алгебраической K-теории, Журнал Американского математического общества, т. 6, с. 249–297, 1993 г.
2. Бартельс, Артур; Люк, Вольфганг; Райх, Холгер (2006), "K-теоретическая гипотеза Фаррелла-Джонса для гиперболических групп", arXiv:математика / 0609685
3. Бартельс, Артур; Люк, Вольфганг; Райх, Хольгер (2009), Гипотеза Бореля для гиперболических и CAT (0) -групп, arXiv:0901.0442
4. Вегнер, Кристиан (2013), Гипотеза Фаррелла-Джонса для виртуально разрешимых групп, arXiv:1308.2432, Bibcode:2013arXiv1308.2432W
5. Бартельс, Артур; Бествина, Младен (2016), «Гипотеза Фаррелла-Джонса для отображения групп классов», arXiv:1606.02844 [math.GT ]
6. Раники, Эндрю А. «О гипотезе Новикова». Гипотезы Новикова, теоремы об индексе и жесткость, Vol. 1, (Обервольфах 2003). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 272–337.
7. Люк, Вольфганг; Райх, Хольгер (2005). «Гипотезы Баума-Конна и Фаррелла-Джонса в K- и L-теории». Справочник по К-теории. Vol. 1,2. Берлин: Springer. С. 703–842.
8. Бартельс, Артур; Люк, Вольфганг; Райх, Холгер (2008), "О гипотезе Фаррелла-Джонса и ее приложениях", Журнал топологии, 1 (1): 57–86, arXiv:математика / 0703548, Дои:10.1112 / jtopol / jtm008