Гибкий многогранник - Flexible polyhedron

Многогранник Штеффена, простейший из возможных несамопересекающихся изгибаемых многогранников

В геометрия, а гибкий многогранник это многогранная поверхность без каких-либо граничных краев, форма которых может непрерывно изменяться, сохраняя неизменными формы всех его граней. В Теорема Коши о жесткости показывает, что в размерности 3 такой многогранник не может быть выпуклый (это верно и для высших измерений).

Первые примеры изгибаемых многогранников, теперь называемых Октаэдры Брикара, были обнаружены Рауль Брикар  (1897 ). Это самопересекающиеся поверхности изометрический для октаэдр. Первый пример гибкой несамопересекающейся поверхности в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, то Сфера Коннелли, был обнаружен Роберт Коннелли  (1977 ). Многогранник Штеффена - еще один несамопересекающийся изгибаемый многогранник, полученный из октаэдров Брикара.^[1]

Гипотеза мехов

В конце 1970-х Коннелли и Д. Салливан сформулировал гипотеза мехов заявляя, что объем изгибаемого многогранника инвариантен относительно изгибания. Эта гипотеза доказана для многогранников гомеоморфный к сфера И.Х. Сабитов (1995 )с помощью теория исключения, а затем доказано для общих ориентируемый Двумерные многогранные поверхности Роберта Коннелли, И. Сабитова и Анке Вальц (1997 ). Доказательство распространяется Пьеро делла Франческа формула для объем тетраэдра к формуле объема любого многогранника. Расширенная формула показывает, что объем должен быть корнем многочлена, коэффициенты которого зависят только от длин ребер многогранника. Поскольку длины ребер не могут изменяться при изгибе многогранника, объем должен оставаться в одном из конечного числа корней многочлена, а не изменяться непрерывно.^[2]

Ножничная конгруэнтность

Коннелли предположил, что Инвариант Дена изгибаемого многогранника инвариантен относительно изгибания. Это было известно как гипотеза о сильных мехах или (после того, как это было доказано в 2018 г.) теорема о сильных мехах.^[3]Общая средняя кривизна гибкого многогранника, определяемого как сумма произведений длин ребер на внешние двугранные углы, является функцией инварианта Дена, который, как известно, остается постоянным, пока многогранник изгибается.^[4]

Обобщения

Гибкий 4-многогранники в 4-мерном евклидовом пространстве и 3-х мерном гиперболическое пространство были изучены Хельмут Стачель  (2000 ). В габаритах ${displaystyle ngeq 5}$, гибкие многогранники построены Гайфуллин (2014).

Смотрите также

• Flexagon
• Жесткое оригами

Рекомендации

Примечания

1. Александров (2010).
2. Демейн и О'Рурк (2007).
3. Гафуллин и Игнащенко (2018).
4. Александр (1985).

Основные источники

• Александр, Ральф (1985), "Липшицевы отображения и полная средняя кривизна многогранных поверхностей. I", Труды Американского математического общества, 288 (2): 661–678, Дои:10.2307/1999957, JSTOR  1999957, МИСТЕР  0776397.
• Александров, Виктор (2010), "Инварианты Дена октаэдров Брикара", Журнал геометрии, 99 (1–2): 1–13, arXiv:0901.2989, Дои:10.1007 / s00022-011-0061-7, МИСТЕР  2823098.
• Брикар, Р. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé", J. Math. Pures Appl., 5 (3): 113–148, архивировано с оригинал на 2012-02-16, получено 2008-07-27
• Коннелли, Роберт (1977), «Контрпример к гипотезе о жесткости многогранников», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 47 (47): 333–338, Дои:10.1007 / BF02684342, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  0488071
• Коннелли, Роберт; Сабитов, И .; Вальц, Анке (1997), "Гипотеза мехов", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 38 (1): 1–10, ISSN  0138-4821, МИСТЕР  1447981
• Гайфуллин, Александр А. (2014), "Гибкие кросс-многогранники в пространствах постоянной кривизны", Труды Математического института им. В. А. Стеклова., 286 (1): 77–113, arXiv:1312.7608, Дои:10.1134 / S0081543814060066, МИСТЕР  3482593.
• Gafullin, A. A .; Игнащенко, Л. С. (2018), "Инвариант Дена и ножничная конгруэнтность изгибаемых многогранников", Труды Математического Института Имени V, 302 (Топология и физика): 143–160, Дои:10.1134 / S0371968518030068, ISBN  5-7846-0147-4, МИСТЕР  3894642.
• Сабитов, И. Х. (1995), "К проблеме неизменности объема деформируемого многогранника", Российская Академия Наук. Московское математическое общество. Успехи математических наук., 50 (2): 223–224, ISSN  0042-1316, МИСТЕР  1339277
• Стахель, Хельмут (2006), «Гибкие октаэдры в гиперболическом пространстве», в A. Prékopa; и другие. (ред.), Неевклидовы геометрии (мемориальный том Яноша Бойяи), Математика и ее приложения, 581, Нью-Йорк: Springer, стр. 209–225, CiteSeerX  10.1.1.5.8283, Дои:10.1007/0-387-29555-0_11, ISBN  978-0-387-29554-1, МИСТЕР  2191249.
• Стахель, Хельмут (2000), «Гибкие кросс-многогранники в четырехмерном евклидовом пространстве» (PDF), Журнал геометрии и графики, 4 (2): 159–167, МИСТЕР  1829540.

Вторичные источники

• Коннелли, Роберт (1979), «Жесткость многогранных поверхностей», Математический журнал, 52 (5): 275–283, Дои:10.2307/2689778, JSTOR  2689778, МИСТЕР  0551682.
• Коннелли, Роберт (1981), "Гибкие поверхности", в Кларнер, Дэвид А. (ред.), Математический Гарднер, Springer, стр. 79–89, Дои:10.1007/978-1-4684-6686-7_10, ISBN  978-1-4684-6688-1.
• Коннелли, Роберт (1993), «Жесткость» (PDF), Справочник по выпуклой геометрии, Вып. А, Б, Амстердам: Северная Голландия, стр. 223–271, МИСТЕР  1242981.
• Демейн, Эрик Д.; О'Рурк, Джозеф (2007), «23.2 Гибкие многогранники», Геометрические алгоритмы складывания: связки, оригами, многогранники, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 345–348, Дои:10.1017 / CBO9780511735172, ISBN  978-0-521-85757-4, МИСТЕР  2354878.
• Фукс, Дмитрий; Табачников, Серж (2007), "Лекция 25. Гибкие многогранники", Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 345–360, Дои:10.1090 / МБК / 046, ISBN  978-0-8218-4316-1, МИСТЕР  2350979

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн, Гибкий многогранник (Гипотеза мехов ) в MathWorld.