Выпуклость (финансы) - Convexity (finance)

В математические финансы, выпуклость относится к нелинейностям в финансовая модель. Другими словами, если цена базовой переменной изменяется, цена выпуска не изменяется линейно, а зависит от вторая производная (или, грубо говоря, условия высшего порядка ) функции моделирования. Геометрически модель уже не плоская, а изогнутая, а степень кривизны называется выпуклостью.

Терминология

Строго говоря, выпуклость относится ко второй производной выходной цены по отношению к входной цене. В производная цена, это называется Гамма (Γ), один из Греки. На практике наиболее значимым из них является выпуклость облигации, вторая производная от цены облигации по процентным ставкам.

Поскольку вторая производная является первым нелинейным членом и, следовательно, часто наиболее значительным, «выпуклость» также широко используется для обозначения нелинейностей в целом, включая члены более высокого порядка. Уточнение модели для учета нелинейностей называется коррекция выпуклости.

Математика

Формально регулировка выпуклости возникает из-за Неравенство Дженсена в теории вероятностей: ожидаемое значение выпуклой функции больше или равно функции ожидаемого значения:

${\displaystyle E[f(X)]\geq f(E[X]).}$

Геометрически, если цена модели изгибается вверх по обе стороны от приведенной стоимости (функция выплаты выпукла вверх и равна над касательной в этой точке), то, если цена базового актива изменится, цена выпуска будет равна больше чем моделируется с использованием только первой производной. И наоборот, если цена модели изгибается вниз (выпуклость равна отрицательный, функция выплаты ниже касательная) цена продукции равна ниже чем моделируется с использованием только первой производной.^{[требуется разъяснение ]}

Точная корректировка выпуклости зависит от модели будущих движений цены базового актива (распределение вероятностей) и от модели цены, хотя она линейна по выпуклости (вторая производная функции цены).

Интерпретация

Выпуклость может использоваться для интерпретации ценообразования производных финансовых инструментов: математически выпуклость - это опциональность - цена опциона (значение опционности) соответствует выпуклости базовой выплаты.

В Блэк – Скоулз ценообразование опционов, исключая процентные ставки и первую производную, уравнение Блэка – Шоулза сводится к ${\displaystyle \Theta =-\Gamma ,}$ «(бесконечно малым) значение времени есть выпуклость». То есть ценность опциона обусловлена ​​выпуклостью окончательной выплаты: каждый имеет вариант покупать актив или нет (в колл; для пут - это опцион на продажу), и функция окончательной выплаты ( хоккейная клюшка shape) выпуклый - «необязательность» соответствует выпуклости выплаты. Таким образом, если кто-то покупает опцион колл, ожидаемая стоимость опциона равна выше чем просто взять ожидаемую будущую стоимость базового актива и ввести ее в функцию выплаты по опциону: ожидаемое значение выпуклой функции выше, чем функция ожидаемой стоимости (неравенство Дженсена). Цена опциона - значение возможности - таким образом, отражает выпуклость функции выплаты.^{[требуется разъяснение ]}.

Это значение изолируется через оседлать - покупка стрэддла при деньгах (стоимость которого увеличивается, если цена базового актива увеличивается или уменьшается) не имеет (изначально) дельты: вы просто покупаете выпуклость (опциональность), не открывая позицию по базовому активу - одна выгода от степень движения, а не направление.

С точки зрения управления рисками, долгая выпуклость (с положительной гаммой и, следовательно (без учета процентных ставок и дельты) отрицательной тета) означает, что человек получает выгоду от волатильности (положительная гамма), но теряет деньги со временем (отрицательная тета) - один чистая прибыль в случае изменения цен более чем ожидалось, и чистый убыток, если цены изменятся меньше чем ожидалось.

Корректировка выпуклости

С точки зрения моделирования корректировки выпуклости возникают каждый раз, когда моделируемые базовые финансовые переменные не являются мартингейл под ценовая мера. Применение Теорема Гирсанова^[1] позволяет выразить динамику смоделированных финансовых переменных в рамках меры ценообразования и, следовательно, оценить эту поправку на выпуклость. Типичные примеры корректировки выпуклости включают:

• Варианты кванто: базовый актив выражен в валюте, отличной от валюты платежа. Если дисконтированный базовый актив является мартингейлом в соответствии с его нейтральной мерой для внутреннего риска, он больше не находится в соответствии с нейтральной мерой валютного риска платежа.
• Своп с постоянным сроком погашения (CMS) инструменты (свопы, кэпы ​​/ полы)^[2]
• Спред с поправкой на опцион (OAS) анализ для ценные бумаги с ипотечным покрытием или другой облигации с правом отзыва
• Расчет форвардной ставки IBOR от Евродоллар фьючерсы
• Нападающие IBOR под Модель рынка LIBOR (LMM)

Рекомендации

1. Д. Папайоанну (2011): «Прикладная многомерная теорема Гирсанова», SSRN
2. П. Хаган (2003) «Загадки выпуклости: ценообразование в CMS: свопы, ограничения и уровни», журнал Wilmott В архиве 2012-04-15 в Wayback Machine

• Бенхаму, Эрик, Глобальные деривативы: продукты, теория и практика, стр. 111–120, 5.4 Корректировка выпуклости (особенно 5.4.1 Коррекция выпуклости) ISBN  978-981-256-689-8
• Пелссер, Антон. «Математические основы коррекции выпуклости». SSRN  267995.