Группа Харада – Нортон - Harada–Norton group

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Харада – Нортон HN это спорадическая простая группа из порядок

   2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19

= 273030912000000

≈ 3×10¹⁴.

История и свойства

HN является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Харада  (1976 ) и Нортон  (1975 )).

Его Множитель Шура тривиально и его группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2.

HN имеет инволюцию, централизатор имеет вид 2.HS.2, где HS - Группа Хигман-Симс (вот как это нашел Харада).

Простое число 5 играет в группе особую роль. Например, он централизует элемент порядка 5 в Группа монстров (именно так это нашел Нортон), и в результате естественным образом действует на алгебра вершинных операторов над полем с 5 элементами (Люкс, Ноэске и Рыба 2008 ). Это означает, что он действует на 133-мерной алгебре над F₅ с коммутативным, но неассоциативным произведением, аналогичным Алгебра грисса (Рыба 1996 ).

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. За HN, соответствующая серия Маккея-Томпсона ${\displaystyle T_{5A}(\tau )}$ где можно установить постоянный член а (0) = −6 (OEIS: A007251),

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{5A}(\tau )&=T_{5A}(\tau )-6\\&=\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+5^{3}\left({\tfrac {\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\\&={\frac {1}{q}}-6+134q+760q^{2}+3345q^{3}+12256q^{4}+39350q^{5}+\dots \end{aligned}}}$

и η(τ) это Функция Дедекинда эта.

Максимальные подгруппы

Нортон и Уилсон (1986) найдено 14 классов сопряженности максимальные подгруппы из HN следующее:

• А₁₂
• 2.HS.2
• U₃(8):3
• 2¹⁺⁸. (А₅ × А₅).2
• (D₁₀ × U₃(5)).2
• 5¹⁺⁴.2¹⁺⁴.5.4
• 2⁶.U₄(2)
• (А₆ × А₆) .D₈
• 2³⁺²⁺⁶. (3 × L₃(2))
• 5²⁺¹⁺².4.A₅
• M₁₂: 2 (Два класса, слитые внешним автоморфизмом)
• 3⁴: 2. (A₄ × А₄).4
• 3¹⁺⁴: 4.A₅

Рекомендации

• Харада, Коитиро (1976), "О простой группе F порядка 2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19", Труды конференции по конечным группам (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 119–276, МИСТЕР  0401904
• Люкс, Клаус; Ноэске, Феликс; Рыба, Александр Дж. Э. (2008), "5-модульные характеры спорадической простой группы Харады – Нортона HN и ее группы автоморфизмов HN.2", Журнал алгебры, 319 (1): 320–335, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2007.03.046, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  2378074
• С. П. Нортон, F и другие простые группы, Докторская диссертация, Кембридж, 1975.
• Norton, S.P .; Уилсон, Роберт А. (1986), "Максимальные подгруппы группы Харада-Нортона", Журнал алгебры, 103 (1): 362–376, Дои:10.1016/0021-8693(86)90192-4, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0860712
• Рыба, Александр Дж. Э. (1996), "Естественная инвариантная алгебра для группы Харада-Нортона", Математические труды Кембриджского философского общества, 119 (4): 597–614, Дои:10.1017 / S0305004100074454, ISSN  0305-0041, МИСТЕР  1362942

внешняя ссылка

• MathWorld: Harada – Norton Group
• Атлас представлений конечных групп: группа Харада – Нортона