Безрисковая облигация - Risk-free bond

А безрисковая облигация теоретический связь это окупается интерес и главный с абсолютной уверенностью. Норма прибыли будет безрисковая процентная ставка. Это первичная гарантия, которая окупается за 1 единицу вне зависимости от того, какое состояние экономики реализовано в срок. ${\displaystyle t+1}$. Таким образом, его отдача одинакова, независимо от того, какое состояние происходит. Таким образом, инвестор не подвергается риску, вкладывая средства в такой актив.

На практике, Государственные облигации финансово стабильных стран рассматриваются как безрисковые облигации, поскольку правительства могут повышать налоги или печатать деньги для погашения своего долга в национальной валюте.^[1]

Например, Банкноты Казначейства США и Казначейские облигации США часто считаются безрисковыми облигациями.^[2] Несмотря на то, что инвесторы в ценные бумаги Казначейства США действительно сталкиваются с небольшим объемом риск кредита,^[3] этот риск часто считается незначительным. Пример этого кредитного риска продемонстрировала Россия, которая объявила дефолт по своим обязательствам. внутренний долг вовремя 1998 финансовый кризис в России.

Моделирование цены по модели Блэка-Шоулза^[4]

В финансовой литературе нередко выводят Формула Блэка-Шоулза путем введения постоянно сбалансированной без риска портфолио содержащие опцион и базовые акции. В отсутствие арбитраж, доходность такого портфеля должна соответствовать доходности безрисковых облигаций. Это свойство приводит к уравнению в частных производных Блэка-Шоулза, которому удовлетворяет арбитражная цена опциона. Однако, похоже, что безрисковый портфель не удовлетворяет формальному определению стратегии самофинансирования, и, таким образом, такой способ вывода формулы Блэка-Шоулза является ошибочным.

Мы предполагаем, что торговля происходит непрерывно во времени, и неограниченное заимствование и предоставление средств возможно при той же постоянной процентной ставке. Кроме того, на рынке отсутствуют трения, что означает отсутствие транзакционных издержек или налогов, а также отсутствие дискриминации в отношении коротких продаж. Другими словами, мы рассмотрим случай идеальный рынок.

Предположим, что в ближайщем будущем процентная ставка ${\displaystyle r}$ постоянно (но не обязательно неотрицательно) в течение торгового интервала ${\displaystyle [0,T^{*}]}$. Предполагается, что безрисковая ценная бумага будет постоянно увеличиваться в цене со скоростью ${\displaystyle r}$; то есть, ${\displaystyle dB_{t}=rB_{t}~dt}$. Мы принимаем обычное соглашение, что ${\displaystyle B_{0}=1}$, так что его цена равна ${\displaystyle B_{t}=e^{rt}}$ для каждого ${\displaystyle t\in [0,T^{*}]}$. Имея дело с Модель Блэка-Шоулза, мы также можем заменить сберегательный счет на безрисковая облигация. Единица бескупонная облигация созревание во время ${\displaystyle T}$ ценная бумага, выплачивающая своему держателю 1 денежную единицу в заранее установленный срок ${\displaystyle T}$ в будущем, известный как облигации срок погашения. Позволять ${\displaystyle B(t,T)}$ поддерживать цену во время ${\displaystyle t\in [0,T]}$ облигации со сроком погашения ${\displaystyle T}$. Легко видеть, что для воспроизведения выигрыша 1 за раз ${\displaystyle T}$ достаточно инвестировать ${\displaystyle B_{t}/B_{T}}$ единиц наличных денег в момент ${\displaystyle t}$ на сберегательном счете ${\displaystyle B}$. Это показывает, что при отсутствии возможностей арбитража цена облигации удовлетворяет

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}~~~,~~~\forall t\in [0,T]~.}$

Обратите внимание, что для любого фиксированного T цена облигации решает обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle dB(t,T)=rB(t,T)dt~~~,~~~B(0,T)=e^{-rT}~.}$

Мы рассматриваем здесь без риска облигация, что означает, что ее эмитент не будет выполнять свои обязательства по выплате держателю облигации номинальной стоимости на дату погашения.

Безрисковая облигация против ценных бумаг Эрроу-Дебре^[5]

Безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух Эрроу-Дебре ценные бумаги. Этот портфель точно соответствует выплате безрисковой облигации, так как портфель также платит 1 единицу независимо от того, какое состояние происходит. Это связано с тем, что, если бы его цена отличалась от цены безрисковой облигации, мы бы имели арбитраж возможность присутствует в хозяйстве. Когда присутствует возможность арбитража, это означает, что безрисковая прибыль может быть получена с помощью какой-либо торговой стратегии. В этом конкретном случае, если портфель ценных бумаг Эрроу-Дебре отличается по цене от цены безрисковой облигации, то арбитражная стратегия будет заключаться в покупке более дешевой и короткой продаже более дорогой. Поскольку у каждого из них точно такой же профиль выплат, эта сделка оставит нас с нулевым чистым риском (риск одного отменяет риск другого, потому что мы покупали и продавали в равных количествах один и тот же профиль выплат). Однако мы получили бы прибыль, потому что мы покупаем по низкой цене и продаем по высокой. Поскольку в экономике не может существовать условий арбитража, цена безрисковой облигации равна цене портфеля.

Расчет цены^[5]

Расчет относится к ценной бумаге Эрроу-Дебре. Назовем цену безрисковой облигации на время ${\displaystyle t}$ в качестве ${\displaystyle P(t,t+1)}$. В ${\displaystyle t+1}$ относится к тому факту, что срок погашения облигации ${\displaystyle t+1}$. Как упоминалось ранее, безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре, одной акции ${\displaystyle A(1)}$ и одна акция ${\displaystyle A(2)}$.

Используя формулу для цены ${\displaystyle n}$ Ценные бумаги Эрроу-Дебре

${\displaystyle A(k)=p_{k}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}},~~~~~k=1,\dots ,n}$

который является продуктом отношения межвременной предельная ставка замещения (отношение предельных полезностей во времени, его также называют государственная плотность цен и ядро ценообразования) и вероятность состояния, при котором безопасность Arrow-Debreu рассчитывается 1 единицей. Цена портфеля просто

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}{u^{\prime }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(2))}{u^{\prime }(C_{t})}}}$

${\displaystyle P(t,t+1)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

Следовательно, цена безрисковой облигации - это просто ожидаемое значение, взятые с учетом вероятностная мера ${\displaystyle \mathbb {P} =\{p_{1},p_{2}\}}$, межвременной предельной скорости замещения. Процентная ставка ${\displaystyle r}$, теперь определяется с помощью обратной цены облигации.

${\displaystyle 1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}}$

Следовательно, мы имеем фундаментальное соотношение

${\displaystyle {\frac {1}{1+r}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

который определяет процентную ставку в любой экономике.

Пример

Предположим, что вероятность состояния 1 встречается 1/4, а вероятность состояния 2 происходит 3/4. Также предположим, что ценовое ядро равно 0,95 для состояния 1 и 0,92 для состояния 2.^[5]

Пусть ядро ​​ценообразования обозначается как ${\displaystyle U_{k}}$ . Затем у нас есть две ценные бумаги Эрроу-Дебре. ${\displaystyle A(1),~A(2)}$ с параметрами

${\displaystyle p_{1}=1/4~~,~~U_{1}=0.95~,}$

${\displaystyle p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0.92~.}$

Затем, используя предыдущие формулы, мы можем рассчитать цену облигации

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0.95+3/4\cdot 0.92=0.9275~.}$

Тогда процентная ставка определяется как

${\displaystyle r={\frac {1}{P(t,t+1)}}-1={\frac {1}{0.9275}}-1=7.82\%~.}$

Таким образом, мы видим, что ценообразование облигации и определение процентной ставки очень просто сделать, если известен набор цен Эрроу-Дебре, цен ценных бумаг Эрроу-Дебре.

Смотрите также

• Безрисковая процентная ставка
• Список тем по экономике
• Модель Блэка-Шоулза
• Безопасность Эрроу-Дебре

Рекомендации

1. «Бельгийский KBC отказывается от« безрисковой »практики по суверенным облигациям - FT.com».
2. «Безрисковый актив». Инвестопедия. investopedia.com. Получено 1 марта 2016.
3. Маттиа, Лаура (25 февраля 2014 г.). «Думайте, что облигации безрисковые? Подумайте еще раз». abcnews.go.com. ABC. Получено 1 марта 2016.
4. Мусиела, Марек; Рутковски, Марек (21 января 2006 г.). Методы мартингейла в финансовом моделировании. Springer Science & Business Media. ISBN  9783540266532.
5. Баз, Джамиль; Чако, Джордж (2004-01-12). Производные финансовые инструменты: цены, приложения и математика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521815109.