Связь выпуклости - Bond convexity

В финансы, выпуклость облигации является мерой нелинейной зависимости цен облигаций от изменений в процентные ставки, то вторая производная цены облигации с учетом процентных ставок (продолжительность - первая производная). В целом, чем выше дюрация, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость связки - одна из самых основных и широко используемых форм выпуклость в финансах. Выпуклость была основана на работе Хон-Фей Лая и популяризирована Стэнли Диллером.^[1]

Расчет выпуклости

Продолжительность линейный мера или первая производная того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена вряд ли изменится линейно, но вместо этого она изменится по некоторой кривой. функция процентных ставок. Чем более изогнута функция цены облигации, тем более неточным является дюрация как мера чувствительности к процентной ставке.

Выпуклость - это мера кривизны или 2-й производной того, как цена облигации изменяется с процентной ставкой, то есть как дюрация облигации изменяется при изменении процентной ставки. В частности, предполагается, что процентная ставка постоянна на протяжении всего срока действия облигации и что изменения процентных ставок происходят равномерно. Используя эти предположения, продолжительность может быть сформулирована как первая производная функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке. Тогда выпуклость была бы второй производной функции цены по процентной ставке.

На реальных рынках предположение о постоянных процентных ставках и даже изменениях неверно, и для определения реальной цены облигаций необходимы более сложные модели. Однако эти упрощающие допущения позволяют быстро и легко вычислить факторы, которые описывают чувствительность цен облигаций к изменениям процентных ставок.

Выпуклость не предполагает линейной зависимости между стоимостью Облигаций и процентными ставками. Для больших колебаний процентных ставок это лучший показатель, чем дюрация.^[2]

Почему выпуклости связки могут отличаться

Чувствительность цен к параллельным изменениям временной структуры процентных ставок наиболее высока при бескупонная облигация и самый низкий с амортизирующая облигация (где платежи производятся авансом). Хотя амортизируемая облигация и облигация с нулевым купоном имеют разную чувствительность при одном и том же сроке погашения, если их окончательные сроки погашения различаются так, что они имеют одинаковые продолжительность облигаций тогда они будут иметь одинаковую чувствительность. То есть на их цены в равной степени будут влиять небольшие, первичные (и параллельные) кривая доходности сдвиги. Однако они начнут меняться на разную величину с каждым дальше постепенный сдвиг параллельных ставок из-за различных дат и сумм платежей.

Для двух облигаций с одинаковой номинальной стоимостью, купоном и сроком погашения выпуклость может различаться в зависимости от того, в какой точке кривой доходности цены они расположены.

Предположим, что оба они имеют в настоящее время одинаковую комбинацию доходности (p-y); Также вы должны учитывать профиль, рейтинг и т. д. эмитентов: предположим, они выпускаются разными организациями. Хотя обе облигации имеют одинаковую комбинацию py, облигация A может находиться на более эластичном сегменте кривой py по сравнению с облигацией B. Это означает, что при дальнейшем росте доходности цена облигации A может резко упасть, в то время как цена облигации B выиграла. не меняю; то есть держатели облигации B ожидают роста цены в любой момент и поэтому не хотят ее продавать, в то время как держатели облигации A ожидают дальнейшего падения цены и готовы продать ее.

Это означает, что облигация B имеет более высокий рейтинг, чем облигация A.

Таким образом, чем выше рейтинг или авторитет эмитента, тем меньше выпуклость и меньше выигрыш от игры или стратегий риск-доходность. Меньшая выпуклость означает меньшую волатильность цен или риск; меньше риска означает меньшую прибыль.

Математическое определение

Если плоский плавающая процентная ставка р и цена облигации B, то выпуклость C определяется как

${\displaystyle C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.}$

Другой способ выражения C с точки зрения измененной продолжительности D:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}B(r)=-DB.}$

Следовательно,

${\displaystyle CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B),}$

уход

${\displaystyle C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}.}$

Где D - измененная продолжительность

Как изменяется дюрация облигации при изменении процентной ставки

Вернемся к стандартному определению модифицированной продолжительности:

${\displaystyle D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}}$

куда п(я) это приведенная стоимость купона я, и т(я) - дата будущего платежа.

Поскольку процентная ставка увеличивается, текущая стоимость более долгосрочных платежей снижается по сравнению с более ранними купонами (на коэффициент дисконтирования между ранними и просроченными платежами). Однако цена облигации также снижается при увеличении процентной ставки, но изменения приведенной стоимости суммы каждого купона, умноженной на время (числитель в сумме), больше, чем изменения в цене облигации (знаменатель в суммировании). Следовательно, увеличение r должно уменьшать дюрацию (или, в случае бескупонных облигаций, оставлять неизменную дюрацию постоянной). Обратите внимание, что модифицированная длительность D отличается от обычной продолжительности на коэффициент, превышающий 1 + r (показано выше), который также уменьшается с увеличением r.

${\displaystyle {\frac {dD}{dr}}\leq 0.}$

Учитывая указанную выше связь между выпуклостью и дюрацией, обычные выпуклости облигаций всегда должны быть положительными.

Положительность выпуклости также может быть доказана аналитически для основных процентных ценных бумаг. Например, в предположении плоской кривой доходности можно записать стоимость купонной облигации как ${\displaystyle \scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}}$, куда c_я обозначает купон, выплаченный вовремя т_я. Тогда легко увидеть, что

${\displaystyle {\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0.}$

Обратите внимание, что это, наоборот, означает отрицательность производной длительности путем дифференцирования ${\displaystyle \scriptstyle dB/dr\ =\ -DB}$.

Применение выпуклости

1. Выпуклость - это показатель управления рисками, используемый аналогично тому, как 'гамма' используется в производные управление рисками; это число, используемое для управления рыночный риск портфель облигаций. Если совокупная выпуклость и длительность торговой книги высоки, то и риск высок. Однако, если совокупная выпуклость и длительность низкие, книга огражденный, и небольшие деньги будут потеряны, даже если произойдет довольно существенное изменение процентных ставок. (Параллель на кривой доходности.)
2. Аппроксимация второго порядка движения цен облигаций из-за изменений ставок использует выпуклость:

${\displaystyle \Delta B=B\left[{\frac {C}{2}}(\Delta r)^{2}-D\Delta r\right].}$

Эффективная выпуклость

Смотрите также: Срок действия облигации # Встроенные параметры и эффективная продолжительность.

Для связи с встроенный вариант, а доходность к погашению на основе расчета выпуклости (и продолжительность ) не учитывает, как меняется кривая доходности изменит денежные потоки из-за опционное исполнение. Чтобы решить эту проблему, необходимо численно рассчитать «эффективную» выпуклость. Эффективная выпуклость - это дискретное приближение из вторая производная стоимости облигации как функции процентной ставки:

${\displaystyle {\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}}$

куда ${\displaystyle V}$ стоимость облигации, рассчитанная с использованием модель ценообразования опционов, Δу - это сумма изменения доходности, и ${\displaystyle V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}}$ являются значениями, которые примет облигация, если доходность упадет на у или поднимается на усоответственно (a параллельный сдвиг ).

Эти значения обычно находятся с использованием древовидной модели, построенной для весь кривая доходности и, следовательно, фиксирование поведения при исполнении в каждый момент срока действия опциона как функции времени и процентных ставок; видеть Решетчатая модель (финансы) # Деривативы по процентной ставке.

Смотрите также

• Уравнение Блэка – Шоулза
• Срок действия облигации
• Оценка облигаций
• Иммунизация (финансирование)
• Список тем о выпуклости
• Список финансовых тем

Рекомендации

1. Диллер, Стэнли (1991), Параметрический анализ ценных бумаг с фиксированным доходом, в Даттатрея, Рави (ред.) Аналитика с фиксированным доходом: современный анализ долга и моделирование оценки, Probus Publishing
2. Рохас Арсу, Дж., Рока, Ф., Управление рисками и производные инструменты., Первое издание, Amazon Kindle Direct Publishing, 2018 г., стр. 44

дальнейшее чтение

• Фрэнк Фабоцци, Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом, 7-е изд., Нью-Йорк: Макгроу Хилл, 2005.
• Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999). «Основы продолжительности и выпуклости». Срок действия, выпуклость и другие меры риска по облигациям. Фрэнк Дж. Фабоцци. Серия. 58. Джон Уайли и сыновья. ISBN  9781883249632.
• Мэйл, янв (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы для ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей, 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков, ISBN  1-882936-01-9. Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

внешняя ссылка

• Инвестиционный фонд для фондов объясняет опасность покупки облигаций с высокой отрицательной выпуклостью
• Видеоурок, объяснение продолжительности и выпуклости связи
• Investopedia объяснение выпуклости