Теорема Фаррелла – Маркушевича. - Farrell–Markushevich theorem

В математика, то Теорема Фаррелла – Маркушевича.независимо доказанный О. Дж. Фарреллом (1899–1981) и А. И. Маркушевичем (1908–1979) в 1934 г., является результатом, касающимся приближения в среднем квадрате голоморфные функции на ограниченном открытом множестве в комплексная плоскость комплексными многочленами. Он утверждает, что комплексные многочлены образуют плотное подпространство Пространство Бергмана области, ограниченной простым замкнутым Кривая Иордании. В Процесс Грама – Шмидта может быть использован для построения ортонормированного базиса в пространстве Бергмана и, следовательно, явного вида Ядро Бергмана, что, в свою очередь, дает явный Функция отображения Римана для домена.

Доказательство

Пусть Ω - ограниченная жорданова область и пусть Ω_п - ограниченные жордановы области, убывающие до Ω, причем Ω_п содержащую замыкание Ω_{п + 1}. По теореме об отображении Римана существует конформное отображение ж_п из Ω_п на Ω, нормированный, чтобы зафиксировать заданную точку в Ω с положительной производной. Посредством Теорема о ядре Каратеодори ж_п(z) сходится равномерно на компактах в Ω к z.^[1] Фактически из теоремы Каратеодори следует, что обратные отображения равномерно на компактах стремятся к z. Учитывая подпоследовательность ж_п, она имеет сходящуюся на компактах в Ω подпоследовательность. Поскольку обратные функции сходятся к z, то подпоследовательность сходится к z на компактах. Следовательно ж_п сходится к z на компактах в Ω.

Как следствие, производная от ж_п стремится к 1 равномерно на компактах.

Позволять грамм - квадратично интегрируемая голоморфная функция на Ω, т.е.элемент пространства Бергмана A²(Ω). Определять грамм_п на Ω_п к грамм_п(z) = грамм(ж_п(z))ж_п'(z). Путем замены переменной

${\displaystyle \displaystyle {\|g_{n}\|_{\Omega _{n}}^{2}=\|g\|_{\Omega }^{2}.}}$

Позволять час_п быть ограничением грамм_п к Ω. Тогда норма час_п меньше, чем у грамм_п. Таким образом, эти нормы равномерно ограничены. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно поэтому предположить, что час_п имеет слабый предел в A²(Ω). С другой стороны, час_п равномерно имеет тенденцию к компактато грамм. Поскольку оценочные карты являются непрерывными линейными функциями на A²(Ω), грамм слабый предел час_п. С другой стороны, по Теорема Рунге, час_п лежит в замкнутом подпространстве K из А²(Ω), порожденные комплексными многочленами. Следовательно грамм заключается в слабом закрытии K, который K сам.^[2]

Смотрите также

• Теорема Мергеляна

Примечания

1. Видеть:
   • Конвей 2000, стр. 150–151
   • Маркушевич 1967, стр. 31–35
2. Конвей 2000, стр. 151–152

Рекомендации

• Фаррелл, О. Дж. (1934), "О приближении к аналитической функции многочленами", Бык. Амер. Математика. Soc., 40: 908–914, Дои:10.1090 / с0002-9904-1934-06002-6
• Маркушевич, А. И. (1967), Теория функций комплексного переменного. Vol. III, Прентис – Холл
• Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов, Аспирантура по математике, 21, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2065-6