Теорема Фейерса - Fejérs theorem

В математике Теорема Фейера,^[1][2] названный в честь Венгерский математик Липот Фейер, утверждает, что если ж:р → C это непрерывная функция с период 2π, то последовательность (σ_п) из Чезаро означает последовательности (s_п) из частичные суммы из Ряд Фурье из ж сходится равномерно к ж на [-π, π].

Явно,

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}$

куда

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt,}$

и

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt,}$

с F_п будучи пй заказ Ядро Фейера.

Более общая форма теоремы применяется к функциям, которые не обязательно являются непрерывными (Зигмунд 1968, Теорема III.3.4). Предположим, что ж в L¹(-π, π). Если левый и правый пределы ж(Икс₀± 0) из ж(Икс) существуют в Икс₀, или если оба предела бесконечны одного знака, то

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}$

Также подразумевается существование или расхождение до бесконечности среднего Чезаро. По теореме Марсель Рис, Теорема Фейера верна в точности так, как указано, если (C, 1) среднее σ_п заменяется на (C, α) означает ряда Фурье (Зигмунд 1968, Теорема III.5.1).

Рекомендации

1. Липот Фейер, «Sur les fonctions intégrables et bornées», C.R. Acad. Sci. Париж, 10 декабря 1900, 984-987,.
2. Леопольд Фейер, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Математика. Annalen, т. 58, 1904, 51-69.

• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрические серии (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9.