Ошибки и остатки - Errors and residuals

В статистике и оптимизации ошибки и остатки являются двумя тесно связанными и легко путаемыми мерами отклонения наблюдаемого значения элемента статистической выборки от его «теоретического значения». В ошибка (или же беспокойство) наблюдаемого значения - это отклонение наблюдаемого значения от (ненаблюдаемого) истинный значение интересующей величины (например, среднее значение генеральной совокупности), и остаточный наблюдаемого значения - это разница между наблюдаемым значением и по оценкам значение интересующей величины (например, выборочное среднее). Это различие наиболее важно в регрессионном анализе, где концепции иногда называют ошибки регрессии и остатки регрессии и где они приводят к концепции стьюдентизированных остатков.

Вступление

Предположим, что есть серия наблюдений из одномерное распределение и мы хотим оценить иметь в виду этого распределения (так называемый модель местоположения ). В этом случае ошибки - это отклонения наблюдений от среднего по совокупности, а остатки - это отклонения наблюдений от среднего по выборке.

А статистическая ошибка (или же беспокойство) - это величина, на которую наблюдение отличается от ожидаемое значение, последнее основано на численность населения из которого статистическая единица была выбрана случайным образом. Например, если средний рост среди 21-летних мужчин составляет 1,75 метра, а рост одного случайно выбранного мужчины - 1,80 метра, то «ошибка» составляет 0,05 метра; если рост случайно выбранного мужчины составляет 1,70 метра, то «ошибка» составляет -0,05 метра. Ожидаемое значение, являющееся иметь в виду всего населения, обычно не наблюдается, и, следовательно, статистическая ошибка также не может быть обнаружена.

А остаточный (или подходящее отклонение), с другой стороны, является наблюдаемым оценивать ненаблюдаемой статистической ошибки. Рассмотрим предыдущий пример с ростом мужчин и предположим, что у нас есть случайная выборка п люди. В выборочное среднее может служить хорошей оценкой численность населения иметь в виду. Тогда у нас есть:

• Разница между ростом каждого человека в выборке и ненаблюдаемой численность населения означает это статистическая ошибка, в то время как
• Разница между ростом каждого человека в выборке и наблюдаемым образец означает это остаточный.

Обратите внимание, что из-за определения выборочного среднего, сумма остатков в случайной выборке обязательно равна нулю, и, следовательно, остатки обязательно нет независимый. Статистические ошибки, с другой стороны, независимы, и их сумма в пределах случайной выборки равна почти наверняка не ноль.

Можно стандартизировать статистические ошибки (особенно нормальное распределение ) в z-оценка (или «стандартная оценка») и стандартизируйте остатки в т-статистический, или в более общем смысле стьюдентизированные остатки.

В одномерных распределениях

Если предположить нормально распределенный совокупность со средними μ и стандартное отклонение σ, и выбираем индивидуумов независимо, то имеем

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,}$

и выборочное среднее

${\displaystyle {\overline {X}}={X_{1}+\cdots +X_{n} \over n}}$

случайная величина, распределенная таким образом, что:

${\displaystyle {\overline {X}}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right).}$

В статистические ошибки тогда

${\displaystyle e_{i}=X_{i}-\mu ,\,}$

с ожидал значения нуля,^[1] тогда как остатки находятся

${\displaystyle r_{i}=X_{i}-{\overline {X}}.}$

Сумма квадратов статистические ошибки, деленное на σ², имеет распределение хи-квадрат с п степени свободы:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.}$

Однако это количество не наблюдается, так как среднее значение для населения неизвестно. Сумма квадратов остатки, с другой стороны, наблюдается. Частное этой суммы по σ² имеет распределение хи-квадрат только с п - 1 степень свободы:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}.}$

Эта разница между п и п - 1 степень свободы дает Поправка Бесселя для оценки выборочная дисперсия популяции с неизвестным средним и неизвестной дисперсией. Коррекция не требуется, если известно среднее значение для генеральной совокупности.

Замечание

Примечательно, что сумма квадратов остатков и средние выборочные значения могут быть показаны как независимые друг от друга, используя, например, Теорема Басу. Этот факт, а также приведенные выше нормальное распределение и распределение хи-квадрат составляют основу расчетов, включающих t-статистика:

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu _{0}}{S_{n}/{\sqrt {n}}}},}$

куда ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}-\mu _{0}}$ представляет ошибки, ${\displaystyle S_{n}}$ представляет собой стандартное отклонение выборки для выборки размера п, и неизвестно σ, а член знаменателя ${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {n}}}$ учитывает стандартное отклонение ошибок согласно:^[2]

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$$

Распределения вероятностей числителя и знаменателя по отдельности зависят от значения ненаблюдаемого стандартного отклонения совокупности σ, но σ появляется как в числителе, так и в знаменателе и отменяется. Это удачно, потому что это означает, что даже если мы не знаемσ, мы знаем распределение вероятностей этого частного: оно имеет Распределение Стьюдента с п - 1 степень свободы. Поэтому мы можем использовать это частное, чтобы найти доверительный интервал заμ. Эту t-статистику можно интерпретировать как «количество стандартных ошибок от линии регрессии».^[3]

Регрессии

В регрессивный анализ, различие между ошибки и остатки тонкий и важный, и ведет к концепции стьюдентизированные остатки. При наличии ненаблюдаемой функции, которая связывает независимую переменную с зависимой переменной - скажем, линии - отклонения наблюдений зависимой переменной от этой функции являются ненаблюдаемыми ошибками. Если запустить регрессию на некоторых данных, то отклонения наблюдений зависимой переменной от приспособленный функции - остатки. Если применима линейная модель, диаграмма рассеяния остатков, построенная против независимой переменной, должна быть случайной около нуля без тенденции к остаткам.^[2] Если данные демонстрируют тенденцию, регрессионная модель, вероятно, неверна; например, истинная функция может быть квадратичным полиномом или полиномом более высокого порядка. Если они случайны или не имеют тенденции, но «разветвляются» - они демонстрируют явление, называемое гетероскедастичность. Если все остатки равны или не разветвляются, они демонстрируют гомоскедастичность.

Однако возникает терминологическая разница в выражении среднеквадратичная ошибка (MSE). Среднеквадратичная ошибка регрессии - это число, вычисляемое из суммы квадратов вычисленных остатки, а не ненаблюдаемые ошибки. Если эту сумму квадратов разделить на п, количество наблюдений, результат - это среднее квадратов остатков. Поскольку это пристрастный Для оценки дисперсии ненаблюдаемых ошибок смещение устраняется путем деления суммы квадратов остатков на df = п − п - 1 вместо п, куда df это количество степени свободы (п минус количество оцениваемых параметров (без учета точки пересечения) p - 1). Это формирует несмещенную оценку дисперсии ненаблюдаемых ошибок и называется среднеквадратической ошибкой.^[4]

Другой метод вычисления среднего квадрата ошибки при анализе дисперсии линейной регрессии с использованием техники, подобной той, что использовалась в ANOVA (они такие же, потому что ANOVA - это тип регрессии), сумма квадратов остатков (иначе говоря, сумма квадратов ошибки) делится на степени свободы (где степени свободы равны п − п - 1, где п - количество параметров, оцениваемых в модели (по одному для каждой переменной в уравнении регрессии, не включая точку пересечения). Затем можно также вычислить средний квадрат модели, разделив сумму квадратов модели за вычетом степеней свободы, которые представляют собой просто количество параметров. Затем значение F можно рассчитать, разделив средний квадрат модели на средний квадрат ошибки, и затем мы можем определить значимость (вот почему вы хотите, чтобы средние квадраты начинались с).^[5]

Однако из-за поведения процесса регрессии распределения остатков в разных точках данных (входной переменной) может отличаться даже если сами ошибки одинаково распределены. Конкретно в линейная регрессия где ошибки одинаково распределены, вариативность остатков входных данных в середине области будет выше чем изменчивость остатков на концах области:^[6] линейные регрессии лучше подходят для конечных точек, чем средние. Это также отражено в функции влияния различных точек данных на коэффициенты регрессии: конечные точки имеют большее влияние.

Таким образом, чтобы сравнить остатки на разных входах, необходимо скорректировать остатки на ожидаемую изменчивость остатки, который называется студенчество. Это особенно важно в случае обнаружения выбросы, где рассматриваемый случай чем-то отличается от другого случая в наборе данных. Например, можно ожидать большой остаток в середине домена, но он будет считаться выбросом в конце домена.

Другое использование слова «ошибка» в статистике

Смотрите также: Смещение (статистика)

Термин «ошибка», как обсуждалось в предыдущих разделах, используется в смысле отклонения значения от гипотетического ненаблюдаемого значения. По крайней мере, два других использования также встречаются в статистике, оба относятся к наблюдаемым ошибкам прогнозирования:

Средняя квадратичная ошибка или же среднеквадратичная ошибка (MSE) и Средняя квадратическая ошибка (RMSE) относятся к количеству, на которое значения, предсказанные оценщиком, отличаются от оцениваемых количеств (обычно за пределами выборки, на основе которой была оценена модель).

Сумма квадратов ошибок (SSE или же SS_е), обычно сокращенно SSE или SS_е, относится к остаточная сумма квадратов (сумма квадратов остатков) регрессии; это сумма квадратов отклонений фактических значений от прогнозируемых значений в пределах выборки, используемой для оценки. Это также называется оценкой наименьших квадратов, когда коэффициенты регрессии выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов была минимальной (т. Е. Ее производная равна нулю).

Точно так же сумма абсолютных ошибок (SAE) - сумма абсолютных значений остатков, которая минимизируется в наименьшие абсолютные отклонения подход к регрессу.

Смотрите также

• Математический портал

• Абсолютное отклонение
• Консенсус-прогнозы
• Обнаружение и исправление ошибок
• Объясненная сумма квадратов
• Инновации (обработка сигналов)
• Неподходящая сумма квадратов
• Допустимая погрешность
• Средняя абсолютная ошибка
• Ошибка наблюдения
• Распространение ошибки
• Вероятная ошибка
• Случайные и систематические ошибки
• Разбавление регрессии
• Среднеквадратичное отклонение
• Ошибка выборки
• Стандартная ошибка
• Студентизованный остаток
• Ошибки типа I и типа II

Рекомендации

1. Уэзерилл, Дж. Барри. (1981). Промежуточные статистические методы. Лондон: Чепмен и Холл. ISBN  0-412-16440-Х. OCLC  7779780.
2. Современное введение в вероятность и статистику: понимание, почему и как. Деккинг, Мишель, 1946-. Лондон: Спрингер. 2005 г. ISBN  978-1-85233-896-1. OCLC  262680588.
3. Брюс, Питер С., 1953- (2017-05-10). Практическая статистика для специалистов по данным: 50 основных концепций. Брюс, Эндрю, 1958- (Первое изд.). Севастополь, Калифорния. ISBN  978-1-4919-5293-1. OCLC  987251007.
4. Steel, Robert G.D .; Торри, Джеймс Х. (1960). Принципы и процедуры статистики с особым акцентом на биологические науки. Макгроу-Хилл. п.288.
5. Зельтерман, Даниэль (2010). Прикладные линейные модели с SAS ([Online-Ausg.]. Ред.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521761598.
6. «7.3: Типы выбросов в линейной регрессии». Статистика LibreTexts. 2013-11-21. Получено 2019-11-22.

• Кук, Р. Деннис; Вайсберг, Сэнфорд (1982). Остатки и влияние на регресс (Ред. Ред.). Нью-Йорк: Чепмен и Холл. ISBN  041224280X. Получено 23 февраля 2013.
• Кокс, Дэвид Р.; Снелл, Э. Джойс (1968). «Общее определение остатков». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 30 (2): 248–275. JSTOR  2984505.
• Вайсберг, Сэнфорд (1985). Прикладная линейная регрессия (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  9780471879572. Получено 23 февраля 2013.
• "Ошибки, теория", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Ошибки и остатки в Wikimedia Commons