Дискретный выбор - Discrete choice

В экономика, дискретный выбор модели, или качественный выбор моделей, описать, объяснить и спрогнозировать выбор между двумя или более дискретный альтернативы, такие как вход или не вход в рынок труда, или выбор между режимами транспорт. Такой выбор контрастирует со стандартными моделями потребления, в которых предполагается, что количество каждого потребляемого товара непрерывная переменная. В непрерывном случае методы расчета (например, условия первого порядка) могут использоваться для определения оптимальной выбранной суммы, а спрос может быть смоделирован эмпирически с использованием регрессивный анализ. С другой стороны, анализ дискретного выбора исследует ситуации, в которых потенциальные результаты дискретны, так что оптимум не характеризуется стандартными условиями первого порядка. Таким образом, вместо изучения «сколько», как в задачах с переменными непрерывного выбора, анализ дискретного выбора исследует «какую именно». Тем не менее, анализ дискретного выбора также может использоваться для изучения выбранного количества, когда необходимо выбрать только несколько отдельных количеств, таких как количество транспортных средств, которое семья выбирает в собственность. ^[1] и количество минут телекоммуникационных услуг, которые клиент решает приобрести.^[2] Такие методы, как логистическая регрессия и пробит регрессия может быть использован для эмпирического анализа дискретного выбора.

Модели дискретного выбора теоретически или эмпирически моделируют выбор, сделанный людьми из конечного набора альтернатив. Модели использовались для проверки, например, выбора автомобиля для покупки,^[1][3] куда пойти в институт,^[4] какой режим транспорт (автомобиль, автобус, поезд) взять на работу^[5] среди множества других приложений. Модели дискретного выбора также используются для изучения выбора организаций, таких как фирмы или государственные учреждения. В приведенном ниже обсуждении предполагается, что единицей, принимающей решения, является человек, хотя эти концепции применимы в более общем плане. Дэниел Макфадден выиграл Нобелевская премия в 2000 г. за новаторскую работу по разработке теоретических основ дискретного выбора.

Модели дискретного выбора статистически связывают выбор, сделанный каждым человеком, с характеристиками человека и атрибутами альтернатив, доступных этому человеку. Например, выбор автомобиля, который человек покупает, статистически связан с его доходом и возрастом, а также с ценой, топливной экономичностью, размером и другими характеристиками каждого доступного автомобиля. Модели оценивают вероятность того, что человек выберет конкретную альтернативу. Эти модели часто используются для прогнозирования того, как выбор людей изменится в зависимости от демографических изменений и / или характеристик альтернатив.

Модели дискретного выбора определяют вероятность того, что человек выберет вариант из набора альтернатив. Вероятностное описание дискретного поведения выбора используется не для того, чтобы отражать индивидуальное поведение, которое рассматривается как внутренне вероятностное. Скорее, это недостаток информации, который заставляет нас описывать выбор вероятностным образом. На практике мы не можем знать все факторы, влияющие на индивидуальные решения о выборе, поскольку их детерминанты частично наблюдаются или измеряются не полностью. Таким образом, модели дискретного выбора основываются на стохастических допущениях и спецификациях для учета ненаблюдаемых факторов, связанных с а) альтернативами выбора, б) вариациями вкусов у людей (межличностная неоднородность) и во времени (внутриличностная динамика выбора) и в) гетерогенными наборами выбора. . Различные составы обобщены и разделены на группы моделей.^[6]

Приложения

• Маркетологи используют модели дискретного выбора для изучения потребительский спрос и для прогнозирования ответных действий конкурентов, позволяя разработчикам моделей решать ряд бизнес-задач, например ценообразование, разработка продукта, и оценка спроса проблемы. В маркетинговых исследованиях это обычно называется совместный анализ.^[1]
• Планировщики транспорта используют модели дискретного выбора для прогнозирования спроса на запланированные транспорт системы, например, по какому маршруту будет следовать водитель и будет ли кто-нибудь быстрый транзит системы.^[5][7] Первые применения моделей дискретного выбора были в транспортном планировании, и большая часть наиболее продвинутых исследований моделей дискретного выбора проводится исследователями транспорта.
• Специалисты по прогнозам в области энергетики и лица, определяющие политику, используют модели дискретного выбора для выбора домохозяйствами и фирмами системы отопления, уровней эффективности бытовых приборов и уровня топливной эффективности транспортных средств.^[8][9]
• В экологических исследованиях используются модели дискретного выбора, чтобы изучить выбор рекреаторов, например, места для рыбалки или катания на лыжах, и сделать вывод о ценности удобств, таких как кемпинги, рыбные запасы и хижины для утепления, а также для оценки ценности улучшения качества воды.^[10]
• Экономисты по труду используют модели дискретного выбора для изучения участия в рабочей силе, выбора профессии, а также выбора колледжа и программ обучения.^[4]

Общие черты моделей дискретного выбора

Модели дискретного выбора имеют множество форм, включая: двоичный логит, двоичный пробит, полиномиальный логит, условный логит, полиномиальный пробит, вложенный логит, обобщенные модели экстремальных значений, смешанный логит и разнесенный логит. Все эти модели имеют общие характеристики, описанные ниже.

Набор выбора

Набор выбора - это набор альтернатив, доступных человеку. Для модели дискретного выбора набор выбора должен отвечать трем требованиям:

1. Набор альтернатив должен быть вместе исчерпывающей, что означает, что набор включает все возможные альтернативы. Это требование подразумевает, что человек обязательно выбирает альтернативу из множества.
2. Альтернативы должны быть взаимоисключающий, что означает, что выбор одной альтернативы означает отказ от выбора других альтернатив. Это требование подразумевает, что человек выбирает только одну альтернативу из набора.
3. Набор должен содержать конечный количество альтернатив. Это третье требование отличает анализ дискретного выбора от форм регрессионного анализа, в которых зависимая переменная может (теоретически) принимать бесконечное количество значений.

Например, выбор установлен для человека, решающего, какой режим транспорт брать на работу включает в себя вождение в одиночку, совместное использование автомобилей, поездку на автобусе и т. д. Набор выбора усложняется тем фактом, что человек может использовать несколько режимов для данной поездки, например, вождение автомобиля на вокзал, а затем поездка на работу . В этом случае набор выбора может включать каждую возможную комбинацию режимов. В качестве альтернативы выбор может быть определен как выбор «основного» режима с набором, состоящим из автомобиля, автобуса, железной дороги и прочего (например, прогулки, велосипеды и т. Д.). Обратите внимание, что альтернатива «другое» включена, чтобы сделать набор выбора исчерпывающим.

У разных людей могут быть разные наборы вариантов в зависимости от обстоятельств. Например, Отпрыск Автомобиль не продавался в Канаде с 2009 года, поэтому покупатели новых автомобилей в Канаде сталкивались с различными наборами выбора, чем американские потребители. Такие соображения учитываются при формулировании моделей дискретного выбора.

Определение вероятностей выбора

Модель дискретного выбора определяет вероятность того, что человек выберет конкретную альтернативу, с вероятностью, выраженной как функция наблюдаемых переменных, которые относятся к альтернативам и человеку. В общем виде вероятность того, что человек п выбирает альтернативу я выражается как:

${displaystyle P_{ni}equiv Pr({ ext{Person }}n{ ext{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},;x_{nj,jeq i},;s_{n},;eta ),}$

куда

${displaystyle x_{ni}}$ вектор атрибутов альтернативы я сталкивается с человеком п,

${displaystyle x_{nj,jeq i}}$ вектор атрибутов других альтернатив (кроме я) лицом к лицу п,

${displaystyle s_{n}}$ вектор характеристик личности п, и

${displaystyle eta }$ представляет собой набор параметров, определяющих влияние переменных на вероятности, которые оцениваются статистически.

В режиме транспорт пример выше, атрибуты режимов (Икс_ni), такие как время и стоимость поездки, а также характеристики потребителя (s_п), такие как годовой доход, возраст и пол, можно использовать для расчета вероятностей выбора. Атрибуты альтернатив могут различаться у разных людей; например, стоимость и время поездки на работу на машине, автобусе или поезде различны для каждого человека в зависимости от местоположения дома и работы этого человека.

Характеристики:

• п_ni находится между 0 и 1
• ${displaystyle forall n:;sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ куда J - общее количество альтернатив.
• (Ожидаемая доля людей, выбирающих я ) ${displaystyle ={1 over N}{sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$ где N - количество людей, делающих выбор.

Различные модели (т.е. модели, использующие другую функцию G) имеют разные свойства. Известные модели представлены ниже.

Потребительская полезность

Модели дискретного выбора могут быть получены из теория полезности. Этот вывод полезен по трем причинам:

1. Это дает точное значение вероятностям п_ni
2. Он мотивирует и отличает альтернативные спецификации модели, например, выбор функциональной формы для грамм.
3. Он обеспечивает теоретическую основу для расчета изменений потребительского излишка (компенсирующего отклонения) от изменений атрибутов альтернатив.

U_ni полезность (чистая выгода или благосостояние) этого человека п получает от выбора альтернативы я. Поведение человека направлено на максимизацию полезности: человек n выбирает альтернативу, которая обеспечивает наивысшую полезность. Выбор человека обозначается фиктивными переменными, у_ni, для каждой альтернативы:

${displaystyle y_{ni}={egin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}quad forall jeq i�&{ ext{otherwise}}end{cases}}}$

Рассмотрим теперь исследователя, исследующего выбор. Выбор человека зависит от многих факторов, некоторые из которых наблюдаются исследователем, а некоторые нет. Полезность, которую человек получает от выбора альтернативы, раскладывается на часть, которая зависит от переменных, которые наблюдает исследователь, и на часть, которая зависит от переменных, которые исследователь не наблюдает. В линейной форме это разложение выражается как

${displaystyle U_{ni}=eta z_{ni}+varepsilon _{ni}}$

куда

• ${displaystyle z_{ni}}$ вектор наблюдаемых переменных, относящихся к альтернативе я для человека п это зависит от атрибутов альтернативы, Икс_ni, возможно, взаимодействовал с атрибутами человека, s_п, так что его можно выразить как ${displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})}$ для некоторой числовой функции z,
• ${displaystyle eta }$ - соответствующий вектор коэффициентов наблюдаемых переменных, а
• ${displaystyle varepsilon _{ni}}$ фиксирует влияние всех ненаблюдаемых факторов, влияющих на выбор человека.

Тогда вероятность выбора равна

${displaystyle {egin{aligned}P_{ni}&=Pr(y_{ni}=1)&=Pr left(igcap _{jeq i}U_{ni}>U_{nj},ight)&=Pr left(igcap _{jeq i}eta z_{ni}+varepsilon _{ni}>eta z_{nj}+varepsilon _{nj},ight)&=Pr left(igcap _{jeq i}varepsilon _{nj}-varepsilon _{ni}<eta z_{ni}-eta z_{nj},ight)end{aligned}}}$

Данный β, вероятность выбора - это вероятность того, что случайные члены, ε_{Нью-Джерси} − ε_ni (которые случайны с точки зрения исследователя, поскольку исследователь их не наблюдает) ниже соответствующих величин ${displaystyle forall jeq i:eta z_{ni}-eta z_{nj}.}$ Различные модели выбора (т.е. разные спецификации G) возникают из разных распределений ε_ni для всех я и различные методы лечения β.

Свойства моделей дискретного выбора, вытекающие из теории полезности

Только различия имеют значение

Вероятность того, что человек выберет конкретную альтернативу, определяется путем сравнения полезности выбора этой альтернативы с полезностью выбора других альтернатив:

${displaystyle P_{ni}=Pr(y_{ni}=1)=Pr left(igcap _{jeq i}U_{ni}>U_{nj}ight)=Pr left(igcap _{jeq i}U_{ni}-U_{nj}>0ight)}$

Как показывает последний член, вероятность выбора зависит только от разницы в полезности между альтернативами, а не от абсолютного уровня полезности. Точно так же добавление константы к полезностям всех альтернатив не меняет вероятностей выбора.

Масштаб должен быть нормализован

Поскольку у коммунального предприятия нет единиц, необходимо нормализовать масштаб коммунальных услуг. Масштаб полезности часто определяется дисперсией члена ошибки в моделях дискретного выбора. Это расхождение может отличаться в зависимости от характеристик набора данных, например, когда или где данные собираются. Таким образом, нормализация дисперсии влияет на интерпретацию параметров, оцененных по разным наборам данных.

Выдающиеся типы моделей дискретного выбора

Модели с дискретным выбором можно сначала классифицировать по количеству доступных альтернатив.

* Модели биномиального выбора (дихотомические): 2 доступных альтернативы

* Модели полиномиального выбора (политомический ): 3 или более доступных альтернатив

Мультиномиальные модели выбора можно дополнительно классифицировать в соответствии со спецификацией модели:

* Модели, такие как стандартный логит, которые не предполагают корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами

* Модели, позволяющие корреляцию между ненаблюдаемыми факторами среди альтернатив

Кроме того, доступны особые формы моделей для изучения рейтингов альтернатив (т. Е. Первого выбора, второго выбора, третьего выбора и т. Д.) И данных рейтингов.

Подробная информация о каждой модели представлена ​​в следующих разделах.

Двоичный выбор

Дальнейшая информация: бинарная регрессия

A. Логит с атрибутами человека, но без атрибутов альтернатив

Дальнейшая информация: Логистическая регрессия

U_п это полезность (или чистая выгода), которую человек n получает от совершения действия (в противоположность бездействию). Польза, которую получает человек от совершения действия, зависит от характеристик человека, некоторые из которых наблюдаются исследователем, а некоторые нет. Человек совершает действие, у_п = 1, если U_п > 0. Ненаблюдаемый член, ε_п, предполагается, что логистическая дистрибуция. Спецификация кратко написана как:

${displaystyle {egin{cases}U_{n}=eta s_{n}+varepsilon _{n}y_{n}={egin{cases}1&U_{n}>0�&U_{n}leqslant 0end{cases}}varepsilon sim { ext{Logistic}}end{cases}}quad Rightarrow quad P_{n1}={frac {1}{1+exp(-eta s_{n})}}}$

Б. Пробит с атрибутами человека, но без атрибутов альтернатив

Дальнейшая информация: Пробит модель

Описание модели такое же, как модель А, за исключением ненаблюдаемых условий распространяются стандартный нормальный вместо логистика.

${displaystyle {egin{cases}U_{n}=eta s_{n}+varepsilon _{n}y_{n}={egin{cases}1&U_{n}>0�&U_{n}leqslant 0end{cases}}varepsilon sim { ext{Standard normal}}end{cases}}quad Rightarrow quad P_{n1}=Phi (eta s_{n}),}$

куда ${displaystyle Phi }$ является кумулятивная функция распределения стандартного нормального.

C. Логит с переменными, которые варьируются в зависимости от альтернативы

U_ni полезный человек п получает от выбора альтернативы я. Полезность каждой альтернативы зависит от атрибутов альтернатив, которые, возможно, взаимодействуют с атрибутами человека. Предполагается, что ненаблюдаемые члены имеют крайнее значение распределение.^{[nb 1]}

${displaystyle {egin{cases}U_{n1}=eta z_{n1}+varepsilon _{n1}U_{n2}=eta z_{n2}+varepsilon _{n2}varepsilon _{n1},varepsilon _{n2}sim { ext{iid extreme value}}end{cases}}quad Rightarrow quad P_{n1}={frac {exp(eta z_{n1})}{exp(eta z_{n1})+exp(eta z_{n2})}}}$

Мы можем связать эту спецификацию с модель А выше, что также является двоичным логитом. Особенно, п_п1 можно также выразить как

${displaystyle P_{n1}={frac {1}{1+exp(-eta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

Обратите внимание, что если два условия ошибки iid крайнее значение,^{[nb 1]} их разница распределена логистика, что является основанием для эквивалентности двух спецификаций.

D. Пробит с переменными, которые изменяются по альтернативам

Описание модели такое же, как модель C, за исключением того, что разница двух ненаблюдаемых терминов распределяется стандартный нормальный вместо логистика.

Тогда вероятность совершения действия равна

${displaystyle P_{n1}=Phi (eta (z_{n1}-z_{n2})),}$

где Φ - кумулятивная функция распределения стандартного нормального.

Мультиномиальный выбор без корреляции между альтернативами

Д. Логит с атрибутами человека, но без атрибутов альтернатив

Дальнейшая информация: Полиномиальный логит

Полезность для всех альтернатив зависит от одних и тех же переменных, s_п, но коэффициенты разные для разных альтернатив:

• U_ni = β_яs_п + ε_ni,
• Поскольку имеют значение только различия в полезности, необходимо нормировать ${displaystyle eta _{i}=0}$ за одну альтернативу. Предполагая ${displaystyle eta _{1}=0}$,
• ε_ni находятся iid крайнее значение^{[nb 1]}

Вероятность выбора принимает вид

${displaystyle P_{ni}={exp(eta _{i}s_{n}) over sum _{j=1}^{J}exp(eta _{j}s_{n})},}$

где J - общее количество альтернатив.

F. Логит с переменными, которые варьируются в зависимости от альтернатив (также называемый условным логитом)

Полезность для каждой альтернативы зависит от атрибутов этой альтернативы, возможно, взаимодействующих с атрибутами человека:

${displaystyle {egin{cases}U_{ni}=eta z_{ni}+varepsilon _{ni}varepsilon _{ni}sim { ext{iid extreme value}}end{cases}}quad Rightarrow quad P_{ni}={exp(eta z_{ni}) over sum _{j=1}^{J}exp(eta z_{nj})},}$

куда J - общее количество альтернатив.

Обратите внимание, что модель E можно выразить в той же форме, что и модель F путем соответствующей повторной спецификации переменных. Определять ${displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}delta _{jk}}$ куда ${displaystyle delta _{jk}}$ это Дельта Кронекера и s_п из модель E. Затем модель F получается с помощью

${displaystyle z_{nj}=left{w_{nj}^{1},cdots ,w_{nj}^{J}ight}quad { ext{and}}quad eta =left{eta _{1},cdots ,eta _{J}ight},}$

куда J - общее количество альтернатив.

Полиномиальный выбор с корреляцией между альтернативами

Стандартная логит-модель не всегда подходит, поскольку предполагает, что нет корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами. Это отсутствие корреляции приводит к особой схеме замещения альтернатив, которая не всегда может быть реалистичной в данной ситуации. Этот образец замещения часто называют Независимость от несоответствующих альтернатив (IIA) собственности стандартных моделей логита. Увидеть Красный автобус / Синий автобус пример, в котором этот шаблон не выполняется,^[11] или пример выбора пути.^[12] Был предложен ряд моделей, позволяющих корреляцию альтернатив и более общих моделей замещения:

• Вложенная логит-модель - фиксирует корреляции между альтернативами путем разделения набора вариантов на «гнезда»
  • Кросс-вложенная модель Logit^[13] (CNL) - Альтернативы могут принадлежать более чем одному гнезду
  • Модель C-logit^[14] - Улавливает корреляции между альтернативами с использованием «фактора общности»
  • Парная комбинаторная логит-модель^[15] - Подходит для задач выбора маршрута.
• Обобщенная модель экстремальных значений^[16] - Общий класс модели, полученный из случайной полезной модели^[12] к которому относятся полиномиальный логит и вложенный логит
• Условный пробит^[17][18] - Обеспечивает полную ковариацию между альтернативами с использованием совместного нормального распределения.
• Смешанный логит^[9][10][18]- Допускает любую форму корреляции и шаблонов замены.^[19] Когда смешанный логит представляет собой совместно нормальные случайные члены, модели иногда называют «полиномиальной пробит-моделью с логит-ядром».^[12][20] Может применяться при выборе маршрута.^[21]

В следующих разделах подробно описываются модели вложенного логита, GEV, пробита и смешанного логита.

G. Вложенные логит-модели и модели обобщенных экстремальных значений (GEV)

Модель такая же, как модель F за исключением того, что ненаблюдаемый компонент полезности коррелирует с альтернативами, а не независим от альтернатив.

• U_ni = βz_ni + ε_ni,
• Предельное распределение каждого ε_ni является крайнее значение,^{[nb 1]} но их совместное распределение допускает корреляцию между ними.
• Вероятность принимает множество форм в зависимости от указанного шаблона корреляции. Видеть Обобщенное экстремальное значение.

H. Полиномиальный пробит

Дальнейшая информация: Полиномиальный пробит

Модель такая же, как модель грамм за исключением того, что ненаблюдаемые условия распространяются совместно нормальный, что позволяет использовать любую схему корреляции и гетероскедастичность:

${displaystyle {egin{cases}U_{ni}=eta z_{ni}+varepsilon _{ni}varepsilon _{n}equiv (varepsilon _{n1},cdots ,varepsilon _{nJ})sim N(0,Omega )end{cases}}quad Rightarrow quad P_{ni}=Pr left(igcap _{jeq i}eta z_{ni}+varepsilon _{ni}>eta z_{nj}+varepsilon _{nj}ight)=int Ileft(igcap _{jeq i}eta z_{ni}+varepsilon _{ni}>eta z_{nj}+varepsilon _{nj}ight)phi (varepsilon _{n}|Omega );dvarepsilon _{n},}$

куда ${displaystyle phi (varepsilon _{n}|Omega )}$ - совместная нормальная плотность с нулевым средним и ковариацией ${displaystyle Omega }$.

Интеграл для этой вероятности выбора не имеет замкнутой формы, поэтому вероятность аппроксимируется квадратурой или симуляция.

Когда ${displaystyle Omega }$ является единичной матрицей (такой, что нет корреляции или гетероскедастичность ) модель называется независимым пробит.

I. Смешанный логит

Основная статья: Смешанный логит

Смешанные модели Logit становятся все более популярными в последние годы по нескольким причинам. Во-первых, модель позволяет β быть случайным в дополнение к ε. Случайность в β учитывает случайные вкусовые вариации людей и корреляцию между альтернативами, что создает гибкие шаблоны замены. Во-вторых, появление моделирования сделало аппроксимацию модели довольно простой. Кроме того, McFadden и Тренироваться показали, что любая модель истинного выбора может быть аппроксимирована с любой степенью точности смешанным логитом с соответствующей спецификацией объясняющих переменных и распределением коэффициентов.^[19]

• U_ni = βz_ni + ε_ni,
• ${displaystyle eta sim f(eta | heta )}$ для любого распространения ${displaystyle {it {f}}}$, куда ${displaystyle heta }$ - это набор параметров распределения (например, среднее значение и дисперсия) для оценки,
• ε_ni ∼ iid крайнее значение,^{[nb 1]}

Вероятность выбора равна

${displaystyle P_{ni}=int _{eta }L_{ni}(eta )f(eta | heta ),deta ,}$

куда

${displaystyle L_{ni}(eta )={exp(eta z_{ni}) over {sum _{j=1}^{J}exp(eta z_{nj})}}}$

логит-вероятность оценивается при ${displaystyle eta ,}$ с ${displaystyle J}$ общее количество альтернатив.

Интеграл для этой вероятности выбора не имеет замкнутой формы, поэтому вероятность аппроксимируется путем моделирования.^[22]

Оценка по выбору

Модели дискретного выбора часто оцениваются с использованием оценка максимального правдоподобия. Логит-модели можно оценить по логистическая регрессия, а пробит-модели можно оценить как пробит регрессия. Непараметрический методы, такие как оценщик максимальной оценки, Были предложены.^[23][24]

Оценка таких моделей обычно выполняется с помощью параметрических, полупараметрических и непараметрических методов максимального правдоподобия.^[25]

Оценка из рейтингов

Во многих ситуациях наблюдается ранжирование альтернатив человеком, а не только его избранная альтернатива. Например, человека, который купил новую машину, могут спросить, что он / она купил бы, если бы эту машину не предложили, что дает информацию о втором выборе этого человека в дополнение к его первому выбору. Или в опросе респондента могут спросить:

Пример: Оцените следующие планы телефонных разговоров с мобильного телефона от наиболее предпочтительных до наименее предпочтительных.

* 60 долларов США в месяц за неограниченное количество минут в любое время, двухлетний контракт с оплатой за досрочное расторжение в размере 100 долларов США

* 30 долларов в месяц за 400 минут в любое время, 3 цента за минуту после 400 минут, годовой контракт с платой за досрочное расторжение в 125 долларов

* 35 долларов в месяц за 500 минут в любое время, 3 цента за минуту после 500 минут, без контракта или платы за досрочное расторжение

* 50 долларов в месяц за 1000 минут в любое время, 5 центов за минуту после 1000 минут, двухлетний контракт с 75 долларами за досрочное расторжение

Описанные выше модели могут быть адаптированы для учета рейтингов, выходящих за рамки первого выбора. Самая известная модель рейтинговых данных - это расширенный логит и его смешанная версия.

J. Взорванный логит

При тех же предположениях, что и для стандартного логита (модель F ) вероятность ранжирования альтернатив является продуктом стандартных логитов. Модель называется «разнесенным логитом», потому что ситуация выбора, которая обычно представлена ​​как одна логит-формула для выбранной альтернативы, расширена («разнесена»), чтобы иметь отдельную формулу логита для каждой ранжированной альтернативы. Разнесенная логит-модель является продуктом стандартных логит-моделей с уменьшающимся набором вариантов по мере ранжирования каждой альтернативы и оставляет набор доступных вариантов для последующего выбора.

Без потери общности, альтернативы могут быть переименованы для представления ранжирования человека, так что альтернатива 1 является первым выбором, 2 - вторым выбором и т. Д. Вероятность выбора ранжирования альтернатив J как 1, 2, ..., J равна тогда

${displaystyle Pr({ ext{ranking }}1,2,ldots ,J)={exp(eta z_{1}) over sum _{j=1}^{J}exp(eta z_{nj})}{exp(eta z_{2}) over sum _{j=2}^{J}exp(eta z_{nj})}ldots {exp(eta z_{J-1}) over sum _{j=J-1}^{J}exp(eta z_{nj})}}$

Как и в случае стандартного логита, модель разнесенного логита не предполагает корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами. Разобранный логит может быть обобщен так же, как стандартный логит, чтобы учесть корреляции между альтернативами и случайными вариациями вкусов. Модель "смешанного разнесенного логита" получается путем вероятности ранжирования, приведенного выше, для L_ni в модели смешанного логита (модель я ).

Эта модель также известна в эконометрике как ранжировать упорядоченную модель логита и он был введен в этой области Беггсом, Карделлом и Хаусман в 1981 г.^[26][27] Одним из приложений является Combes et al. документ, объясняющий рейтинг кандидатов на должность профессора.^[27] Он также известен как Модель Плакетта – Люса в биомедицинской литературе.^[27][28][29]

Заказанные модели

Дальнейшая информация: порядковая регрессия

В опросах респондентов часто просят дать оценки, например:

Пример: Дайте, пожалуйста, свою оценку того, как дела у президента.

1: Очень плохо

2: Плохо

3: Хорошо

4: Хорошо

5: Очень хорошо

Или же,

Пример: По шкале от 1 до 5, где 1 означает полностью не согласен, а 5 означает полностью согласен, насколько вы согласны со следующим утверждением. «Федеральное правительство должно делать больше, чтобы помочь людям, столкнувшимся с лишением права выкупа закладных на их дома».

Полиномиальная модель дискретного выбора может исследовать ответы на эти вопросы (модель грамм, модель ЧАС, модель я ). Однако эти модели основаны на концепции, согласно которой респондент получает некоторую полезность для каждого возможного ответа и дает ответ, обеспечивающий наибольшую полезность. Было бы более естественно думать, что респондент скрытая мера или индекс, связанный с вопросом и ответами на то, насколько высок этот показатель. Упорядоченные логит-модели и упорядоченные пробит-модели получены в рамках этой концепции.

К. Заказал логит

Основная статья: Заказал логит

Позволять U_п представляют силу респондента опроса пЧувства или мнение по предмету опроса. Предположим, что существуют ограничения по уровню мнения при выборе конкретного ответа. Например, в примере помощи людям, столкнувшимся с потерей права выкупа, человек выбирает

• 1, если U_п <а
• 2, если a < U_п <б
• 3, если b < U_п
• 4, если c < U_п
• 5, если U_п > d,

для некоторых реальных чисел а, б, c, d.

Определение ${displaystyle U_{n}=eta z_{n}+varepsilon ,;varepsilon sim }$ Логистика, то вероятность каждого возможного ответа равна:

${displaystyle {egin{aligned}Pr({ ext{choosing }}1)&=Pr(U_{n}<a)=Pr(varepsilon <a-eta z_{n})={1 over 1+exp(-(a-eta z_{n}))}Pr({ ext{choosing }}2)&=Pr(a<U_{n}<b)=Pr(a-eta z_{n}<varepsilon <b-eta z_{n})={1 over 1+exp(-(b-eta z_{n}))}-{1 over 1+exp(-(a-eta z_{n}))}&cdots Pr({ ext{choosing }}5)&=Pr(U_{n}>d)=Pr(varepsilon >d-eta z_{n})=1-{1 over 1+exp(-(d-eta z_{n}))}end{aligned}}}$

Параметрами модели являются коэффициенты β и точки отсечения а - г, один из которых должен быть нормализован для идентификации. Когда есть только два возможных ответа, упорядоченный логит совпадает с двоичным логитом (модель А ), с одной точкой отсечки, нормированной на ноль.

L. Заказал пробит

Основная статья: Заказал пробит

Описание модели такое же, как модель K, за исключением ненаблюдаемых условий нормальное распределение вместо логистика.

Вероятности выбора равны (${displaystyle Phi }$ - кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения):

${displaystyle {egin{aligned}Pr({ ext{choosing }}1)&=Phi (a-eta z_{n})Pr({ ext{choosing }}2)&=Phi (b-eta z_{n})-Phi (a-eta z_{n})&cdots end{aligned}}}$

Смотрите также

• Бинарная регрессия
• Динамический дискретный выбор

Примечания

1. Плотность и кумулятивная функция распределения распределения экстремальных значений определяются выражением ${displaystyle f(varepsilon _{nj})=exp(-varepsilon _{nj})exp(-exp(-varepsilon _{nj}))}$ и ${displaystyle F(varepsilon _{nj})=exp(-exp(-varepsilon _{nj})).}$ Это распределение также называют Гамбель или распределение экстремальных значений типа I, особый тип обобщенное распределение экстремальных значений.

Рекомендации

1. Поезд, К. (1986). Качественный анализ выбора: теория, эконометрика и приложение к автомобильному спросу. MIT Press. Глава 8.
2. Поезд, К .; McFadden, D .; Бен-Акива, М. (1987). «Спрос на услуги местной телефонной связи: полностью дискретная модель шаблонов вызовов в домашних условиях и выбор услуг». РЭНД Журнал экономики. 18 (1): 109–123. Дои:10.2307/2555538. JSTOR  2555538.
3. Поезд, К .; Уинстон, К. (2007). «Поведение при выборе транспортного средства и снижение доли рынка американских автопроизводителей». Международное экономическое обозрение. 48 (4): 1469–1496. Дои:10.1111 / j.1468-2354.2007.00471.x.
4. Fuller, W. C .; Мански, К.; Мудрый, Д. (1982). "Новые данные об экономических детерминантах выбора послешкольного образования". Журнал людских ресурсов. 17 (4): 477–498. Дои:10.2307/145612. JSTOR  145612.
5. Поезд, К. (1978). «Проверочный тест модели выбора режима дезагрегирования» (PDF). Транспортные исследования. 12 (3): 167–174. Дои:10.1016 / 0041-1647 (78) 90120-х.
6. Балтас, Джордж; Дойл, Питер (2001). «Случайные полезные модели в маркетинговых исследованиях: обзор». Журнал бизнес-исследований. 51 (2): 115–125. Дои:10.1016 / S0148-2963 (99) 00058-2.
7. Рамминг, М. С. (2001). «Сетевые знания и выбор маршрута». Неопубликованная докторская степень. Диссертация, Массачусетский технологический институт. Каталог MIT. HDL:1721.1/49797.
8. Гетт, Эндрю; Хадсон, Кэтлин; Поезд, Кеннет Э. (2002). «Выбор потребителей среди розничных поставщиков энергии». Энергетический журнал. 21 (4): 1–28.
9. Ревельт, Дэвид; Поезд, Кеннет Э. (1998). «Смешанная логита с повторным выбором: выбор домохозяйства уровня эффективности бытовой техники». Обзор экономики и статистики. 80 (4): 647–657. Дои:10.1162/003465398557735. JSTOR  2646846.
10. Поезд, Кеннет Э. (1998). «Модели рекреационного спроса с вариацией вкуса». Экономика земли. 74 (2): 230–239. CiteSeerX  10.1.1.27.4879. Дои:10.2307/3147053. JSTOR  3147053.
11. Бен-Акива, М .; Лерман, С. (1985). Анализ дискретного выбора: теория и применение к спросу на поездки. Транспортные исследования. Массачусетс: MIT Press.
12. Бен-Акива, М .; Бирлер, М. (1999). «Методы дискретного выбора и их применение для принятия краткосрочных решений о поездках» (PDF). В Холле, Р. У. (ред.). Справочник транспортных наук.
13. Вовша, П. (1997). «Применение кросс-вложенной логит-модели для выбора режима в Тель-Авиве, Израиль, столичная зона». Отчет о транспортных исследованиях. 1607: 6–15. Дои:10.3141/1607-02. Архивировано из оригинал 29 января 2013 г.
14. Cascetta, E .; Nuzzolo, A .; Руссо, Ф .; Витетта, А. (1996). «Модифицированная модель выбора маршрута Logit, преодолевающая проблемы перекрытия путей: спецификация и некоторые результаты калибровки для междугородных сетей» (PDF). В Lesort, J. B. (ed.). Транспорт и теория движения. Материалы тринадцатого международного симпозиума по транспорту и теории движения. Лион, Франция: Пергамон. С. 697–711.
15. Чу, К. (1989). «Парная комбинаторная логит-модель для анализа спроса на поездки». Материалы 5-й Всемирной конференции по исследованиям в области транспорта. 4. Вентура, Калифорния. С. 295–309.
16. Макфадден, Д. (1978). «Моделирование выбора места проживания» (PDF). В Karlqvist, A .; и другие. (ред.). Теория пространственного взаимодействия и жилое местоположение. Амстердам: Северная Голландия. С. 75–96.
17. Hausman, J .; Мудрый, Д. (1978). «Условная пробитная модель для качественного выбора: дискретные решения, признающие взаимозависимость и гетерогенные предпочтения». Econometrica. 48 (2): 403–426. Дои:10.2307/1913909. JSTOR  1913909.
18. Поезд, К. (2003). Методы дискретного выбора с моделированием. Массачусетс: Издательство Кембриджского университета.
19. Макфадден, Д.; Поезд, К. (2000). «Смешанные модели MNL для дискретного отклика» (PDF). Журнал прикладной эконометрики. 15 (5): 447–470. CiteSeerX  10.1.1.68.2871. Дои:10.1002 / 1099-1255 (200009/10) 15: 5 <447 :: AID-JAE570> 3.0.CO; 2-1.
20. Бен-Акива, М .; Болдук, Д. (1996). «Полиномиальный пробит с логит-ядром и общей параметрической спецификацией ковариационной структуры» (PDF). Рабочий документ.
21. Бехор, С .; Бен-Акива, М .; Рамминг, М. С. (2002). «Адаптация ядра Logit к ситуации выбора маршрута». Отчет о транспортных исследованиях. 1805: 78–85. Дои:10.3141/1805-10. Архивировано из оригинал на 2012-07-17.
22. [1]. Также см Смешанный логит для получения дополнительной информации.
23. Мански, Чарльз Ф. (1975). «Максимальная оценка выбранной стохастической полезной модели». Журнал эконометрики. Elsevier BV. 3 (3): 205–228. Дои:10.1016/0304-4076(75)90032-9. ISSN  0304-4076.
24. Горовиц, Джоэл Л. (1992). «Сглаженная оценка максимальной оценки для модели двоичного ответа». Econometrica. JSTOR. 60 (3): 505–531. Дои:10.2307/2951582. ISSN  0012-9682. JSTOR  2951582.
25. Park, Byeong U .; Симар, Леопольд; Зеленюк, Валентин (2017). «Непараметрическая оценка динамических моделей дискретного выбора для данных временных рядов» (PDF). Вычислительная статистика и анализ данных. 108: 97–120. Дои:10.1016 / j.csda.2016.10.024.
26. Beggs, S .; Cardell, S .; Хаусман Дж. (1981). «Оценка потенциального спроса на электромобили». Журнал эконометрики. 17 (1): 1–19. Дои:10.1016/0304-4076(81)90056-7.
27. Комб, Пьер-Филипп; Линнемер, Лоран; Виссер, Майкл (2008). «Публикация или богатство среди сверстников? Роль навыков и сетей в найме профессоров экономики». Экономика труда. 15 (3): 423–441. Дои:10.1016 / j.labeco.2007.04.003.
28. Плакетт, Р. Л. (1975). «Анализ перестановок». Журнал Королевского статистического общества, серия C. 24 (2): 193–202. JSTOR  2346567.
29. Люс, Р. Д. (1959). Поведение индивидуального выбора: теоретический анализ. Вайли.

дальнейшее чтение

• Андерсон, С., А. де Пальма и Ж.-Ф. Thisse (1992), Теория дискретного выбора дифференциации продуктов, MIT Press,
• Бен-Акива, М .; Лерман, С. (1985). Анализ дискретного выбора: теория и применение к спросу на поездки. MIT Press.
• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (Седьмое изд.). Река Аппер Сэдл: Пирсон Прентис-Холл. стр.770 –862. ISBN  978-0-13-600383-0.
• Hensher, D .; Rose, J .; Грин, В. (2005). Прикладной анализ выбора: учебник. Издательство Кембриджского университета.
• Маддала, Г. (1983). Ограниченно-зависимые и качественные переменные в эконометрике. Издательство Кембриджского университета.
• Макфадден, Дэниел Л. (1984). Эконометрический анализ качественных моделей ответа. Справочник по эконометрике, Том II. Глава 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Поезд, К. (2009) [2003]. Методы дискретного выбора с моделированием. Издательство Кембриджского университета.