Развитие (дифференциальная геометрия) - Development (differential geometry)

В классическом дифференциальная геометрия, разработка относится к простой идее прокатки одного гладкого поверхность над другим в Евклидово пространство. Например, касательная плоскость на поверхность (например, сфера или цилиндр ) на точка можно катать по поверхности, чтобы получить касательную плоскость в других точках.

Характеристики

Тангенциальный контакт между поверхностями, катящимися друг по другу, обеспечивает связь между точками на двух поверхностях. Если это отношение (возможно, только в местный смысл) а биекция между поверхностями, то эти две поверхности называются развивающийся друг на друга или события друг друга. Иными словами, переписка дает изометрия, локально, между двумя поверхностями.

В частности, если одна из поверхностей является плоскостью, то другая называется разворачивающаяся поверхность: таким образом, развертывающаяся поверхность - это поверхность, которая локально изометрична плоскости. Цилиндр разворачивающийся, а шар - нет.

Плоские соединения

Дальнейшее развитие можно обобщить, используя плоские соединения. С этой точки зрения катание касательной плоскости по поверхности определяет аффинная связь на поверхности (это пример параллельный транспорт вдоль изгиб ), а разворачивающаяся поверхность - такая, для которой это соединение является плоским.

В целом любая квартира Картановое соединение на многообразие определяет развитие этого многообразия на модельное пространство. Пожалуй, самый известный пример - разработка конформно плоский п-многообразия, в которых модельное пространство является п-сфера. Развитие конформно плоского многообразия - это конформный локальный диффеоморфизм от универсальный чехол коллектора к п-сфера.

Неразвивающиеся поверхности

К классу поверхностей двойной кривизны (неразвертываемые поверхности) относятся объекты, которые нельзя просто развернуть (развернуть). Такие поверхности можно построить только приближенно при некоторых искажениях линейных элементов поверхности (см. Метод растянутой сетки )

Смотрите также

• Развивающаяся поверхность
• Линейчатая поверхность

Рекомендации

• Шарп, Р.В. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-94732-9.