Теорема единственности Александрова - Alexandrovs uniqueness theorem

В Александрова теорема единственности это теорема жесткости в математике, описывая трехмерное выпуклые многогранники с точки зрения расстояний между точками на их поверхностях. Это означает, что выпуклые многогранники, форма которых отличается друг от друга, также имеют различные формы. метрические пространства поверхностных расстояний, и он характеризует метрические пространства, которые возникают из поверхностных расстояний на многогранниках. Назван в честь советского математика. Александр Данилович Александров, опубликовавший ее в 1940-х гг.[1][2][3]

Формулировка теоремы

Поверхность любого выпуклого многогранника в Евклидово пространство образует метрическое пространство, в котором расстояние между двумя точками измеряется длиной кратчайший путь от одной точки до другой по поверхности. В пределах одного кратчайшего пути расстояния между парами точек равны расстояния между соответствующими точками отрезок такой же длины; путь с этим свойством известен как геодезический Это свойство полиэдральных поверхностей, что каждая пара точек соединена геодезической, неверно для многих других метрических пространств, и, когда это правда, пространство называется геодезическим. Геодезическое пространство, образованное из поверхности многогранника, называется его разработка.[3]

Четыре правильных шестиугольника можно сложить и склеить, чтобы получился правильный октаэдр.[4] В этом примере края шестиугольников не падают на края октаэдра.

Многогранник можно представить как сложенный из листа бумаги ( сеть для многогранника) и наследует ту же геометрию, что и бумага: для каждой точки п внутри грани многогранника достаточно малый открытый район из п будут иметь те же расстояния, что и подмножество Евклидова плоскость. То же самое верно даже для точек на ребрах многогранника: их можно локально моделировать как евклидову плоскость, сложенную по прямой и вложенную в трехмерное пространство, но складка не меняет структуру кратчайших путей вдоль поверхности. . Однако вершины многогранника имеют различную дистанционную структуру: локальная геометрия вершины многогранника такая же, как локальная геометрия вершины многогранника. конус. Любой конус можно сформировать из плоского листа бумаги со снятым с него клином, склеив срезанные края там, где клин был удален. Угол снятого клина называется угловой дефект вершины; это положительное число меньше 2π. Дефект вершины многогранника можно измерить, вычтя углы граней в этой вершине из 2π. Например, в правильном тетраэдре каждый угол граней равен π/ 3, и их по три в каждой вершине, поэтому вычитая их из 2π оставляет дефект π в каждой из четырех вершин. Точно так же куб имеет дефект π/ 2 в каждой из восьми вершин. Теорема Декарта о полном угловом дефекте (форма Теорема Гаусса – Бонне ) утверждает, что сумма угловых дефектов всех вершин всегда ровно 4π. Таким образом, развитие выпуклого многогранника является геодезическим, гомеоморфный (топологически эквивалентен) сфере и локально евклидову, за исключением конечного числа точек конуса, сумма углового дефекта которых составляет 4π.[3]

Теорема Александрова дает обратное этому описанию. Он утверждает, что если метрическое пространство является геодезическим, гомеоморфным сфере и локально евклидовым, за исключением конечного числа точек конуса положительного углового дефекта в сумме 4π, то существует выпуклый многогранник, развертка которого есть заданное пространство. Более того, этот многогранник однозначно определяется из метрики: любые два выпуклых многогранника с одинаковой метрикой поверхности должны быть конгруэнтный друг к другу как трехмерные множества.[3]

Ограничения

Многогранник, представляющий данное метрическое пространство, может быть выродиться: он может образовывать двумерный выпуклый многоугольник с двойным покрытием (a диэдр ), а не полностью трехмерный многогранник. В этом случае его поверхностная метрика состоит из двух копий многоугольника (двух его сторон), склеенных по соответствующим ребрам.[3][5]

Правильный икосаэдр имеет ту же поверхностную метрику, что и невыпуклый дельтаэдр в которой одна из пяти треугольных пирамид вдавлена ​​внутрь, а не выступает

Хотя теорема Александрова утверждает, что существует единственный выпуклый многогранник, поверхность которого имеет заданную метрику, также возможно существование невыпуклых многогранников с такой же метрикой. Пример дается правильный икосаэдр: если пять из его треугольников удалены и заменены пятью совпадающими треугольниками, образующими углубление в многограннике, полученная метрика поверхности останется неизменной.[6]

Развитие любого многогранника можно конкретно описать набором двумерных многоугольников вместе с инструкциями по их склеиванию по ребрам, чтобы сформировать метрическое пространство, а условия теоремы Александрова для пространств, описанных таким образом, легко проверяются. Однако края, на которых склеены два многоугольника, могут стать плоскими и лежать внутри граней полученного многогранника, а не стать ребрами многогранника. (В качестве примера этого явления см. Иллюстрацию четырех шестиугольников, склеенных для образования октаэдра.) Следовательно, даже когда развитие описывается таким образом, может быть неясно, какую форму имеет получившийся многогранник, какие формы имеют его грани. , или даже сколько у него лиц. Оригинальное доказательство Александрова не приводит к алгоритм для построения многогранника (например, путем задания координат его вершин), реализующего данное метрическое пространство. В 2008 году Бобенко и Изместьев представили такой алгоритм.[7] Их алгоритм может аппроксимировать координаты произвольно точно, в псевдополиномиальное время.[8]

Связанные результаты

Одна из первых теорем существования и единственности выпуклых многогранников - это Теорема Коши, который утверждает, что выпуклый многогранник однозначно определяется формой и связностью его граней. Теорема Александрова усиливает это, показывая, что даже если граням разрешено изгибаться или складываться, не растягиваясь или сжимаясь, их связь все равно определяет форму многогранника. В свою очередь, доказательство Александрова части существования его теоремы использует усиление теоремы Коши следующим образом: Макс Ден к бесконечно малая жесткость.[3]

Аналогичный результат Александрова верен для гладких выпуклых поверхностей: двумерная гладкое многообразие чья общая Гауссова кривизна это 4π можно однозначно представить как поверхность гладкого выпуклого тела в трех измерениях. Это результат Стефан Кон-Фоссен с 1927 г. Алексей Погорелов обобщил оба этих результата, охарактеризовав развитие произвольных выпуклых тел в трех измерениях.[3]

Другой результат Погорелова о геодезических метрических пространствах, полученных из выпуклых многогранников, является версией теорема трех геодезических: каждый выпуклый многогранник имеет не менее трех простых замкнутых квазигеодезических. Это кривые, которые являются локально прямыми линиями, за исключением тех случаев, когда они проходят через вершину, где они должны иметь углы меньше π по обе стороны от них.[9]

Развитие идеальные гиперболические многогранники можно охарактеризовать аналогично выпуклым евклидовым многогранникам: любое двумерное многообразие с однородной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное сфере с конечными пунктами, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника.[10]

Рекомендации

  1. ^ Сенешаль указывает дату 1941 года, а О'Рурк - 1948 год. Сенешаль, Марджори (2013), Формирование пространства: изучение многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении, Springer, стр. 62, ISBN  9780387927145. О’Рурк, Джозеф (2011), Как сложить: математика связок, оригами и многогранники, Cambridge University Press, стр. 134, ISBN  9781139498548.
  2. ^ Александров, А. (2006), Выпуклые многогранники, Монографии Springer по математике, Springer, ISBN  9783540263401. Перевод на английский Н. С. Даирбеков, С. С. Кутателадзе, А. Б. Сосинский. Часть теоремы о единственности рассматривается в главе 3, а часть существования - в главе 4.
  3. ^ а б c d е ж грамм Коннелли, Роберт (Март 2006 г.), "Выпуклые многогранники А.Д. Александрова » (PDF), SIAM Обзор, 48 (1): 157–160, Дои:10.1137 / SIREAD000048000001000149000001, JSTOR  204537
  4. ^ Храмцова, Елена; Лангерман, Стефан (2017), «Какие выпуклые многогранники можно сделать, склеив правильные шестиугольники?», Тезисы 20-й Японской конференции по дискретной и вычислительной геометрии, графам и играм (PDF), стр. 63–64, архивировано с оригинал (PDF) на 2017-09-12, получено 2018-02-27
  5. ^ О'Рурк, Джозеф (2010), О плоских многогранниках, вытекающих из теоремы Александрова, arXiv:1007.2016, Bibcode:2010arXiv1007.2016O
  6. ^ Хартсхорн, Робин (2000), «Пример 44.2.3,» штампованный икосаэдр"", Геометрия: Евклид и не только, Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, с. 442, г. Дои:10.1007/978-0-387-22676-7, ISBN  0-387-98650-2, МИСТЕР  1761093.
  7. ^ Бобенко, Александр I .; Изместьев, Иван (2008), «Теорема Александрова, взвешенные триангуляции Делоне и смешанные объемы», Annales de l'Institut Fourier, 58 (2): 447–505, arXiv:математика / 0609447, МИСТЕР  2410380
  8. ^ Кейн, Дэниел; Прайс, Грегори Н .; Демейн, Эрик Д. (2009), «Псевдополиномиальный алгоритм теоремы Александрова» в Дене, Франк; Гаврилова, Марина; Мешок, Йорг-Рюдигер; Тот, Чаба Д. (ред.), Алгоритмы и структуры данных. 11-й Международный симпозиум, WADS 2009, Банф, Канада, 21–23 августа 2009 г., Протоколы, Конспект лекций по информатике, 5664, Берлин: Springer, стр. 435–446, arXiv:0812.5030, Дои:10.1007/978-3-642-03367-4_38, ISBN  978-3-642-03366-7, МИСТЕР  2550627
  9. ^ Погорелов Алексей В. (1949), «Квазигеодезические линии на выпуклой поверхности», Математический сборник (на русском), 25 (62): 275–306, МИСТЕР  0031767
  10. ^ Спрингборн, Борис (2020), "Идеальные гиперболические многогранники и дискретная униформизация", Дискретная и вычислительная геометрия, 64 (1): 63–108, Дои:10.1007 / s00454-019-00132-8, МИСТЕР  4110530