Карлайл круг - Carlyle circle

В математика, а Карлайл круг (назван в честь Томас Карлайл ) является определенным круг в координатная плоскость связанный с квадратное уровненеие. Круг обладает тем свойством, что решения квадратного уравнения - горизонтальные координаты пересечений окружности с Горизонтальная ось. Круги Карлайла использовались для разработки линейки-компас конструкции из правильные многоугольники.

Определение

Круг Карлейля квадратного уравнения Икс2 − sx + п = 0.

Учитывая квадратное уравнение

Икс2 − sx + п = 0

круг в координатная плоскость имеющий отрезок линии, соединяющий точки А(0, 1) и B(s, п) как диаметр называется диаметром Карлайл круг квадратного уравнения. [1][2][3]

Определение собственности

Определяющее свойство круга Карлайла может быть установлено таким образом: уравнение круга, имеющего отрезок AB в качестве диаметра, равно

Икс(Икс − s) + (у − 1)(у − п) = 0.

В абсцисс точек пересечения круга с Икс-оси являются корнями уравнения (полученного путем задания у = 0 в уравнении круга)

Икс2 − sx + п = 0.

Построение правильных многоугольников

Строительство регулярных пятиугольник используя круги Карлайла
Строительство регулярного гептадекагон используя круги Карлайла
Строительство регулярного 257-угольник используя круги Карлайла

Правильный пятиугольник

Задача построения правильного пятиугольника эквивалентна задаче построения корней уравнения

z5 − 1 = 0.

Один из корней этого уравнения равен z0 = 1, что соответствует точке п0(1, 0). Если убрать множитель, соответствующий этому корню, остальные корни окажутся корнями уравнения

z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

Эти корни можно представить в виде ω, ω2, ω3, ω4 где ω = exp (2πя/ 5). Пусть они соответствуют точкам п1, п2, п3, п4. Сдача

п1 = ω + ω4, п2 = ω2 + ω3

у нас есть

п1 + п2 = −1, п1п2 = -1. (Можно быстро показать, что это правда, путем прямой подстановки в приведенную выше четверку и отмечая, что ω6 = ω и ω7 = ω2.)

Так п1 и п2 являются корнями квадратного уравнения

Икс2 + Икс − 1 = 0.

Окружность Карлейля, связанная с этой квадратичной кривой, имеет диаметр с концами в точках (0, 1) и (−1, −1) и центром в (−1/2, 0). Круги Карлейля используются для построения п1 и п2. Из определений п1 и п2 из этого также следует, что

п1 = 2 cos (2π/5), п2 = 2 cos (4π/5).

Затем они используются для построения точек п1, п2, п3, п4.

Эта подробная процедура с использованием кругов Карлайла для построения регулярных пятиугольники приведен ниже.[3]

  1. Нарисовать круг в который вписать пятиугольник и отметить центральную точкуО.
  2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметьте одно пересечение с кругом как точкуB.
  3. Проведите вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом как точку А.
  4. Постройте точку M как середина О и B.
  5. Нарисуйте круг с центром в M через точку А. Это круг Карлайла для Икс2 + Икс - 1 = 0. Отметьте его пересечение с горизонтальной линией (внутри исходного круга) как точку W и его пересечение вне круга как точка V. Это точки п1 и п2 упомянутый выше.
  6. Нарисуйте круг радиуса OA и центр W. Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  7. Нарисуйте круг радиуса OA и центр V. Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  8. Пятая вершина - это пересечение горизонтальной оси с исходной окружностью.

Обычный гептадекагон

Существует аналогичный метод с использованием кругов Карлайла для построения регулярных гептадекагоны.[3] Рисунок справа иллюстрирует процедуру.

Обычный 257-угольный

Построить регулярный 257-угольник используя круги Карлайла, нужно построить 24 круга Карлайла. Один из них - круг для решения квадратного уравнения Икс2 + Икс − 64 = 0.[3]

Обычный 65537-угольник

Существует процедура с использованием кругов Карлайла для построения регулярного 65537-угольник. Однако есть практические проблемы с выполнением процедуры; например, для решения квадратного уравнения требуется построение круга Карлайла Икс2 + Икс − 214 = 0.[3]

История

Решение Карлайла проблемы Лесли. Сегмент черной линии разделен на два сегмента таким образом, что два сегмента образуют прямоугольник (зеленый), имеющий равную площадь с другим заданным прямоугольником (красный).

В соответствии с Говард Ивс (1911–2004) математик Джон Лесли (1766–1832) описал геометрическое построение корней квадратного уравнения с окружностью в своей книге. Элементы геометрии и отметил, что эту идею предложил его бывший ученик Томас Карлайл (1795–1881).[4] Однако хотя описание в книге Лесли содержит аналогичную конструкцию круга, оно было представлено исключительно в элементарных геометрических терминах без понятия декартовой системы координат или квадратичной функции и ее корней:[5]

Разделить прямую линию внутри или снаружи так, чтобы прямоугольник под ее сегментами был эквивалентен данному прямоугольнику.

— Джон Лесли, Элементы геометрии, опора. XVII, стр. 176[5]

В 1867 г. австрийский инженер Эдуард Лилль опубликовал графический метод определения корней многочлена (Метод Лилля ). Если его применить к квадратичной функции, то получится фигура трапеции из решения Карлайла задачи Лесли (см. Рисунок) с одной из сторон, являющейся диаметром окружности Карлайла. В статье 1925 года Г.А. Миллер указал, что небольшая модификация метода Лилла, примененная к нормированной квадратичной функции, дает круг, который позволяет геометрическое построение корней этой функции, и дал явное современное определение того, что позже было названо Карлейлем. круг.[6]

Ева использовала круг в современном смысле этого слова в одном из упражнений своей книги. Введение в историю математики (1953) и указал на связь с Лесли и Карлайлом.[4] Позже публикации начали принимать имена Карлайл круг , Карлайл метод или же Алгоритм Карлайла, хотя в немецкоязычных странах термин Лилль круг (Лилль-Крейс) также используется.[7] ДеТемпл использовал в 1989 и 1991 годах в кругах Карлайла для разработки Компасно-линейчатые конструкции для правильных многоугольников, в частности пятиугольник, то гептадекагон, то 257-угольник и 65537-угольник. Ладислав Беран описал в 1999 году, как круг Карлайла можно использовать для построения комплексных корней нормированной квадратичной функции.[8]

Рекомендации

  1. ^ Э. Джон Хорнсби-младший: Геометрические и графические решения квадратных уравнений.. Математический журнал колледжа, Vol. 21, № 5 (ноябрь 1990 г.), стр. 362–369 (JSTOR )
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Карлайл Серкл". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Получено 21 мая 2013.
  3. ^ а б c d е ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Круги Карлейля и лемуанская простота многоугольных построений» (PDF). Американский математический ежемесячник. 98 (2): 97–208. Дои:10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Архивировано из оригинал (PDF) на 2015-12-21. Получено 6 ноября 2011. (JSTOR )
  4. ^ а б См., Например, Хорнсби, ДеТемпл или Говард Ивс: Введение в историю математики. Холт, Райнхарт и Уинстон, 3-е издание, 1969 г., стр. 73
  5. ^ а б Джон Лесли: Элементы геометрии и плоской тригонометрии: с приложением, множеством примечаний и иллюстраций. Archibald Constable & Co, 3. Ausgabe, 1817, стр. 176, 340 (онлайн-копия (Google) ). Обратите внимание, что комментарий о Карлайле не содержится в более ранних изданиях книги (1809, 1811).
  6. ^ Г. А. Миллер: Геометрическое решение квадратного уравнения.. The Mathematical Gazette, Vol. 12, No. 179 (декабрь 1925 г.), стр. 500–501 (JSTOR )
  7. ^ Райнер Кендерс (редактор), Райнхард Шмидт (редактор): Mit GeoGebra mehr Mathematik Verstehen. Springer Spektrum, 2-е издание, 2014 г., ISBN  978-3-658-04222-6, стр. 68-71 (Немецкий)
  8. ^ Ладислав Беран: Комплексные корни квадратичной из окружности. The Mathematical Gazette, Vol. 83, № 497 (июл., 1999), стр. 287–291 (JSTOR )