В математика, то Ядро Фейера это ядро суммируемости используется для выражения эффекта Чезаро суммирование на Ряд Фурье. Это неотрицательное ядро, дающее начало приблизительная личность. Он назван в честь венгерский язык математик Липот Фейер (1880–1959).
Участок из нескольких ядер Фейера
Определение
В Ядро Фейера определяется как
![F_ {n} (x) = { frac {1} {n}} sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} D_ {k} (x),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf88d9201b25363350cb031243095079f261435)
где
![D_ {k} (x) = sum _ {{s = -k}} ^ {k} {{ rm {e}}} ^ {{isx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3bd4a589bb41e9211b8439b53edcbc91b92a2ec)
это kй заказ Ядро Дирихле. Его также можно записать в закрытом виде как
,
где это выражение определено.[1]
Ядро Фейера также можно выразить как
.
Свойства
Ядро Фейера - это ядро положительной суммируемости. Важное свойство ядра Фейера:
со средним значением
.
Свертка
В свертка Fп положительно: для
периода
это удовлетворяет
![0 leq (f * F_ {n}) (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {{- pi}} ^ { pi} f (y) F_ {n} (ху) , ду.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf7af39dbc63776f3e0e7807ba4351d52c207b5)
поскольку
, у нас есть
, который Чезаро суммирование рядов Фурье.
От Неравенство свертки Юнга,
для каждого ![1 leq p leq infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d63bb8c8def80f4fb709fbb2aae6a11c9cd41d)
для
.
Кроме того, если
, тогда
а.е.
поскольку
конечно,
, поэтому результат верен для других
пространства
также.
Если
непрерывна, то сходимость равномерна, что дает доказательство Теорема Вейерштрасса.
- Одно из следствий поточечной п.в. сходимость - это единственность коэффициентов Фурье: если
с участием
, тогда
а.е. Это следует из написания
, который зависит только от коэффициентов Фурье. - Второе следствие состоит в том, что если
существует п.в., то
п.в., поскольку Чезаро означает
сходятся к исходному пределу последовательности, если он существует.
Смотрите также
использованная литература
- ^ Хоффман, Кеннет (1988). Банаховы пространства аналитических функций.. Дувр. п. 17. ISBN 0-486-45874-1.