Сходимость рядов Фурье. - Convergence of Fourier series

В математика, вопрос о том, Ряд Фурье из периодическая функция сходится к данному функция исследуется в области, известной как классический гармонический анализ, филиал чистая математика. Сходимость не обязательно дается в общем случае, и для сходимости должны быть соблюдены определенные критерии.

Определение конвергенции требует понимания поточечная сходимость, равномерное схождение, абсолютная конвергенция, L^п пробелы, методы суммирования и Чезаро среднее.

Предварительные мероприятия

Учитывать ƒ ан интегрируемый функция на интервале [0,2π]. Для такого ƒ то Коэффициенты Фурье ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$ определяются формулой

${\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt,\quad n\in \mathbf {Z} .}$

Обычно описывают связь между ƒ и его ряд Фурье

${\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

Обозначение ~ здесь означает, что сумма в некотором смысле представляет функцию. Чтобы исследовать это более тщательно, необходимо определить частичные суммы:

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

Вопрос здесь в следующем: выполняются ли функции ${\displaystyle S_{N}(f)}$ (которые являются функциями переменной т мы опустили обозначения) сходятся к ƒ и в каком смысле? Есть ли условия на ƒ обеспечение того или иного типа конвергенции? Это основная проблема, обсуждаемая в этой статье.

Прежде чем продолжить, Ядро Дирихле должен быть представлен. Принимая формулу для ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$, подставив его в формулу для ${\displaystyle S_{N}}$ и выполнение некоторой алгебры дает, что

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}\,}$

где ∗ обозначает периодическую свертка и ${\displaystyle D_{N}}$ ядро Дирихле, имеющее явную формулу

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}$

Ядро Дирихле нет положительное ядро, и на самом деле его норма расходится, а именно

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,dt\to \infty }$

факт, который играет решающую роль в обсуждении. Норма D_п в L¹(Т) совпадает с нормой оператора свертки с D_п, действуя в пространстве C(Т) периодических непрерывных функций или с нормой линейного функционала ƒ → (S_пƒ) (0) на C(Т). Следовательно, это семейство линейных функционалов на C(Т) неограничен, когда п → ∞.

Величина коэффициентов Фурье

В приложениях часто бывает полезно знать размер коэффициента Фурье.

Если ${\displaystyle f}$ является абсолютно непрерывный функция

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}}$

за ${\displaystyle K}$ константа, которая зависит только от ${\displaystyle f}$.

Если ${\displaystyle f}$ это ограниченная вариация функция

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.}$

Если ${\displaystyle f\in C^{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.}$

Если ${\displaystyle f\in C^{p}}$ и ${\displaystyle f^{(p)}}$ имеет модуль непрерывности^{[нужна цитата ]}${\displaystyle \omega _{p}}$,

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}}$

а значит, если ${\displaystyle f}$ находится в α-Гёльдер класс

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.}$

Поточечная сходимость

Наложение базисных функций синусоидальной волны (внизу) для образования пилообразной волны (вверху); базисные функции имеют длины волн λ /k (k= целое число) короче длины волны λ самой пилы (за исключением k= 1). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, но все, кроме основных, имеют дополнительные узлы. Колебание вокруг зуба пилы называется Феномен Гиббса

Известно много достаточных условий, при которых ряд Фурье функции сходится в данной точке. Икс, например, если функция дифференцируемый в Икс. Даже скачкообразный разрыв не представляет проблемы: если функция имеет левую и правую производные при Икс, то ряд Фурье сходится к среднему от левого и правого пределов (но см. Феномен Гиббса ).

В Критерий Дирихле-Дини заявляет, что: если ƒ 2π–Периодический, локально интегрируемый и удовлетворяет

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\Bigl |}{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell {\Bigr |}\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}<\infty ,}$

тогда (S_пƒ)(Икс₀) сходится к. Отсюда следует, что для любой функции ƒ любой Гёльдер класс α > 0 ряд Фурье всюду сходится к ƒ(Икс).

Также известно, что для любой периодической функции от ограниченная вариация, ряд Фурье всюду сходится. Смотрите также Тест Дини В общем, наиболее распространенные критерии поточечной сходимости периодической функции ж являются следующими:

• Если ж удовлетворяет условию Гёльдера, то его ряд Фурье сходится равномерно.
• Если ж имеет ограниченную вариацию, то его ряд Фурье всюду сходится.
• Если ж непрерывна и ее коэффициенты Фурье абсолютно суммируемы, то ряд Фурье сходится равномерно.

Существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых сходится поточечно, но не равномерно; см. Антони Зигмунд, Тригонометрический ряд, т. 1, глава 8, теорема 1.13, с. 300.

Однако ряд Фурье непрерывная функция не обязательно сходиться поточечно. Возможно, самое простое доказательство использует неограниченность ядра Дирихле в L¹(Т) и Банаха – Штейнгауза принцип равномерной ограниченности. Как типично для аргументов существования, вызывающих Теорема Бэра о категории, это доказательство неконструктивно. Он показывает, что семейство непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится при заданном Икс имеет первая категория Бэра, в Банахово пространство непрерывных функций на окружности.

Так что в некотором смысле поточечная сходимость атипичный, а для большинства непрерывных функций ряд Фурье не сходится в данной точке. тем не мение Теорема Карлесона показывает, что для данной непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

Также можно привести явные примеры непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в 0: например, четная и 2π-периодическая функция ж определены для всех Икс в [0, π] на^[1]

${\displaystyle f(x)=\sum _{p=1}^{+\infty }{\frac {1}{p^{2}}}\sin \left[\left(2^{p^{3}}+1){\frac {x}{2}}\right)\right].}$

Равномерная сходимость

Предполагать ${\displaystyle f\in C^{p}}$, и ${\displaystyle f^{(p)}}$ имеет модуль непрерывности, то частичная сумма ряда Фурье сходится к функции со скоростью^[2]

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N)}$

для постоянного ${\displaystyle K}$ это не зависит от ${\displaystyle f}$, ни ${\displaystyle p}$, ни ${\displaystyle N}$.

Эта теорема, впервые доказанная Д. Джексоном, говорит, например, что если ${\displaystyle f}$ удовлетворяет ${\displaystyle \alpha }$-Условие Гёльдера, тогда

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}.}$

Если ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle 2\pi }$ периодический и абсолютно непрерывный на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, то ряд Фурье ${\displaystyle f}$ сходится равномерно, но не обязательно абсолютно, к ${\displaystyle f}$.^[3]

Абсолютная конвергенция

Функция ƒ имеет абсолютно сходящийся Ряд Фурье, если

${\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}$

Очевидно, что при выполнении этого условия ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$ сходится абсолютно для каждого т а с другой стороны, достаточно, чтобы ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$ сходится абсолютно даже для одного т, то это условие выполнено. Другими словами, для абсолютной конвергенции нет проблемы куда сумма сходится абсолютно - если она сходится абсолютно в одной точке, то это происходит везде.

Семейство всех функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье представляет собой Банахова алгебра (операция умножения в алгебре - это простое умножение функций). Это называется Винеровская алгебра, после Норберт Винер, который доказал, что если ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то 1 /ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Первоначальное доказательство теоремы Винера было трудным; упрощение с использованием теории банаховых алгебр было дано Израиль Гельфанд. Наконец, краткое элементарное доказательство было дано Дональд Дж. Ньюман в 1975 г.

Если ${\displaystyle f}$ принадлежит классу α-Гёльдера при α> 1/2, то

${\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},\qquad \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2}}$

за ${\displaystyle \|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}}$ константа вУсловие Гёльдера, ${\displaystyle c_{\alpha }}$ константа зависит только от ${\displaystyle \alpha }$; ${\displaystyle \|f\|_{K}}$ - норма алгебры Крейна. Обратите внимание, что 1/2 здесь существенна - существуют 1/2-гёльдеровские функции, которые не принадлежат алгебре Винера. Кроме того, эта теорема не может улучшить наиболее известную оценку величины коэффициента Фурье α-функции Гёльдера, а именно: ${\displaystyle O(1/n^{\alpha })}$ а затем не суммируется.

Если ƒ имеет ограниченная вариация и принадлежит классу α-Гёльдера для некоторого α> 0, он принадлежит алгебре Винера.^{[нужна цитата ]}

Сходимость норм

Самый простой случай - это L², который является прямой транскрипцией общего Гильбертово пространство полученные результаты. Согласно Теорема Рисса – Фишера, если ƒ является интегрируемый с квадратом тогда

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2}\,dx=0}$

т.е.,  ${\displaystyle S_{N}f}$ сходится к ƒ в норме L². Легко видеть, что верно и обратное: если указанный выше предел равен нулю, ƒ должен быть в L². Так что это если и только если условие.

Если 2 в приведенных выше показателях заменяется некоторым п, вопрос становится намного сложнее. Оказывается, сходимость сохраняется, если 1 < п <∞. Другими словами, для ƒ в L^п,  ${\displaystyle S_{N}(f)}$ сходится к ƒ в L^п норма. Исходное доказательство использует свойства голоморфные функции и Пространства Харди, и еще одно доказательство, благодаря Саломон Бохнер полагается на Интерполяционная теорема Рисса – Торина.. За п = 1 и бесконечность, результат неверен. Построение примера дивергенции в L¹ был впервые сделан Андрей Колмогоров (Смотри ниже). Для бесконечности результат является следствием принцип равномерной ограниченности.

Если оператор частичного суммирования S_N заменяется подходящим ядро суммируемости (например, Сумма Фейера полученный сверткой с Ядро Фейера ), можно применить основные методы функциональной аналитики, чтобы показать, что сходимость по норме имеет место для 1 ≤п < ∞.

Конвергенция почти везде

Проблема сходимости ряда Фурье любой непрерывной функции почти всюду был поставлен Николай Лусин в 1920-е гг. она была решена положительно в 1966 г. Леннарт Карлесон. Его результат, теперь известный как Теорема Карлесона, сообщает разложение Фурье любой функции в L² сходится почти везде. Позже, Ричард Хант обобщил это на L^п для любого п > 1.

Наоборот, Андрей Колмогоров, будучи 19-летним студентом, в своей первой научной работе построил пример функции в L¹ ряд Фурье которого расходится почти всюду (позже улучшен, чтобы расходиться везде).

Жан-Пьер Кахане и Ицхак Кацнельсон доказал, что для любого данного множества E из мера нулю существует непрерывная функция ƒ такой, что ряд Фурье ƒ не может сходиться ни в одной точке E.

Суммируемость

Последовательность 0,1,0,1,0,1, ... (частичные суммы Серия Гранди ) сходятся к ½? Это не кажется очень необоснованным обобщением понятия конвергенции. Поэтому мы говорим, что любая последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ является Чезаро суммируемый некоторым а если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a.}$

Нетрудно увидеть, что если последовательность сходится к некоторому а тогда это тоже Чезаро суммируемый к нему.

Чтобы обсудить суммируемость рядов Фурье, необходимо заменить ${\displaystyle S_{N}}$ с соответствующим понятием. Следовательно, мы определяем

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N\geq 1,}$

и спросить: есть ли ${\displaystyle K_{N}(f)}$ сходиться к ж? ${\displaystyle K_{N}}$ не является долговременным ассоциированным с ядром Дирихле, а с Ядро Фейера, а именно

${\displaystyle K_{N}(f)=f*F_{N}\,}$

куда ${\displaystyle F_{N}}$ ядро Фейера,

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.}$

Основное отличие состоит в том, что ядро ​​Фейера является положительным ядром. Теорема Фейера утверждает, что указанная выше последовательность частичных сумм равномерно сходится к ƒ. Это подразумевает гораздо лучшие свойства сходимости

• Если ƒ непрерывно на т то ряд Фурье ƒ суммируется в т к ƒ(т). Если ƒ непрерывен, его ряд Фурье равномерно суммируем (т. е. ${\displaystyle K_{N}f}$ равномерно сходится к ƒ).
• Для любых интегрируемых ƒ, ${\displaystyle K_{N}f}$ сходится к ƒ в ${\displaystyle L^{1}}$ норма.
• Феномена Гиббса нет.

Из результатов о суммируемости могут также следовать результаты о регулярной сходимости. Например, мы узнаем, что если ƒ непрерывно на т, то ряд Фурье ƒ не может сходиться к значению, отличному от ƒ(т). Он может либо сходиться к ƒ(т) или расходятся. Это потому, что если ${\displaystyle S_{N}(f;t)}$ сходится к некоторому значению Икс, она также суммируема, поэтому из первого свойства суммируемости выше, Икс = ƒ(т).

Порядок роста

Порядок роста ядра Дирихле логарифмический, т.е.

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,dt={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log N+O(1).}$

Видеть Обозначение Big O для обозначения О(1). Фактическая стоимость ${\displaystyle 4/\pi ^{2}}$ трудно вычислить (см. Зигмунд 8.3) и почти бесполезно. Дело в том, что для немного постоянный c у нас есть

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,dt>c\log N+O(1)}$

это совершенно ясно, если посмотреть на график ядра Дирихле. Интеграл по п-й пик больше чем c/п и, следовательно, оценка гармоническая сумма дает логарифмическую оценку.

Эта оценка влечет за собой количественные версии некоторых предыдущих результатов. Для любой непрерывной функции ж и любой т надо

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0.}$

Однако для любого порядка роста ω (п) меньше, чем log, это больше не выполняется, и можно найти непрерывную функцию ж такой, что для некоторых т,

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty .}$

Эквивалентная проблема для расходимости всюду открыта. Сергею Конягину удалось построить такую ​​интегрируемую функцию, что при каждые т надо

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\sqrt {\log N}}}=\infty .}$

Неизвестно, является ли этот пример наилучшим из возможных. Единственная известная дорога с другого направления - это бревно. п.

Несколько измерений

Изучив эквивалентную задачу более чем в одном измерении, необходимо указать точный порядок суммирования, который используется. Например, в двух измерениях можно определить

${\displaystyle S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}{\widehat {f}}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2})}}$

которые известны как «квадратные частичные суммы». Заменив указанную выше сумму на

${\displaystyle \sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}}$

приводят к "частичным круговым суммам". Разница между этими двумя определениями весьма заметна. Например, норма соответствующего ядра Дирихле для квадратных частичных сумм имеет порядок ${\displaystyle \log ^{2}N}$ в то время как для круговых частичных сумм он порядка ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$.

Многие результаты, верные для одного измерения, неверны или неизвестны для нескольких измерений. В частности, эквивалент теоремы Карлесона все еще открыт для круговых частичных сумм. Почти везде сходимость «квадратных частичных сумм» (а также более общих многоугольных частичных сумм) в нескольких измерениях была установлена ​​примерно в 1970 г. Чарльз Фефферман.

Примечания

1. Гурдон, Ксавье (2009). Les maths en tête. Анализировать (2-е издание) (На французском). Эллипсы. п. 264. ISBN  978-2729837594.
2. Джексон (1930), стр. 21 и далее.
3. Стромберг (1981), упражнение 6 (d) на стр. 519 и упражнение 7 (c) на стр. 520.

Рекомендации

Учебники

• Данэм Джексон Теория приближения, Публикация Коллоквиума AMS, том XI, Нью-Йорк, 1930.
• Нина К. Бары, Трактат о тригонометрических рядах, Тт. I, II. Авторизованный перевод Маргарет Ф. Маллинс. Книга Пергамской прессы. Macmillan Co., Нью-Йорк, 1964 год.
• Антони Зигмунд, Тригонометрический ряд, Vol. I, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. ISBN  0-521-89053-5
• Ицхак Кацнельсон, Введение в гармонический анализ, Третье издание. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2004. ISBN  0-521-54359-2
• Карл Р. Стромберг, Введение в классический анализ, Международная группа Wadsworth, 1981. ISBN  0-534-98012-0

В книге Кацнельсона использована самая современная терминология и стиль из трех. Первоначальные даты публикации: Зигмунд в 1935 году, Бари в 1961 году и Кацнельсон в 1968 году. Однако книга Зигмунда была значительно расширена во втором издании в 1959 году.

Статьи, на которые есть ссылки в тексте

• Поль дю Буа-Реймон, "Ueber die Fourierschen Reihen", Nachr. Kön. Ges. Wiss. Гёттинген 21 (1873), 571–582.

Это первое доказательство того, что ряд Фурье непрерывной функции может расходиться. На немецком

• Андрей Колмогоров, "Une série de Fourier – Lebesgue divergente presque partout", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
• Андрей Колмогоров, "Une série de Fourier – Lebesgue divergente partout", C. R. Acad. Sci. Париж 183 (1926), 1327–1328

Первый - это построение интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Второе - повсюду усиление дивергенции. На французском.

• Леннарт Карлесон, "О сходимости и росте частных сумм рядов Фурье", Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Ричард А. Хант, "О сходимости рядов Фурье", Ортогональные разложения и их непрерывные аналоги (Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967), 235–255. Южный Иллинойс Univ. Press, Карбондейл, Иллинойс.
• Чарльз Луи Фефферман, "Поточечная сходимость рядов Фурье", Анна. математики. 98 (1973), 551–571.
• Майкл Лейси и Кристоф Тиле, "Доказательство ограниченности оператора Карлесона", Математика. Res. Lett. 7:4 (2000), 361–370.
• Оле Г. Йёрсбоэ и Лейф Мейлбро, Теорема Карлесона – Ханта о рядах Фурье.. Конспект лекций по математике 911, Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN  3-540-11198-0

Это оригинальная работа Карлесона, в которой он доказывает, что разложение Фурье любой непрерывной функции сходится почти всюду; статью Ханта, где он обобщает ее на ${\displaystyle L^{p}}$ пробелы; две попытки упростить доказательство; и книга, которая дает его самостоятельное изложение.

• Данэм Джексон, Ряды Фурье и ортогональные многочлены, 1963
• Д. Дж. Ньюман, "Простое доказательство 1 / f теоремы Винера", Proc. Амер. Математика. Soc. 48 (1975), 264–265.
• Жан-Пьер Кахане и Ицхак Кацнельсон, "Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques", Studia Math. 26 (1966), 305–306

В этой статье авторы показывают, что для любого множества нулевой меры существует непрерывная функция на окружности, ряд Фурье которой расходится на этом множестве. На французском.

• Сергей Владимирович Конягин, "О расходимости тригонометрических рядов Фурье всюду", C. R. Acad. Sci. Париж 329 (1999), 693–697.
• Жан-Пьер Кахане, Некоторая случайная серия функций, второе издание. Издательство Кембриджского университета, 1993. ISBN  0-521-45602-9

Работа Конягина доказывает ${\displaystyle {\sqrt {\log n}}}$ результат расхождения обсуждался выше. Более простое доказательство, которое дает только журнал журналап можно найти в книге Кахане.