Lills метод - Lills method

В математика, Метод Лилля это визуальный метод поиска настоящий корни из многочлены любой степень.^[1] Его разработал австрийский инженер. Эдуард Лилль в 1867 г.^[2] Более поздняя статья Лилла была посвящена проблеме сложный корни.^[3]

Метод Лилля включает выражение коэффициентов полинома в виде величин сегментов, расположенных под прямым углом друг к другу, начиная с начала координат, создавая путь к конечной точке, а затем находя путь не под прямым углом от начала до конечной точки, отражающий или преломляющийся на линии первого пути.

Описание метода

Нахождение корней кубики 4Икс³+2Икс²−2Икс−1 по методу Лилля. Корни равны −1/2, −1 /√2, 1/√2. Числа на черных сегментах - это расстояния (коэффициенты в уравнении), а число, показанное на цветной линии, - это отрицательное значение наклона и, следовательно, действительный корень полинома.

Чтобы использовать этот метод, начертание диаграммы начинается с начала координат. Линейный сегмент рисуется вправо на величину первого коэффициента (коэффициент члена наивысшей степени) (так, чтобы при отрицательном коэффициенте сегмент заканчивался слева от начала координат). От конца первого сегмента проводится другой сегмент вверх на величину второго коэффициента, затем влево на величину третьего и вниз на величину четвертого и т. Д. Последовательность направлений (не поворотов) всегда направо, вверх, влево, вниз, затем повторяется. Таким образом, каждый поворот идет против часовой стрелки. Процесс продолжается для каждого коэффициента полинома, включая нули, с отрицательными коэффициентами, «идущими назад». Конечная достигнутая точка в конце отрезка, соответствующего постоянному члену уравнения, является концом.

Затем линия запускается от начала координат под некоторым углом. θ, отраженный от каждого сегмента линии под прямым углом (не обязательно "естественный" угол отражения), и преломленный под прямым углом через линию, проходящую через каждый сегмент (включая линию для нулевых коэффициентов), когда наклонная траектория не попадает в линейный сегмент на этой линии.^[4] Вертикальные и горизонтальные линии отражаются или преломляются в следующей последовательности: линия, содержащая сегмент, соответствующий коэффициенту ${\displaystyle x^{n-1},}$ затем из ${\displaystyle x^{n-2},}$ и т. д. Выбор θ так, чтобы путь попал на конечную точку, отрицательную касательную θ является корнем этого многочлена. Для каждого действительного нуля полинома будет один уникальный начальный угол и путь, который попадет в конечную точку. Например, квадратичный с двумя действительными корнями будет иметь ровно два угла, которые удовлетворяют указанным выше условиям.

Действующая конструкция оценивает полином в соответствии с Метод Хорнера. Для полинома ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots }$ ценности ${\displaystyle a_{n}x}$, ${\displaystyle (a_{n}x+a_{n-1})x}$, ${\displaystyle ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x,\ \dots }$ генерируются последовательно. Линия решения, дающая корень, аналогична построению Лилла для многочлена с удаленным корнем.

В 1936 г. Маргарита Пьяццола Белох показали, как можно адаптировать метод Лилла для решения кубических уравнений с использованием складывание бумаги.^[5] Если разрешены одновременные складки, то любой пУравнение степени с действительным корнем может быть решено с помощью п–2 одновременных складки.^[6]

Смотрите также

• Карлайл круг, который основан на слегка модифицированной версии метода Лилла для нормированной квадратичной функции.

Рекомендации

1. Дэн Калман (2009). Необычные математические экскурсии: полиномия и связанные области. AMS. стр.13 –22. ISBN  978-0-88385-341-2.
2. М. Э. Лилль (1867). "Графическое решение уравнений числовых де тус градусов à une seule inconnue, et description d'un instrument createdé dans ce but" (PDF). Nouvelles Annales de Mathématiques. 2. 6: 359–362.
3. М. Э. Лилль (1868). "Графическое решение экологических уравнений, которое не может не создавать воображаемых рас" (PDF). Nouvelles Annales de Mathématiques. 2. 7: 363–367.
4. Брэдфорд, Филлипс Вернер. «Визуализация решений алгебраических уравнений n-й степени с использованием прямоугольных геометрических путей». www.concentric.net. Архивировано из оригинал 2 мая 2010 г.. Получено 3 февраля 2012.
5. Томас К. Халл (апрель 2011 г.). «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилла» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал: 307–315. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307.
6. Роджер С. Альперин; Роберт Дж. Лэнг (2009). "Аксиомы одно-, двух- и многовариантного оригами" (PDF). 4OSME. А. К. Питерс.

внешняя ссылка

• Анимация для метода Лилла
• Видео Mathologer: «Решение уравнений путем стрельбы по черепахам с помощью лазера»