Пространство Бергмана - Bergman space

В комплексный анализ, функциональный анализ и теория операторов, а Пространство Бергмана это функциональное пространство из голоморфные функции в домен D из комплексная плоскость которые ведут себя достаточно хорошо на границе, что абсолютно интегрируемый. В частности, для 0 < п < ∞, пространство Бергмана А^п(D) - пространство всех голоморфных функций ${\displaystyle f}$ в D для чего p-норма конечно:

${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,dx\,dy\right)^{1/p}<\infty .}$

Количество ${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}}$ называется норма функции ж; это правда норма если ${\displaystyle p\geq 1}$. Таким образом А^п(D) - подпространство голоморфных функций, находящихся в пространстве L^п(D). Пространства Бергмана Банаховы пространства, что является следствием оценки, справедливой на компактный подмножества K из D:

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.}$

(1)

Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L^п(D) подразумевает также компактная сходимость, а значит, и предельная функция голоморфна.

Если п = 2, тогда А^п(D) это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства, ядро ​​которого задается Ядро Бергмана.

Частные случаи и обобщения

Если домен D является ограниченный, то норма часто определяется выражением

${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}\,dA\right)^{1/p}\;\;\;\;\;(f\in A^{p}(D)),}$

куда ${\displaystyle A}$ нормализованный Мера Лебега комплексной плоскости, т.е. dA = дз/Площадь(D). Альтернативно dA = дз/π используется, независимо от площади D.Пространство Бергмана обычно определяют на открытом единичный диск ${\displaystyle \mathbb {D} }$ комплексной плоскости, и в этом случае ${\displaystyle A^{p}(\mathbb {D} ):=A^{p}}$. В случае гильбертова пространства, учитывая ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\in A^{2}}$, у нас есть

${\displaystyle \|f\|_{A^{2}}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{2}\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|^{2}}{n+1}},}$

то есть, А² изометрически изоморфна взвешенному ℓ^п(1 / (п + 1)) Космос.^[1] В частности многочлены находятся плотный в А². Аналогично, если D = ℂ₊, правая (или верхняя) комплексная полуплоскость, то

${\displaystyle \|F\|_{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|F(z)|^{2}\,dz=\int _{0}^{\infty }|f(t)|^{2}{\frac {dt}{t}},}$

куда ${\displaystyle F(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt}$, то есть, А²(ℂ₊) изометрически изоморфна взвешенному L^п_{1 / т} (0,∞) Космос (через Преобразование Лапласа ).^[2][3]

Весовое пространство Бергмана А^п(D) аналогично определяется,^[1] т.е.

${\displaystyle \|f\|_{A_{w}^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{2}\,w(x+iy)\,dx\,dy\right)^{1/p},}$

при условии, что ш : D → [0, ∞) выбирается таким образом, что ${\displaystyle A_{w}^{p}(D)}$ это Банахово пространство (или Гильбертово пространство, если п = 2). В случае, если ${\displaystyle D=\mathbb {D} }$, весовым пространством Бергмана ${\displaystyle A_{\alpha }^{p}}$^[4] мы имеем в виду пространство всех аналитических функций ж такой, что

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{p}}:=\left((\alpha +1)\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{p}\,(1-|z|^{2})^{\alpha }dA(z)\right)^{1/p}<\infty ,}$

и аналогично в правой полуплоскости (т.е. ${\displaystyle A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}$) у нас есть^[5]

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}:=\left({\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|f(x+iy)|^{p}x^{\alpha }\,dx\,dy\right)^{1/p},}$

и это пространство изометрически изоморфно через преобразование Лапласа пространству ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+},\,d\mu _{\alpha })}$,^[6][7] куда

${\displaystyle d\mu _{\alpha }:={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{2^{\alpha }t^{\alpha +1}}}\,dt}$

(здесь Γ обозначает Гамма-функция ).

Иногда рассматриваются дополнительные обобщения, например ${\displaystyle A_{\nu }^{2}}$ обозначает взвешенное пространство Бергмана (часто называемое дзен-пространством^[3]) относительно трансляционно-инвариантной положительной регулярной Мера Бореля ${\displaystyle \nu }$ на замкнутой правой комплексной полуплоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} _{+}}}}$, то есть

${\displaystyle A_{\nu }^{p}:=\left\{f:\mathbb {C} _{+}\longrightarrow \mathbb {C} \;{\text{analytic}}\;:\;\|f\|_{A_{\nu }^{p}}:=\left(\sup _{\epsilon >0}\int _{\overline {\mathbb {C} _{+}}}|f(z+\epsilon )|^{p}\,d\nu (z)\right)^{1/p}<\infty \right\}.}$

Воспроизведение ядер

Воспроизводящее ядро ${\displaystyle k_{z}^{A^{2}}}$ из А² в точке ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$ дан кем-то^[1]

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}}(\zeta )={\frac {1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ),}$

и аналогично для ${\displaystyle A^{2}(\mathbb {C} _{+})}$ у нас есть^[5]

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}),}$.

В общем, если ${\displaystyle \varphi }$ отображает домен ${\displaystyle \Omega }$ конформно на область ${\displaystyle D}$, тогда^[1]

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}(\Omega )}(\zeta )=k_{\varphi (z)}^{{\mathcal {A}}^{2}(D)}(\varphi (\zeta ))\,{\overline {\varphi '(z)}}\varphi '(\zeta )\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \Omega ).}$

Во взвешенном случае имеем^[4]

${\displaystyle k_{z}^{A_{\alpha }^{2}}(\zeta )={\frac {\alpha +1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {D} ),}$

и^[5]

${\displaystyle k_{z}^{A_{\alpha }^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {2^{\alpha }(\alpha +1)}{({\overline {z}}+\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {C} _{+}).}$

Рекомендации

1. Duren, Peter L .; Шустер, Александр (2004), Пространства Бергмана, Математические серии и монографии, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0810-8
2. Дурен, Питер Л. (1969), Расширение теоремы Карлесона. (PDF), 75, Бюллетень Американского математического общества, стр. 143–146.
3. Иаков, Бригитта; Партингтон, Джонатан Р .; Потт, Сандра (1 февраля 2013 г.). «О теоремах вложения Лапласа-Карлесона». Журнал функционального анализа. 264 (3): 783–814. arXiv:1201.1021. Дои:10.1016 / j.jfa.2012.11.016.
4. Коуэн, Карл; Макклуер, Барбара (1995-04-27), Операторы композиции в пространствах аналитических функций, Исследования по высшей математике, CRC Press, стр. 27, ISBN  9780849384929
5. Эллиотт, Сэм Дж .; Винн, Эндрю (2011), Операторы композиции на весовых пространствах Бергмана полуплоскости, 54, Труды Эдинбургского математического общества, стр. 374–379.
6. Duren, Peter L .; Gallardo-Gutiérez, Eva A .; Монтес-Родригес, Альфонсо (2007-06-03), Теорема Пэли-Винера для пространств Бергмана с приложением к инвариантным подпространствам, 39, Бюллетень Лондонского математического общества, стр. 459–466.
7. Gallrado-Gutiérez, Eva A .; Партингтон, Джонатан Р .; Сегура, Долорес (2009), Циклические векторы и инвариантные подпространства для сдвигов Бергмана и Дирихле (PDF), 62, Журнал теории операторов, стр. 199–214.

дальнейшее чтение

• Бергман, Стефан (1970), Ядерная функция и конформное отображение, Математические исследования, 5 (2-е изд.) Американского математического общества
• Hedenmalm, H .; Коренблюм, Б .; Чжу, К. (2000), Теория пространств Бергмана, Спрингер, ISBN  978-0-387-98791-0
• Рихтер, Стефан (2001) [1994], «Пространства Бергмана», Энциклопедия математики, EMS Press.

Смотрите также

• Ядро Бергмана
• Банахово пространство
• Гильбертово пространство
• Воспроизведение ядра гильбертова пространства
• Харди космос
• Пространство Дирихле